【中考专题2017】2017年 九年级数学中考专题练习 相似三角形50题(含答案)

【中考专题2017】2017年九年级数学中考专题练习相似三角形50题(含答案)

1.如图所示，DE与BC平行。下列比例式中，不能成立的是（）A.AD/AB=DE/BCB.AD/DE=AB/BCC.AD/BC=DE/ABD.AD/BC=AB/DE2.如图所示，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则四边形BCED的面积与△ADE的面积的比为（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:13.两个相似多边形一组对应边分别为3cm和4.5cm，则它们的相似比为（）A.1:1.5B.1:2C.1:3D.1:4.54.如图所示，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，且BF:FD=1:3，则BE:EC的比为（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:55.如图所示，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A.△ABDB.△BDCC.△ADED.△CDE6.下列各组数中，成比例的是（）A.-7,-5,14,5B.-6,-8,3,4C.3,5,9,12D.2,3,6,127.如图所示，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m。当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A.4mB.6mC.8mD.12m8.下列四组图形中，一定相似的是（）A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形9.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC、CD于G、F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对10.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A.6B.5C.4D.311.如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2:3，已知AB=4，则DE的长等于（）A.6B.5C.9D.812.如图所示，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm），则y与x（≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（）A.图1B.图2C.图3D.图4（注：此处无法呈现图片，故省略）13.删除此题，因为文章中只有12道题。14.在矩形ABCD中，动点P从A点出发，沿AB和BC两边移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是什么样的？解析：由于ABCD是矩形，因此AD=BC=5。设点P的坐标为(x,y)，则当P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为PD的长度，即y=√(25-x^2)；当P在BC上移动时，点D到直线PA的距离为PC的长度，即y=5-x。因此，y关于x的函数图象大致是一个上凸的折线段，当x=0时，y=5；当x=3时，y=0。15.在图中，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，BC分别与AD、AE相交于点F、G。图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是多少？解析：由于△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，因此∠BAC=∠D=90°，AB=DE。又因为△ABC与△DEA全等，所以AC=AE，BC=AD。因此，△ABC与△DEA相似，相似比为1:1。又因为△ABC与△BCF、△ABG相似，相似比分别为1:2和1:√5。又因为△DEA与△DGF、△AGE相似，相似比分别为1:2和1:√5。因此，图中共有4对三角形相似，即n=4。16.在图中，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有几对？解析：由于三个正六边形全等，因此它们的边长相等。设正六边形的边长为a，则它们的面积分别为(3√3)/2a^2。由于正六边形是正多边形，因此它们的内角为120°，外角为60°。因此，它们的顶角相等，底角相等，因此它们成位似图形关系。由此可知，三个正六边形中，任意两个都成位似图形关系，因此共有3对。17.在图中，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，求BC/AN的值。解析：由于△ABC和△AMN都是等边三角形，因此AB=BC=CA=AM=MN=NA。又因为点M是△ABC的重心，因此BM=MC，又因为△AMN和△ABC相似，因此AN/AC=MN/BC=1/2。因此，BC/AN=2。18.将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（°<α<60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，求角∠MNC的度数。解析：由于∠ACB=90°，∠B=60°，因此∠C=30°。又因为∠EDF=90°，∠E=45°，因此∠F=45°。因此，△EDF是一个45-45-90的等腰直角三角形，因此DE=DF=EF。又因为D为AB的中点，因此DE=1/2AC，因此AC=2DE。又因为∠EDF=90°，因此DE=EF，因此△EDF是等腰直角三角形，因此EF=DF/√2。因此，AC=DF/√2。又因为DF经过点C，因此DF′也经过点C，因此CF′=DF′/√2。又因为△EDF′和△EDF相似，因此DF′=DF/√2，因此CF′=DF/2。因此，FC=AC-CF′=DF/2。又因为点M是DE′的中点，因此AM=MC，又因为△EDF′和△AMN相似，因此MN/AM=DF′/DE′=DF/DE=2。因此，MN=2AM=2MC。又因为点N在BC上，因此BN=BC-NC=BC-MC=BC-AM/2。因此，BC/BN=2。又因为△ABC和△MNC相似，因此MC/AC=NC/BC，因此NC=MC×BC/AC=MC×BC/2DE。因此，tan∠MNC=tan∠MND+tan∠DNC=MN/ND+NC/ND=2+BC/2DE=2+2cosα。因此，∠MNC=arctan(2+2cosα)。19.在图中，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1。P是AB边上的一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE。P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动。在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是怎样的？解析：由于∠ACB=90°，∠A=30°，因此∠C=60°。又因为P从点A出发，沿AB方向运动，因此点P在直线AB上，因此点D也在直线AB上，且DP=PE。因此，△DPC是一个30-60-90的等腰直角三角形，因此DC=DP√3=PE√3。又因为P从点A出发，沿AB方向运动，因此点E也在直线AB上，且AE=2AP。因此，AE=2(x+3)。又因为PE=1，因此AP=AE-PE=2(x+3)-1=2x+5。因此，S1=1/2×DC×AP/2=1/2×PE√3×(2x+5)/2=PE(√3x+5/2)。又因为点P停止运动时，E到达点B，因此PE=BE=BC=1。因此，S1=√3x+5/2。又因为S2=1/2×AB×AP-S1=1/2×3×(2x+5)-S1=3x+5/2-√3x+5/2=3/2x。因此，S1+S2=2x+5。因此，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是先增大后减小。20.在图中，⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC。给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC²=AE·AB；⑤CB∥GD。其中正确的结论是哪些？解析：由于AB是⊙O的直径，因此∠ACB=90°，因此∠ABC=90°-∠ACB=60°。又因为C是弧AD的中点，因此∠CAD=∠CBD。因此，△DAC和△ABC相似，因此∠DAC=∠ABC。因此，结论①正确。又因为AB是⊙O的直径，因此AC是⊙O的半径，因此AC=OE。又因为∠CEA=90°，因此AC²=AE·AB。因此，结论④正确。又因为点D在⊙O上，因此∠DCE=∠DGE=90°。因此，CB∥GD。因此，结论⑤正确。又因为点G在⊙O上，因此∠CQG=∠CAG，因此点Q在△ACG的外接圆上。因此，点P是△ACQ的外心。因此，结论③正确。因此，正确的结论是①、④、⑤、③。二、填空题：21.相似比为4:922.(1)AE:AB=1:2(2)∠E=∠C23.$\frac{1}{2}$24.B/C=10/925.626.三对相似三角形27.1:228.229.630.14cm31.8432.633.$\frac{5}{3}$34.3在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示。已知点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0,2），延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是多少？解析：首先可以得到正方形ABCD的边长为2，坐标系中心点为O(1,1)。由于正方形的对称性，可以得到第n个正方形的顶点坐标为An(1+(-1)^n,(-1)^n)、Bn(1+(-1)^n,1+(-1)^n)、Cn((-1)^n,1+(-1)^n)、Dn((-1)^n,(-1)^n)。考虑第n个正方形的面积，可以用两条对角线的长度来计算。对角线的长度分别为√2和2√2，因此第n个正方形的面积为2。所以第2016个正方形的面积为2。45.在△ABC中，由BD平分∠ABC，连接AE，交BD于F，交AC于G，且BF∥DE，CG∥DE，CF∥BG，如图所示。（1）因为BD平分∠ABC，所以AB=BC，又因为BF∥DE，所以AF=FE，又因为CF∥BG，所以CG=GB，所以BG=AF+CG=AB，即AB=BG。（2）因为△BCP与△BCD相似，所以$\dfrac{CP}{CD}=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{4}{3}$，又因为AB是△ABC的直径，所以∠BAC=90°，所以∠BCD=∠BAC-∠ABC=30°，所以BC=CD/2，所以CP=2CD/3，又因为FA·FD=12，所以FD=6/FA，所以CD=CF+FD=CG+GB+FD=3CE+AB/2+6/FA，代入CP=2CD/3，得到CP=2CE+AB/3+4/FA。46.如图，在△ABC中，AD是∠EAC的平分线，交BC的延长线于D，延长DA交△ABC的外接圆于F，连接FB，FC。（1）因为AD是∠EAC的平分线，所以∠FAC=∠DAC，又因为△ABC外接于圆F，所以∠FAC=∠FBC，所以∠FBC=∠DAC，同理可得∠FCB=∠DAB，所以∠FBC=∠FCB。（2）因为AB是△ABC外接圆的直径，所以∠ABC=90°，所以∠FAC=45°，所以∠FAD=45°，所以∠AFD=90°，所以AF·FD=AD·AB/2=AC·BC/2=30，又因为FA=2，所以FD=15/FA，所以CD=AC+AD=AB+BD+AD=AB+2AD=2AB，所以BD=AB/2，所以BF=BC-FC=BC-CD/2=BC-AB/4=3，又因为∠FBC=∠FCB，所以△BCP与△BCD相似，所以$\dfrac{CP}{CD}=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{4}{1}$，解得CP=16，又因为$\dfrac{CP}{BF}=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{1}{3}$，所以BF=48/16=3，所以CF=BC-BF=1。47.如图，抛物线y=ax2+2.5x-2与x轴相交于点A（1,0）与点B，与y轴相交于点C。（1）因为抛物线与x轴相交于点A和点B，所以抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-b)，又因为抛物线过点C，所以代入得到a=-2/5，所以抛物线的解析式为y=-\dfrac{2}{5}(x-1)(x-5)。（2）连接AC、BC，因为抛物线的对称轴为直线x=3，所以点O(3,0)为抛物线的对称中心，所以∠AOC=∠COB，又因为OC=OA，所以△AOC与△COB相似。（3）因为点N在抛物线的对称轴上，所以N(3,m)，又因为抛物线过点A，所以m=-2，所以点N的坐标为N(3,-2)，又因为抛物线的解析式为y=-\dfrac{2}{5}(x-1)(x-5)，所以点B的坐标为B(5,0)，所以点M的坐标为M(-1,0)，所以以点N、M、A、B为顶点的四边形不是平行四边形。48.如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°。【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q。在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足EP=2EQ，因为∠EDF=30°，所以∠EDP=60°，所以∠EPD=30°，又因为△DPE与△BAC相似，所以$\dfrac{EP}{AC}=\dfrac{DP}{BC}$，又因为AC=DE，BC=AB，所以$\dfrac{EP}{DE}=\dfrac{DP}{AB}$，所以$\dfrac{EP}{DP}=\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{1}{2}$，所以EP=2EQ。【操作2】在旋转过程中，如图3，当$\angleEDF=60^{\circ}$时，此时三角板DEF与三角板ABC重合，此时EP=EQ。【总结操作】根据以上探究结果，可以得出结论：在旋转过程中，EP与EQ满足EP=2EQ，当三角板DEF与三角板ABC重合时，EP=EQ。(1)在$t=3$秒时，点P和点Q之间的距离为多少？(2)如果三角形$\triangleCPQ$的面积为S，那么S关于$t$的函数关系是什么？(3)当$t$为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与$\triangleABC$相似？50.如图，抛物线$y=0.5x^2+mx+n$与直线$y=-0.5x+3$交于点A和点B，交$x$轴于点D和点C，连接AC和BC，已知$A(0,3)$，$C(3,0)$。(I)求抛物线的解析式和$\tan\angleBAC$的值；(II)在(I)条件下：(1)P是y轴右侧抛物线上的一个动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与$\triangleACB$相似？如果存在，请计算所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。(2)设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一个动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒一个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？1.B2.B3.A4.A5.B6.B7.C8.D9.D10.D11.A12.B13.B14.B15.B16.D17.B18.C19.B20.D21.略22.略23.略24.略25.答案为8。26.答案为4。27.略28.答案为2.5。29.答案为6。30.答案为36。31.答案为112。32.解：如图1，当点P在CD上时，因为$PD=3$，$CD=AB=9$，所以$CP=6$。由于$EF$垂直平分$PB$，所以四边形$PFBE$是正方形，$EF$过点$C$，所以$EF=6$。如图2，当点P在AD上时，过$E$作$EQ$⊥$AB$于$Q$，因为$PD=3$，$AD=6$，所以$AP=3$，所以$PB=3$。由于$EF$垂直平分$PB$，所以$\angle1=\angle2$。因为$\angleA=\angleEQF$，所以$\triangleABP\sim\triangleEFQ$，所以$\frac{AP}{EF}=\frac{PB}{FQ}$，所以$\frac{3}{6}=\frac{3}{FQ}$，所以$FQ=6$。综上所述，$EF$长为6或2，所以答案为6或2。33.答案为1或4或