椭圆知识点详细归纳

椭圆知识点归纳一、椭圆的定义：平面内与两个定点F,F的距离的和等于常数(大于IFFI)的点的轨迹。1212注意：2a>IFFI表示椭圆；2a=IFFI表示线段FF；2a<IFFI没有轨迹；12121212TOC\o"1-5"\h\z练习1.F]、F2是定点，IF]F2I=6,动点M满足IMF]I+IMF2I=6，则点M的轨迹是 (C)A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆2、&(x+4)2+y2+*'(x-4)2+y2=10表示的轨迹是 椭圆 二：椭圆的标准方程X2 y2当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：一+1二1(a>b>0),其中c2二a2-b2a2 b2y2x2当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：——+厂二1(a>b>0),其中c2二a2-b2；a2b2注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程;在椭圆的两种标准方程中，都有(a>b>0)和c2二a2-b2；椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(-c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,-c)4.方程Ax2+By2二C(A,B,C均不为零)表示椭圆的条件Ax2By2 x2By2方程Ax2+By2—C可化为c+c—1，即~c+c=1，所以只有A、B、C同号，且AhBAB时，方程表示椭圆。当CA>B时，椭圆的焦点在x轴上；当CA<C时，椭圆的焦点在y轴上。AB AB】、方程25^+市=1表示焦点在y轴上的椭圆’则k的范围是I9D.kI9D.k>-2Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线A.-16<k<25B -16<k<匕 A.-16<k<252 22•设圆(x+1”+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点，与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为(D).4x2 4y2A'—— ―121 25 1D4x24x2 4y2A'—— ―121 25 1D4x2+4y2=125丁21 1°.21丁25 1 25 21 1

3.（2013・浙江台州调研）已知点MC估，0）,椭圆才+y2=l与直线y=k（x+T）交于点A、B,则AABM的周长为（B）A.4 B.8 C.12 D.16三椭圆的几何性质：X2y2"）椭圆（以一+厂二1（a>b>0）为例）：①范围：—a§x§a，—b<y<b；②焦点：两个焦点（士c,0）；a2b2③对称性：两条对称轴x二°，y二0，一个对称中心（o,o）,四个顶点（士a，o）,（0,士b），其中长轴长为2a，短轴长为TOC\o"1-5"\h\z.a2 c c12b；④准线：两条准线x=± ；⑤离心率：e二，椭圆O0<e<1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。c a\o"CurrentDocument"2b2 、曰_ 、 曰 、⑥过焦点弦，通经最短，通径 ⑺椭圆上与焦点最短距离为a-c，最大距离为a+ca1.椭圆X2+4y2=1的离心率为（A）.A.3B-42A.3B-4D-32、已知椭圆C：3x2+y2二18，A是椭圆上任一点，O是坐标原点，则O、A两点的最大距离是（B）1A.2^2 B.3迈 C.迂 D.16X2y23•椭圆25+9=1上的点p到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是（c）A.&2B.5,4C.9,1D.5,1（2）.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异TOC\o"1-5"\h\zX2 y2共焦点，贝yc相同。与椭圆+J二1（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为a2b2X2 y2+ 二1（m>—b2），此类问题常用待定系数法求解。a2+mb2+m\o"CurrentDocument"x2y2十 X2 y2练习.椭圆—+-=1和 + =1(a2>b2>k2)的关系是(D)a2b2 a2一k2b2一k2A.有相同的长、短轴 B.A.有相同的长、短轴 B.C.有相同的准线点与椭的位置关系:有相同的离心率D.有相同的焦点⑴点佗,y0）在椭圆外O计+b>1；⑵点佗，y0）在椭圆上°蒼+辛=1；⑶点佗，y0）在椭圆内°話+話<11．A．—p2〈1．A．—p2〈a〈\：2B.a〈一叮2或a>J~2C・一2<a<2D.-l〈a〈lx2y2点A（a,1）在椭圆"4^2=1的内部，则a的取值范围是（A）2．A．相切2．A．相切B・相交C・相离D.不确定x2y2直线y=kx-k+1与椭圆"9^4=1的位置关系为（B）四．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：A>0O直线与椭圆相交；（2）相切：A=0O直线与椭圆相切；（3）相离：A<0O直线与椭圆相离；x2y2⑵施+b2=1与直线Ax+B+C=0有公共点的充要条件是A2a2+B2b2>C2（相交）x2y2+ =1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2+B2b2=C2（相切）x2y2+ =1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2+B2b2<C2（相切）x2y21直线y—kx—1=0与椭圆丁+—=1恒有公共点，则m的取值范围是 （答：[1,5）U（5,+^））；2•已知以F1（-2,0）,F2（2,0）为焦点的椭圆与直线x+寸3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A.W2B.2晁C.2\：7D.4冷2g五、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：S=b2tan=cIyI，当20Iy0i二b即p为短轴端点时，S的最大值为be；TOC\o"1-5"\h\z0 maxEg.设M是椭圆竺+丘=1上一点，F1>F?为焦点，ZFMF=—，2516 12 126 AmF1F2 ——六1申珂与丐-丽彳的范围1丐"珂范围为[b2,a2],PF-码的范围为^2-C2,a2-C2]1、 椭圆竺+y2=1两个焦点分别是F,F，点P是椭圆上任意一点，则PF-PF的取值范围是\o"CurrentDocument"4十y2=1 1 2 P 1 2（C）A.h,4] B11,3] C[-2,1] D.[-1,11设P是椭圆扌十y2=1上的一点，F,f2是椭圆的两个焦点，则|PF1||PF21的最大值为4；最小值为1 。

七、弦长公式若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B,且X]，x2七、弦长公式若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B,且X]，x2分别为A、B的横坐标，则ABI=<1+k，若y2分别为a、b的纵坐标，则&+k2|y1一yj。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。公式记忆且耳+C=0联立方程组兰+乂_1 ，得[a2b2（才屮+F护疋+2孑盘Cx+/（F一甘衣）=0中韦达走理知，2£t且耳+C=0联立方程组兰+乂_1 ，得[a2b2（才屮+F护疋+2孑盘Cx+/（F一甘衣）=0中韦达走理知，2£t2AC纭L+邑一_ —aA中弦长公式，得4a2b2B2(n2A3+ -C2)@2才+M护尸/ 4a4A2C24a\C2-b~B2)Z^b^A2+B2)(a:A2 -C;)寸才十弦长公式口决:小方积、大方和；成对去减单身方，减完单方去下方。二倍根号紧跟随X2V21、过椭圆亦+：=1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为（C）A.5 B.690CA.5 B.690C—C17D.7八、中点弦问题（椭圆第三定义）TOC\o"1-5"\h\zx2y2 b21、AB是椭圆石+忘二1的不平行于对称轴的弦，M（%，y。）为AB的中点，则koM-kAB二-石=耳-1即KABb2x xxyy x2 y2KAB亠。且AB直线方程为亠+上=++-a2y a2 b2 a2 b20x2y22、过椭圆a+厉=1（a>0,b>°）上任一点A（x0,y0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B'C两点,丫 b2x则直线BC有定向且k= 0（常数）.BCa2y3在椭圆3在椭圆C：二+—=1(a》bA0)

a2b2中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点,

若9k若9kpB存在，则有:b2k•k=e2-1=-—PAPB a2x2y2、过椭圆一+]=1(a>0,b>0)上任一点A(x,y)作椭圆的切线，则0A的斜率与切线斜率之积为4 a2b2 00e2-15、如果焦点在y轴上，以上结论都变为倒数x2y26、若P(x,y)在椭圆 =1(a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是000 a2b2TOC\o"1-5"\h\zxx yy x2 y2+ 1=—^+ 4.\o"CurrentDocument"a2 b2 a2 b2x2y2 x2y2xxyy7、若P(x,y)在椭圆—+—=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是—+—=―^+0—.000a2b2 a2b2a2 b2九.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系及离心率范围1长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e二(0<e<1),因为c2二a2-b2,a>c>0,a用a、b表示为e=i・1—(@)2(0<e<1)。ab b显然：当一越小时，e(0<e<1)越大，椭圆形状越扁；当一越大，e(0<e<1)越小，椭圆形状越趋近aa于圆。九一1一2椭圆上存在一点P,满足1PF1=九1pF1，则e的范围为[ ,1)1 2 A+1a3、椭圆上存在一点P,满足ZFPF=a,则e的范围为[[sin,1)1224、设椭圆的焦点三角形的底角分别为a,卩，则离心率为sina+sinp十、椭圆的参数方程(1)椭圆：焦点在x轴上时三+二1(a2=b2+c2)o二a囂，(参数方程，其中申为参数)()D.[4—迈，4+叼1.已知点(m,n)在椭圆8x2+3y2=()D.[4—迈，4+叼A.[4—2J34+2岳 B.[4—V3,4+-问C.[4—2\运，4+2.；'2]一、椭圆的切线方程x2y2 xxyy1若少,y0)在椭圆药+仁=1上，则过P0的椭圆的切线方程是君+盂=1-

x2y22若P0(xo,y0)在椭圆a2+b2=1外’则过P。作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程xx

是xx

是一^+a2弟=1b2x2y2 xxyy联想一：(1)过椭圆——+二=1(a>b>0)上一点M(x,y)切线方程为亠+上=1；a2b2 oo a2 b2x2y2⑵当M(xo,yo)在椭圆02+勒=1的外部时’过M引切线有两条’过两切点的弦所在直线方程xx为：一^+a2证明：1)x证明：1)x2y2 2x2yyf小 ，—+-=1的两边对x求导，得—+—=0，得ya2b2 a2 b2 x=x°b2x0，由点斜式得切线a2yo方程为y方程为y-y二一°(x-x)，oa2y ooxxyyx2y2即一^+亠=A+A=1。

a2 b2a2 b2x2y2(2)设过椭圆一+]=1(a>b>0)外一点M(x,y)引两条切线，切点分别为A(x,y)、a2b2 oo 1 1B(x,y)。由(1)可知过A、B两点的切线方程分别为：+1—=1、一+2—=1。又因22 a2b2 a2b2xxyyxxyyM(x,y)是两条切线的交点，所以有亠亠+十^=1、亠亠+严=1。观察以上两个等式，oo a2b2 a2 b2发现A(x,y)、B(x,y)满足直线 +字=1,所以过两切点A、B两点的直线方程为11 22 a2b2仝+曲=1。a2b2x2y2评注：因M(x,y)在椭圆一+]=1(a>b>0)上的位置(在椭圆上或椭圆外)的不同，oo a2b2xxyy同一方程亠+丄=1表示直线的几何意义亦不同。a2b2联想三：(1)过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C不全为零)上的点M(x,y)的00x+x y+y切线方程为Axx+Cyy+D 0+E 0+F=0；(2)当M(x,y)在圆锥曲线002200Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(a,C不全为零)的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直x+x y+y线方程为：Axx+Cyy+D 0+E °+F=00022根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点M(x,y)的切线方程为：把原00x+x方程中的x2用xx代换，y2用yy代换。若原方程中含有x或y的一次项，把x用 0代换，y用002

y+y子代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点M(%,yo)在曲线外部时，过M引切线有两条,X+x y+y过两切点的弦所在直线方程为：Axx+Cyy+D 0+E 0+F=00022十二、圆锥曲线的中点弦问题及存在对称点问题x2y2遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆忑+厉-1中’以P(X。，yo)为中点的弦所在直线的斜b2x率k=—亠;a2y0例1：已知椭圆C：3x2+4y2=12，试确定m的取值范围，使得对于直线1：y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A(x1,y1)>B(x2,y2)关于l对称，中点为C(x0,y0)，TOC\o"1-5"\h\z1 13则AB所在直线为y=—4x+b.与椭圆联立得：~4x2—2bx+4b2—12=0,x’+x2 4bxo一 2 =13，-4小-4小册y0= 2 = 2 =13.*.*C在y=4x+m上,J=吉x4+m,b=-丁又•・•△=4b2—4x乎(4b2—12)=4b2—52b2+13x12>0,故b2罟，即譽晋，解得：—噜<m<噜由此解题过程不难归纳出步骤如下：1．2．假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B1．2．联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.3．把C3．把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.第二种解法(点差法)：已知椭圆C：3x2+4y2=12，试确定m的取值范围，使得对于直线1：y=4x+m,椭圆C上有不同两点(x,y),(x,y),则解：设存在两点A(x1,y1)>B(x2,y2)关于l对称，中点为C4，…y=3x.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3x12+4y12=12,丫厂y2 Sg+x?) 3x4，…y=3x.\o"CurrentDocument"3x,2+4y,2=12,得2=— |—=— =\o"CurrentDocument"2 2 x1—x2 4(y1+y2) 4y联立y=4x+m,解的x=—m,y=—3m,VM在椭圆内部，(关键，等效于常规法中的△)

.(.(_m)2'・4+争＜1,即—噜＜m＜噜这种解法的步骤是:1o设出两点和中点坐标（x,y）；2o用“点差法”根据垂直关系求出x,y满足的关系式;3。联立直线方程，求出交点，即中点；4。由中点位置及对应范围求出参数取值范围.如（1）如果椭圆如（1）如果椭圆36 9二1弦被点A（4,2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 X2 y2（2）已知直线y=—x+1与椭圆一+ =1（a＞b＞°）相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x-2y=0上,a2 b2则此椭圆的离心率为 （3）试确定m的取值范围，使得椭圆宁+ =1上有不同的两点关于直线y二4x+m对称十三、椭圆的第二定义与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数白是椭圆的离心率.例已知椭圆 内有一点陀7，右焦点，在椭圆上有一点皿，使M的坐标•（如图）分析：若设放九对，求出网日+2呵|，再计算最小值是很繁的•由于何闿是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关•故有如下解法.解：设比在右准线'上的射影为Mi.由椭圆方程可知a=2h=-/3a=2h=-/3务.根据椭圆的第二定义，有^|+^|+2|w|=K|+M.显然，当i、岖三点共线时,好田磁J有最小值.过尸作px3+4px3+4/=12M=厂］准线的垂线^=_1•由方程组v-1解得31 J即M的坐标为练习：8A.X225+竺925B.—椭圆二i练习：8A.X225+竺925B.—椭圆二i上的点p到左准线的距离为2，那么p到右焦点距离为

乙15D.9C.2十四、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式:（左焦半径）r=a+ex由椭圆第二定义可知:（右焦半径）r2=a-exo其中e是离心率+\MFI二a+eyv| 11 0IIMF2=a-ey （其中仆F分别是椭圆的下上焦点）.=a-ey （其中仆F分别是椭圆的下上焦点）.0过椭圆兰+22=1（a〉b〉0）的左焦点F1的弦AB