高数课件第二章第五节函数微分

一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分公式与微分法则六、小结 思考题第五节 函数的微分(一)、问题的提出【实例】正方形金属薄片受热后面积的改变量.0A

=

x

20xx0设边长由x0变到x0

+Dx,0正方形面积A

=x

2

,\

DA

=

(

x

+

Dx)2

-

x

20

0=

2

x

Dx

+

(Dx)2

.0(1)

(2):Dx的线性函数，且为DA的主要部分;:Dx的高阶无穷小,当Dx

很小时可忽略.DxDx(Dx)2x0

Dxx0

Dx再例如,设函数y

=x3在点x

处的改变量0为Dx时,

求函数的改变量Dy.Dy

=

(

x

+

Dx)3

-

x

30

00=

3

x

2

Dx

+

3

x0(1)(Dx)2

+

(Dx)3

.(2)当Dx

很小时,\

Dy

»

3

x

2

Dx.0(2)是Dx的高阶无穷小o(Dx),既容易计算又是较好的近似值【问题】这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?设函数y

=f

(x)在某区间内有定义,x0及

x0

+

Dx在这区间内,

如果Dy

=

f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)

=

A

Dx

+

o(Dx)成立(其中A是与Dx无关的常数),

则称函数y

=

f

(

x)在点x0可微,

并且称A

Dx为函数y

=f

(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分,记作dy

x=

x

或df

(

x

),

即dy

=

A

Dx.0

0

x=

x0微分dy叫做函数增量Dy的线性主部.

(微分的实质)(二)、微分的定义【定义】【说明】dy是自变量的改变量Dx的线性函数;Dy

-dy

=o(Dx)是比Dx高阶无穷小;A是与Dx无关的常数,但与f

(x)和x0有关;当Dx

很小时,

Dy

»

dy

(线性主部).（关于这一点下面说明）(三)、可微的条件（充要性）数

f

(

x)在点x0处可导,

且

A

=

f

¢(

x0

).函数f

(x)在点x0可微的充要条件是函【定理】【证】(1)必要性

f

(x)在点x0可微,\

Dy

=

A

Dx

+

o(Dx),

\

Dy

=

A

+

o(Dx)

,Dx

DxDxDxfi

0Dxfi

0Dx则lim

Dy

=

A

+

lim

o(Dx)

=

A.即函数

f

(

x)在点x0可导,

且A

=

f

(

x0

).(2)充分性从而Dy

=

f

(

x0

)

Dx

+

a

(Dx),

a

fi

0=

f

(

x0

)

Dx

+

o(Dx),0Dx即Dy

=

f

¢(

x

)

+

a

,函数f

(x)在点x0可导,0\

lim

Dy

=

f

¢(

x

),Dx

fi

0

Dx(Dx

fi

0),函数

f

(

x)在点x0可微,

且

f

(

x0

)

=

A.\

可导

可微.

A

=

f

(

x0

).函数

y

=

f

(

x)在任意点x的微分,

称为函数的微分,

记作dy或df

(

x),

即dy

=

f

¢(

x)Dx.【说明】当

f

(

x0

)

„

0

时

,D

y

=

f

(

x0

)D

x

+

o(D

x)dy

=

f

(

x0

)DxDxfi

0

dylim

D

y

=

limDxfi

0

f

¢(

x0

)DxD

yf

¢(

x0

)

Dxfi

0

Dxlim

D

y

=

1=1所以Dx

fi

0

时

D

y

与dy

是等价无穷小,

故当

D

x很小时,

有近似公式D

y

»

dy【例1】

求函数

y

=

x3

当x

=

2,

Dx

=

0.02时的微分.【解】

dy

=

(

x

3

)

Dx

=

3

x

2

Dx.x=2

x=2Dx=0.02

Dx=0.02\

dy

=

3

x

2

Dx

=

0.24.通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分,记作dx,

即dx

=

Dx.\

dy

=

f

(

x)dx.dxdy

=

f

¢(

x).将函数的微分dy

与自变量的微分dx

之商称为微商.它等于该函数的导数.因此导数也叫"微商".Dy

=

2.023

-

23

=

0.242408y

=

f

(

x)x0MNTDyo(Dx)x(四)、微分的几何意义yo）aDx【几何意义】(如图)当Dy是曲线的纵坐标增量时,dy就是切线纵坐标对应的增量.△y≈dyx0

+

DxPdyQ当Dx

很小时,

在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN

.(五)、微分公式与微分法则dy

=

f

(

x)dx【求法】计算函数的导数,再乘以自变量的微分.1.【基本初等函数的微分公式】d

(

x

m

)

=

mx

m-1dxd

(cos

x)

=

-

sin

xdxd

(cot

x)

=

-

csc2

xdxd

(csc

x)

=

-

csc

x

cot

xdxd

(C

)

=

0d

(sin

x)

=

cos

xdxd

(tan

x)

=

sec2

xdxd

(sec

x)

=

sec

x

tan

xdxdx1

+

x2dx

cot

x)

=

-d

(

arc1

+

x2d

(arctan

x)

=dx1

-

x2xdx d

(arccos

x)

=

-1

-

x2d

(arcsin

x)

=d

(ln

x)

=

1

dxdxx

ln

ad

(ex

)

=

exdxd

(ax

)

=

ax

ln

adxad

(log

x)

=111112.

【函数和、差、积、商的微分法则】d

(u

–

v)

=

du

–

dv d

(Cu)

=

Cduv

2d

(

)vd

(uv)

=

vdu

+

udvu

=

vdu

-

udv【例2】【解】2设

y

=

ln(

x

+

ex

),

求dy.,

\

dy

=21

+

2

xe

x2x

+

e

x

y¢=dx.21

+

2

xe

x2x

+

e

x【例3】

设

y

=

e1-3

x

cos

x,

求dy.【解】

dy

=

cos

x d

(e1-3

x

)

+

e1-3

x

d

(cos

x)(e1-3

x

)

=

-3e1-3

x

, (cos

x)

=

-

sin

x.\

dy

=

cos

x

(-3e1-3

x

)dx

+

e1-3

x

(-

sin

x)dx=

-e1-3

x

(3

cos

x

+

sin

x)dx.微函数

x

=

j

(t

),

则

j

(t

)dt

=

dx,dy

=

f

(

x)j

(t

)dt\

dy

=

f

(

x)dx.【结论】无论

x是自变量还是中间变量,

函数y

=f

(x)的微分形式总是【复合函数的微分法则】（微分形式的不变性）设函数

y

=

f

(

x)有导数

f

(

x),若x是自变量时,

dy

=

f

(

x)dx;若x是中间变量时,

即为另一变量

t

的可微分形式的不变性dy

=

f

(

x)dx\

dy

=

cos

udu

=

cos(2

x

+

1)d

(2

x

+

1)=

cos(2

x

+

1) 2dx

=

2

cos(2

x

+

1)dx.【例5】

设

y

=

e-ax

sin

bx,

求dy.【解】dy

=

e

-ax

cos

bxd

(bx)

+

sin

bx e

-ax

d

(-ax)=

e

-ax

cos

bx bdx

+

sin

bx e

-ax

(-a)dx=

e

-ax

(b

cos

bx

-

a

sin

bx)dx.【例4】设y

=sin(2

x

+1),求dy.【解】

y

=

sin

u,

u

=

2

x

+

1.【例6】在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.(1)

d

( )

=

cos

w

tdt;

(2)

d

(sin

x

2

)

=

( )d

(

x

).1\

d

(

sin

w

t

+

C

)

=

cos

w

tdt

.w1w

w【解】(1)

d

(sin

w

t

)=w

cos

w

tdt

,\

cos

w

tdt

=

1

d

(sin

w

t

)

=

d

(

sin

w

t

);dx1d

(

x

)d

(sin

x

2

) 2

x

cos

x

2

dx(2)

==

4

x

x

cos

x

2

,x

cos

x

2

)d

(

x

).2

x\

d

(sin

x

2

)

=

(4

x二.微分在近似计算中的应用(一)、计算函数增量的近似值(二)、计算函数的近似值

(三)、误差估计【例1】半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了

0.05厘米,问面积增大了多少?(一)、计算函数增量的近似值若y

=

f

(

x)在点x0处的导数f

(

x0

)

„

0,且Dx

很小时,【解】\设A

=pr

2

,r

=

10厘米,

Dr

=

0.05厘米.DA

»dA

=2pr

Dr

=2p·10

·

0.05

=p

(厘米2

).»

dy

x

=

x

=

f

(

x0

)

Dx.0Dy

x

=

x0(二)、计算函数的近似值1.求f

(x)在点x

=x0附近的近似值;Dy

=

f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)

»

f

(

x0)

Dx.f

(

x0

+

Dx)

»

f

(

x0

)

+

f

(

x0

)

Dx.【例1】

计算cos

60o30

的近似值.(Dx

很小时)【解】

设f

(

x)

=

cos

x,

\

f

(

x)

=

-sin

x,

(

x为弧度)3

3600

x

=

p

,

Dx

=

30¢=

p

,f

¢(p)

=

-

3

.3

2\

f

(p)

=

1

,3

23

360\

cos

60o30¢=

cos(p

+3

3

360p

)

»

cos

p

-

sin

pp=

1

-

3

p2

2

360»

0.4924.2.求f

(x)在点x

=0附近的近似值;令x0

=0,Dx

=x.

f

(

x0

+

Dx)

»

f

(

x0

)

+

f

(

x0

)

Dx,\

f

(

x)

»

f

(0)

+

f

(0)

x.【常用近似公式】(x

很小时)n(3)

tan

x

»

x

(

x为弧度);

(4)

ex

»

1

+

x;(5)

ln(1

+

x)

»

x.(1)n

1

+x

»1

+1

x;

(2)sin

x

»x

(x为弧度);【证明】(1)设f

(x)=n

1

+x,1

-1(1

+

x)n

,1nf

¢(

x)

=nf

(0)

=

1,

f

¢(0)

=

1

.n\

f

(

x)

»

f

(0)

+

f

(0)

x

=

1

+

x

.【例2】计算下列各数的近似值.【解】(2)

e

-0.03

.(1)

3

998.5;(1)

3

998.5

=

3

1000

-

1.51000=

3

1000(1

-

1.5

)

=

103

1

-

0.00151»

10(1

-

3

·

0.0015)

=

9.995.(2)

e

-0.03

»

1

-

0.03

=

0.97.(三)、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.【定义】如果某个量的精度值为A,它的近似值为a,那末A

-a

叫做a的绝对误差.

a而绝对误差与a

的比值A

-a

叫做a的相对误差.【问题】在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得！【办法】将误差确定在某一个范围内.A的相对误差限.通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.如果某个量的精度值是A,测得它的近似值是a,又知道它的误差不超过dA

,即A

-

a

£

dA

,叫做测量aAAd那末d

叫做测量A的绝对误差限,而【例3】正方形边长为2.41

–0.005米,求出它的面积,并估计绝对误差与相对误差.设正方形边长为x,面积为y,则【解】

y

=

x

2

.当x

=

2.41时,

y

=

(2.41)2

=

5.8081(m

2

).x

=2.41

=

2

x

x

=2.41

=

4.82.y边长的绝对误差为

dx

=

0.005,2\

面积的绝对误差为

dy

=

4.82

·

0.005

=

0.0241

(m

).y\面积的相对误差为dy5.8081=

0.0241

»

0.4%.三、小结★

微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题导数的概念微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.★

导数与微分的联系:可导

可微.f

(

x)

»

f

(

x0

)