第3章利率的计算ME

学习目标：学会单利和复利、现值和终值以及几种典型工具到期收益率的计算；教学重点：单利和复利、现值和终值以及几种典型工具的到期收益率的计算教学难点：单利和复利、现值和终值以及几种典型工具到期收益率的计算

第三章利率的计算一、利率的种类1、利率又叫“利息率〞，是一定时期内单位本金所对应的利息，是衡量利息高地的指标，具体表现为利息额同本金的比率。例如，年初贷款1000元，到年底还款1100元。这笔贷款的本金为1000元，利息为100元，利率为10%。

2、利率的种类：〔1〕长期利率和短期利率长期利率：借贷时间在一年以上的利率。短期利率：借贷时间在一年以内的利率。

年利率日利率月利率÷12÷30〔2〕年利率、月利率和日利率年利率〔百分之几，分〕是以年为时间周期计算利息，通常以百分之几表示，例年率1分，1%；月利率〔千分之几，厘〕是以月为时间周期计算利息，通常以千分之几表示，月率1厘，1‰；日利率〔万分之几，毫〕是以日为时间周期计算利息，通常以万分之几表示，日率1毫，0.1‰。〔3〕固定利率和浮动利率

固定利率是指在整个借贷期限内，利率不随资金市场供求状况变动而变动的利率。

浮动利率是指在借贷期限内随市场利率的变化而定期调整的利率。〔4〕市场利率和官定利率市场利率是指由借贷资金的供求均衡决定的利率。官定利率是由政府管理部门〔通常是中央银行〕确定的利率。〔5〕名义利率和实际利率名义利率是指借贷契约和有价证券上载明的利率。实际利率是名义利率减去通货膨胀率。

一般的名义利率r、实际利率i与通货膨胀率p之间的关系为：r=i+p考虑到通货膨胀对本金与利息都会遭到通货膨胀的侵蚀，名义利率与实际利率关系的精确表述为：A(1+r)=A(1+i)(1+p)

〔6〕平均利率、基准利率平均利率是指一定时期〔通常指一个产业周期〕不断波动的市场利率的平均水平。基准利率是指在整个金融市场上和整个利率体系中处于关键地位、起决定性作用的利率。市场经济国家一般以中央银行的再贴现率为基准利率。英国的基准利率是伦敦银行间同业拆借利率。著名的基准利率有伦敦同业拆放利率〔LIBOR〕和美国联邦基准利率。在中国，中国人民银行对国家专业银行和其他金融机构规定的存贷款利率为基准利率。中国1年期的存贷款利率具有基准利率的作用。补充：活期利息和定期利息的计算活期利息采用积数计息法计算利息：目前，活期储蓄存款每季度结息一次，每季末月的20日为结息日，按当日挂牌的活期利率计息，商业银行在这一日将利息转入储户账户。如果储户在结息日前清户，商业银行将按当日挂牌活期利率计算利息并连同本金支付给储户。利息=累计计息积数×日利率其中累计计息积数=账户每日余额合计数。32日期存入支取余额计息期天数计息积数2010.1.210,00010,0002010.2.33,0007,0002010.3.115,00012,0002010.3.2012,000322021.1.2—2021.2.3—3636×7,000=252,0002021.3.11—1010×12,000=120,000活期利息计算举例银行每季末月20日结息，2021年3月20日适用的活期存款利率为0.36%利息=累计计息积数×日利率=〔320,000+252,000+120,000〕×(0.36%÷360)=6.92元32×10,000=320,000二、利息与利率的计算1、单利与复利〔1〕单利i.单利的特点是对利息不再付息，只以本金为基数计算利息，所生利息不计入计算下期利息的基数。ii.单利的计算公式：I=Prn本利和计算公式：S=P+I=P(1+rn〕其中：I表示利息额，P表示本金r表示利率，n表示计息周期数例如，老王的存款帐户上有100元，现在的年利为2.25%，按单利计算，第一年末帐户上的钱应该是：S1=100×(1+0.0225)=102.25第二年末，帐户上的钱应该是：S2=100×〔1+2.25%×2〕=104.50以次类推，第n年年末的存款帐户总额为：Sn=100×(1+2.25%×n)单利计算某人投资1000元购置3年期的企业债券，该债券年利率为10%，按单利计算，3年后可获得利息多少元？某企业以年利率8%向银行贷款15000元，300天后企业就及时还贷。试计算这笔贷款应支付多少利息？例题：零存整取的单利计算存款者每月存入100元，连续存10年，零存整取的利率为月1%，10年后此人共取得本息为多少？单利计算法：利息100*120*1%+100*119*1%+100*118*1%+…+100*1*1%=7260本金：100*120=12000本息：7260+12000=19260〔2〕复利i.复利法指用本金和前期累计利息总额之和为基数计算利息的方法，俗称“利滚利〞、“驴打滚〞。ii.复利的计算公式：

其中：I表示利息额，P表示本金

r表示利率，n表示计息周期数例如，老王的存款帐户上有100元，现在的年利为2.25%，按复利计算，第一年末，帐户上的钱是：S1=100×(1+2.25%)1=102.25第二年末，帐户上的钱应该是：S2=100×〔1+2.25%)2=104.55以次类推，第n年年末的存款帐户总额为：Sn=100×(1+2.25%)n复利的计算某人投资1000元购置3年期的企业债券。该债券年利率为10%。每年计息一次，按复利计算，3年后可获得利息多少元？某人用10000元投资一项为期5年的工程，年利率为10%，试求：〔1〕按一年复利一次，到第5年末的终值是多少元？〔2〕按一月复利一次，到第5年末的终值是多少元？

2、现值与终值(PresentValue,Futurevalue)〔1〕单个现金流的现值与终值

其中，PV代表现值，即贴现额；r代表利率，即贴现率；FV代表终值，即票据金额。相当于n年以后1元钱的现值，也叫贴现系数。贴现率和贴现系数存在反向关系。举例说明：假定5年且利率6%，10000元现金的终值为：S5=10000×(1+6%)5=13382.256假设知道终值为13382.256元，要计算P,那么计算公式为:13382.256P=(1+6%)5=10000假设n=10,r=6%,那么1元钱的现值为：按贴现率6%计算的话，10年后的一元钱相当于现在的0.56元，这就是1元的现值贴现系数。在财务管理中有专门的按各种利率计算的不同期限的1元现值贴现表，利用它可以计算出今后某个时点一笔资金的现值。1PV=(1+6%)10=0.5584

现值的运用一建设工程建设期为5年，投资方案有两种：一是第一年年初投资500万元，以后4年每年年初投资100万元。二是在每年年初投资200万元。假设市场利率为10%。第一种方案的投资现值为：I=500+100/(1+10%)1+100/(1+10%)2+…100/(1+10%)4=816.98第二种方案的投资现值为：I=200+200/(1+10%)1+200/(1+10%)2+…200/(1+10%)4=833.97〔2〕系列现金流的现值和终值i.所谓系列现金流是指不同时间屡次发生的现金流，如如分期等额付款、还款，发放养老金、支付工程款等。ii.系列现金流的终值：其中：A是系列现金流，即每期支付A；r是利率；n是期数；根据等比数列求和公式：

假设知道A、r、n，可以通过查阅年金终值系数表得到S的值。iii.系列现金流的现值：

根据等比数列求和公式：

假设知道A、r、n，可以通过查阅年金现值表得到P的值。例如，某人打算从现在起每年年末等额存入银行一笔钱以便5年后归还债务。假设银行存款利率为10%，每年存入银行100元钱，问5年后一共能存多少钱？解:S=100+100(1+10%)1+100(1+10%)2+……+100(1+10%)5-1=100×[(1+10%)5-1]/10%=610.51再如:某人打算在5年内还清目前借的一笔债务，从现在起每年等额存入银行100元。假设银行存款利率为10%，问现在借的这笔钱是多少？解:根据年金现值的公式可以得到:〔3〕到期收益率i.到期收益率是指从债务工具获得的回报与其今天的价值相等的利率。ii.普通贷款到期收益率的计算：普通贷款是指本金和利息期末一次性偿付的贷款。贷款本金＝归还贷款时本息和/〔1＋r〕其中r就是所求的到期收益率。假定一笔借款本金为1000元，到期归还1100元，那么这笔贷款的到期收益率是多少呢？如果到期收益率用r表示：那么计算如下：通过查现值系数表，r=0.1，即这笔普通贷款的到期收益率为10%，与贷款的利率是一致的。11001000=1+riii.定期定额归还贷款的到期收益率：其中：LOAN＝贷款余额EP=固定的年偿付额n＝到期前贷款年限计算出的r即为该笔贷款的到期收益率假定某人向银行借了一笔1000元的定额定期归还贷款，采用固定利率，25年还清，每年还126元，计算其到期收益率：即每年偿付额的现值之和等于银行最初所贷出的本金,查年金现值系数表得到r=0.12。即这笔贷款的到期收益率为12%。1261000=+++·····+(1+r)1126(1+r)2126(1+r)3126(1+r)25iv.息票债券到期收益率的计算：息票债券持有人在该息票到期前的定期〔每年、每半年或每季〕要得到定额的利息，待到期时要得到当年利息以及债券的票面额的支付。

其中：r是到期收益率P是息票债券的市场价格F是息票债券的面值R是息票债券的票面利率n是债券的到期期限

v.贴现发行债券到期收益率的计算贴现发行债券每期不支付利息，而是到期支付票面额给持有者，即相当于折价出售。

其中：P为债券价格

F为面值

r为到期收益率

n时债券期限

vi.永久债券到期收益率的计算

永久债券的期限无限长，实际上时一种没有到期日、不归还本金、永远支付固定金额息票利息的永久债券。

根据无穷递减等比数列求和公式得出：P=C/r，所以r＝C/P其中：C为每年末的利息支付额P为债券的市场价格例如：某人用100元购置了某种永久公债，每年得到10元的利息收入，那么其到期收益率为:r=10/100=0.1=10%此外，优先股的股息固定，也可以被看作是一种永久债券，其收益率可以比照计算。应用：贴现率discountrate贴现率：贴现利息与贴现的商业票据面额之间的比率。再贴现：当商业银行资金紧张，周转困难时，把已办理贴现的票据向中央银行申请再贴现，中央银行按再贴现率扣除再贴现的利息后把余额付给商业银行。中央银行通过调整再贴现率，可以影响市场利率和商业银行贷款数量，从而控制社会上的资金量。贴现率的运用举例：某企业将一张票面为100万元的60天后到期的银行承兑汇票到银行贴现，银行月贴现率为3.75‰〔一个月按30天计〕。求〔1〕银行应扣除的贴现利息；〔2〕银行应支付给企业的贴现金额。〔1〕贴现利息100万元×3.75‰×2＝0.75万元〔2〕贴现金额100万元－0.75万元例子现在企业发100万元的奖金(多种选择)一、1、马上领取2、一年后领取选1理由:利息、企业破产的可能性.(无任何犹豫)二、1、马上领取2、一年后领取一年后领取金额超过100万时会出现犹豫比方110万三、1、马上领取100万；2、1年后110万元全額领取,3、1年后的5年間毎年领取25万元方法,选哪一个?1年后110万元全額领取方法110万元/〔1+10％〕

＝100万元1年后的5年間毎年领取25万元方法1年后领取25万元的現在価値：25万元/〔1+10％〕

＝22.7万元2年后领取25万元的現在価値：25万元/〔1+10％〕2＝20.7万元3年后领取25万元的現在価値：25万元/〔1+10％〕3＝18.8万元4年后领取25万元的現在価値：25万元/〔1+10％〕4＝17.1万元5年后领取25万元的現在価値：25万元/〔1+10％〕5＝15.5万元合計94.8万选1

但是：如果是1年后的5年間毎年领取50万元方法，如何选？

通货膨胀、企业蒸发。。。例题

1.某种债券面值100元，期限10年，年利率8%，债券到期一次性还本付息。假定该债券持有人在持有8年后将其出售，此时市场利率水平为10%，债券的价格应为多少？债券的价格为148.76元

(100+100×8%×10)÷(1+10%)2=148.762.假定上题中的其它条件不变，只是付息方式为每年支付一次利息，那么债券的价格应为多少？债券的价格为96.53元。

8÷(1+10%)+108÷(1+10%)2=7.27+89.26=96.533.一张面额为1000元，期限为5年，年利率10%，到期一次性支付本金和利息的债券，目前这张债券还有两年到期，银行一年期存款利率为8%，那么现在这张债券的价格应该是多少？