2021-2022学年广西壮族自治区桂林市泗水中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年广西壮族自治区桂林市泗水中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于函数有下述三个结论：①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)的最大值为2；③函数f(x)在区间上单调递减.其中，所有正确结论的序号是（

）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③参考答案：B【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断命题①的正误；利用正弦型函数的最值可判断命题②的正误；利用正弦函数的单调性可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，函数的最小正周期为，命题①正确；对于命题②，函数的最大值为，命题②错误；对于命题③，当时，，所以，函数在区间上单调递减，命题③正确.故选：B.【点睛】本题考查正弦型三角函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期、最值和单调性，考查推理能力，属于基础题.2.为研究某药品疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（

）A．6

B．8

C．12

D．18参考答案：C3.已知i为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（

）A．z的共轭复数为

B．z的虚部为

C．

D．z在复平面内对应的点在第一象限参考答案：D,的共轭复数为,的虚部为,,在复平面内对应的点为,故选D.

4.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则点满足的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C5.函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3） B．（﹣4，11） C．（3，﹣3）或（﹣4，11） D．不存在参考答案：B【考点】6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得解之即可求出a和b的值．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选B．6.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确参考答案：A【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．7.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（

）A、16和12的最大公约数是4

B、78和36的最大公约数是6C、85和357的最大公约数是34

D、105和315的最大公约数是105参考答案：C8.若直线过圆的圆心，则的值为（）．A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知椭圆，以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在的直线斜率为A．

B．

C．2

D．-2

参考答案：B略10.直线y=x+b与曲线x=有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（

）

（A）|b|=

（B）或（C）

（D）以上都错参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为．参考答案：x+2y﹣4=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意可得，两式相减可得由中点坐标公式可得，，==﹣∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案为x+2y﹣4=012.如图，∠ACB=90°，P是平面ABC外一点，PC=4cm，点P到角两边AC，BC的距离均为，则PC与平面ABC所成角的大小为

.

参考答案：45°13.设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则

．(结果用分数表示)参考答案：

14.函数f（x）=x2e﹣x，则函数f（x）的极小值是

．参考答案：0【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】通过求导判断函数的单调性，结合极小值的概念可得结论．【解答】解：因为f（x）=x2e﹣x，x∈R所以f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=（2﹣x）xe﹣x，令f′（x）=0，解得x=0或x=2，因为当x＜0或x＞2时f′（x）＜0，当0＜x＜2时f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），所以当x=0时取得极小值f（0）=0，故答案为：0．15.与双曲线有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 参考答案：略16.已知，则的取值范围是____________（答案写成区间或集合）．参考答案：试题分析：由题意得，因为，所以，所以.考点：不等式的性质.17.已知函数在x=1处取得极值,则b=__________.参考答案：－1由题可得，因为函数在处取得极值，所以且，解得或．当时，，不符合题意；当时，，满足题意．综上，实数．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形ABCD铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为l00%，不考虑焊接处损失．方案一：如图（1），从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；方案二：如图（2），若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼？．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：方案一：求出小正方形的边长，利用体积公式可求体积；方案二：设底面正方形的边长为x（0＜x＜60），长方体的高为y，利用面积确定x，y之间的关系，进而可表示出体积，利用导数法，可求最值．解答：方案一：设小正方形的边长为x，由题意得4x=60，x=15，所以铁皮盒的体积为65×30×15=29250（cm3）．…（4分）方案二：设底面正方形的边长为x（0＜x＜60），长方体的高为y，由题意得x2+4xy=4800，即，所以铁皮盒体积，…（10分），令V′（x）=0，解得x=40或x=﹣40（舍），当x∈（0，40）时，V'（x）＞0；当x∈（40，60）时，V'（x）＜0，所以函数V（x）在x=40时取得最大值32000cm3．将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．

…（15分）答：方案一铁皮盒的体积为29250cm3；方案二铁皮盒体积的最大值为32000cm3，将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．（16分）点评：本题考查函数模型的选择与运用，考查几何体的体积，考查导数知识的运用，属于中档题．19.（本题满分13分）一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）当FG=GD时，证明//平面FMC.参考答案：解(Ⅰ）由三视图可知面,是边长为的正方形。因为,所以，面,连结,,

所以，面,面

所以（Ⅲ）连结交于,连结因为分别是的中点，所以//,//,所以，//,是平行四边形∥,面,面所以，//平面FMC.20.椭圆与直线交于两点，点是线段的中点，且，直线的斜率为，求椭圆的标准方程。参考答案：解：设椭圆的方程是：

得：

即：……………①

………………②

联立①②得:

所以所求椭圆标准方程为:略21.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，C=，b=8，△ABC的面积为10．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求cos（B﹣C）的值．参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求c的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求cosB的值，结合范围B∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角差的余弦函数公式计算求值得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵，△ABC的面积为=absinC=×sin，解得：a=5，∴由余弦定理可得：c===7…6分（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosB===，又∵B∈（0，π），可得：sinB==，∴cos（B﹣C）=cosBcos+