第二节1二重积分在直角坐标系下的计算

二重积分在直角坐标系下的计算

二、典型例题一、二重积分计算公式三、利用对称性简化二重积分的计算想一想：能不能用定积分的方法来求曲顶柱体的体积？利用平行截面面积为的几何体体积的计算方法.曲顶柱体的体积.曲顶柱体的体积综合上述两种“曲顶柱体〞体积计算方法，得到就是说，二重积分可以通过

两次定积分来计算。如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.应用计算“平行截面面积为的立体体积〞的方法［X－型］如果积分区域为：［Y－型］特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.［Y－型］情况三:假设D既是x—型区域,又是y—型区域.x0yx0yx0y那么既可先对x积分,又可先对y积分.当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序,

可能好算.此时,情况四:假设D的形状较复杂,既不是x—型区域,也不是y—型区域.xy0D1D2D3D那么可用一些平行于x轴和平行于y轴的直线将其分成假设干块,使每一块或为x—型,或为y—型,分块积.如图二、典型例题例1例1例2解例3解12345-2-1123解两曲线的交点例4例5.

关于分段落函数在D上的积分.其中D：0x1,0y1解：积分区域如图记f(x,y)=|y–x|=y–x,当yx时,x–y,当y<x时,且区域D1:yx和D2:y<x分处在直线y=x的上，下方.故，原式

=yx011DD2y

=xD1注：分段落函数的积分要分块(区域)来积.另外，带绝对值的函数是分段函数。yx0D211y

=xD1D改变以下各题的积分次序例1解积分区域如图例2解原式例3解例4解例5.求解：由于是“积不出〞的，怎么办？要改换积分次序.先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D：y

x1,0y1画曲线x=y

和x=1，直线y=0,y=1.如图：故原式=yx0Dy

=x例6解

选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。使用对称性时应注意1.积分区域关于坐标轴的对称性.2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.三、利用对称性简化二重积分的计算二重积分计算的简化yx0D2D1二重积分计算的简化yx0D2D1二重积分计算的简化二重积分计算的简化yx0D2y

=xD1例1.

(1)易知yx0(x0,y0)(y0,x0)y=xy0x0例2解例3

计算其中D由所围成.解:

令(如下图)显然,内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:假设积分区域为那么假设积分区域为那么机动目录上页下页返回结束那么(2)一般换元公式且那么极坐标系情形:假设积分区域为在变换下机动目录上页下页返回结束(3)计算步骤及本卷须知•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易别离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且求提示: