高数二第一章

一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、无穷大与无穷小五、小结ch1-31§3

函数的极限观察函数sin

x

当x

fi

¥

时的变化趋势.xch1-32一、自变量趋向无穷大x

fi

¥

时函数的极限ch1-33ch1-34x当

x

无限增大时,

f

(

x)

=

sin

x

无限接近于

0.通过上面演示实验的观察:设函数f

(x)当1、定义定义1x

大于某一正数时有定义，lim

f

(

x)

=

A f

(

x)

fi或A(当x

fi

¥

)x

fi

∞如果存在常数A

,当

x

无限增大（即

x

fi¥

）时，f

(

x)

都无限接近于A

（即

f

x)fif

(x

)当x

fi

¥

时的极限，记作A）

，则称A为函数x由定义可知lim

sin

x

=0.xfi

¥2.另两种情形:10.x

fi+¥

情形:设函数f

(x)在f

(

x)

fi或lim

f

(

x)=

Ax

fi

+∞-¥

情形:20.

x

fia,+¥

)内有定义，A）

，则称A为函数f

(

x)

都无限接近于A

（即

f

x)fiA(当x

fi+¥

)+¥

）时，如果存在常数A,

当

x

无限增大（即x

fif

(x

)当xfi+¥

时的极限，记作x

fi

-¥-

¥

,

a)-¥

）时，当

x

无限减小（即x

fif

(

x)

fi或A(当x

fi-¥

)xfi

-¥ch1-35lim

f

(

x)=

A.1limxxfi

¥例1

求xfi

¥定理:

lim

f

(

x)

=

Alim

f

(

x)

=

A且lim

f

(

x)

=

A.xfi

+¥

xfi

-¥lim

e

-

x

.xfi

+¥例2

求xfi

¥ch1-36xfi

-¥

xfi

+¥则lim

f

(x)不存在。注:1.

若lim

f

(x)=A,lim

f

(x)=B,但A

„B,xfi

¥2.

若lim

f

(x)和lim

f

(x)有一个不存在,则lim

f

(x)不存在。xfi

-¥

xfi

+¥

xfi

¥例3

问

lim

arctan

x

存在吗？为什么？f

(

x)

都无限接近于A

，则称A为函数

f

(

x

)

当即x

fi设函数

f

(x)

在点x0

的某去心邻域有定义，如果存在常数A

,当

x

无限接近

x（0

x0）时，x0

时的极限，记作x

fix0

).f

(x)

fiA(x

filim

f

(x)=A,或xfi

x0注：函数极限与f

(x)在点x0是否有定义无关。ch1-37二、自变量趋向有限值时函数的极限1、x

fi

x0定义2时函数f

(x)的极限2.单侧极限例4och1-38x1yy

=

1

-

xy

=

x

2

+

12+=x

1,

1

-

x

,

x

<

0x

‡

0f

(

x

)证明lim

f

(

x

)

=

1.设x

fi

0分x

>0和x

<0两种情况分别讨论0x

x

,;从左侧无限趋近 记作x

fi0x-0x从右侧无限趋近x

,。x

fi记作0x+右极限：00xfi

x+lim

f

(x)

=

f

(x+

)

=

A时，左极限：设函数

f

(x)

在点x0

的某左邻域内有定义，x0

时的左极限，记作x

fif

(x)

都无限接近于A

，则称A为函数

f

(

x

)

当如果存在常数

A

，使得当

x

fi0x-00xfi

x-lim

f

(x)

=

f

(x-

)

=

A右极限x

fi0x+右领域ch1-3900lim

f

(x)

=

Axfi

x0f

(x-

)

=

f

(x+

)

=

A.例5定理：例6

设，求

lim

f

x).xfi

0-

x,

x<

0f

(x)=

,

x

=

01

x,

x

>

0验证lim

sgn

x

不存在。xfi

0注:讨论分段函数在分界点处的极限的存在性时一般需讨论左右极限。ch1-310三、函数极限的性质ch1-3111.局部有界性定理

若在某个过程下,

f

(

x)

有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后f

(x)有界.

2.唯一性定理

若lim

f

(

x)存在,则极限唯一.3.局部保号性

若lim

f

(

x)

=

A,且A

>

0(或A

<

0),xfi

x0则$d

>

0,当x

˛

U

0

(

x

,d)时,

f

(

x)

>

0(或f

(

x)

<

0).0极限为零的变量称为无穷小.ch1-312四、无穷大与无穷小1.无穷小定义4 在自变量的某个变化过程中，f

(

x

)以0为极限，则称f

(x)是这一变化过程下的无穷小.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;例如,x

fi

0

lim

sin

x

=0,

\函数sin

x是当x

fi

0时的无穷小.x

fi

¥

x

lim

1

=

0,1\函数x

是当x

fi

¥

时的无穷小.n注:(-1)n

limnfi

¥数列{ch1-313=

0\,}是当n

fi

¥

时的无穷小.n(-1)n零是可以作为无穷小的唯一的数,除0以外无论多么小的数都不是无穷小。注意无穷小的条件2.无穷小与函数极限的关系:ch1-314证必要性x

fi

x0设

lim

f

(

x)

=

A,

令a(

x)

=

f

(

x)

-

A,则有lim

a(x)=0,x

fi

x0\

f

(

x)

=

A

+

a(

x).充分性设f

(x)=A

+a(x),其中a(x)是当x

fi

x0时的无穷小,则

lim

f

(

x)

=

lim

(

A

+

a(

x))

=

A

+

lim

a(

x)

=

A.x

fi

x0

x

fi

x0

x

fi

x0定理1lim

f

(

x)

=

A f

(

x)

=

A

+

a(

x

),x

fi

x0其中a(x)是当x

fix0

时的无穷小.n例如,n

fi

¥时,1

是无穷小，1ch1-315但个n

之和为不是无穷小n

1

.定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.3.无穷小的运算性质:定理3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.x例7 求

lim

x

sin

1

.xfi

0xch1-316xfi

0又如,求lim

x

2

arctan

1

.无限增大，则称ch1-3174.无穷大定义5 在自变量的某个变化过程中，|

f

(x)

|f

(x)是这一变化过程下的无穷大.lim

f

(

x)

=

+¥x

fi

x0(

x

fi

¥

)(或

lim

f

(

x)

=

-¥

)x

fi

x0(

x

fi

¥

)绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注:无穷大是变量,不能与很大的数混淆;无论多么大的常数都不是无穷大。无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.n

=

+¥

,如limnfi

¥则当n

fi

¥

时,n

为无穷大.如

lim

1

=

¥

,xfi

0

x为无穷大.xch1-318则当x

fi

0

时,1y

=

1

sin

1x

x2y(

xn

)

=

2np

+

p

,不是无穷大．无界，1

1是一个无界变量,但不是无穷大.例如,当x

fi

0时,y

=x

sin

x(1) (n

=

0,1,2,3,)ch1-3192np

+

p2取

xn

=

1

n当n充分大时,

y(

x

)

>

M

.(2)(n

=

0,1,2,3,)2np取

xn¢

=

1

当n充分大时,x¢n可以任意小,但y(xn¢)=2npsin

2np=0

<M

.5.无穷小与无穷大的关系意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.定理5 在同一自变量变化过程中,若

f

(x)为无穷大,则f

(x)1为无穷小;若f

(x)为无穷小(f

(x)„0),则f

(x)为无穷大.ch1-3201函数极限的统一定义lim

f

(n)

=

A;nfi

¥ch1-321lim

f

(

x)

=

A;x

fi

¥lim

f

(

x)

=

A;x

fi

+¥lim

f

(

x)

=

A;x

fi

-¥lim

f

(

x