函数单调性的应用

，，即，所以为单调递增函数，即。例3设在区间上可导且。求证：证明:将上限改写成，设辅助函数为则（因为），所以单调递减，故,所以单调递减。故其中，，所以4.3单调性在求方程解问题中的应用利用函数的单调性结合图象能直观地研究图象的交点，假若能将问题转化为两函数的交点问题，这类问题便可以轻松获解。例1求解方程：解：令因为为在上的单调递增连续函数，且有即在[-2,6]上只有一个根。又把代入时有，即原方程只有一个根。例2当时，解方程。利用性质，若函数是单调递增函数，则函数与它的反函数图象的交点必在直线上。解：设则有因为，所以在上是增函数，即原方程与方程同解，即为方程：的解。解之得显然，；又因为，所以，故而均为原方程的解。4.4单调性在化简求值方面的应用对于求代数式的值，可视为相应函数的一个特殊值，再利用该函数的单调性，把函数值的相等转化为自变量的相等，有时能巧妙获解。例1设为实数，并满足，求的值。解：由，所以,都是方程的根。构造方程，因为在恒成立，所以在内为增函数，所以方程只有唯一解，即，所以有。例2设实数满足条件求的值解：设，有,因为.又,令即为单调增函数且为奇函数，所以，即有。4.5单调性在比较大小方面的应用函数单调性用于比较大小一般性原则：在同一个函数中有，当函数在区间内是增函数时有；当函数在区间内是减函数是时有。函数单调性运用于比较大小的一般做法：首先运用导数等方法判断函数在区间的单调性，然后利用以上性质在严格单调的区间内比较大小。例1设且，比较。解：因为所以即有因为，不妨设，在上单调递增，则，所以，即。5、函数单调性在实际生活中的应用函数单调性在实际中的应用主要反映在最值（极值）上，如材料优化、资源整合、利润最大化、路径选择等。5.1单调性在材料合理利用中的应用例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取使所用材料最省？解：金属饮料罐高为，底面半径为，材料最省即是表面积最小，且表面积是关于和的二元函数，则=+.由常数（定值），则=2++（为常数）令,则,代入，得，即。例2横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的宽和高应该各是多少？解：设断面的宽和高分别是和，则横梁的强度，又，故求的最大值即可。由,得=，函数在上连续，故必有最大值和最小值，则当变化时的变化情况如下表：表4-10-+00递增极大值递减0由表可知==。5.2单调性在生产利润中的应用例1生产某种产品需要投甲、乙两种原料和（单位：吨）分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为（单位：吨），其中，且。两种原料的价格分别为与（单位：万元吨）。试问，当投入两种原料的总费用为（单位：万元）时，两种原料各投入多少可以使该产品的产出最大？解：由题设只应求函数在条件之下的最大值点，应用拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数，为求的驻点，解方程组由方程，可得，解得.代入有，解得，。因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故在两种原料投入的总费用为（万元）时，这两种原料的投入量为（吨），（吨），可使该产品的产出量最大。例2某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入万元与电视广告费万元及报纸广告费万元之间的关系为：。(1)在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；(2)若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略。解：(1)利润函数为求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：解得，。则为惟一的驻点。又由题意，可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到。所以最大利润为万元。因此，当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为万元，此即为最佳广告策略。(2)求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件下，求的最大值．作拉格朗日函数求函数的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：并和条件联立解得，。这是惟一的驻点，又由题意一定存在最大值，故万元为最大值。5.3单调性在结构工程中的应用例1如下图所示，此简图为一常见的框架梁结构图。梁上分布有均布荷载，求此梁最大处弯矩？图4.3.1解：将图形简化如下图4.3.2（1）求支座反力由和对称条件知（2）列出剪力方程和弯矩方程：以左端为原点，并将表示在图上。（3）依题意得当时，；当时，；当时，；故时，取得最大值，,即弯矩最大处在跨中位置。5.4单调性在优化路径中的应用例1工厂到铁路线的垂直距离为,垂足为,铁路线上距离为处有一原料供应站,现要在铁路之间某处修建一个原料中转站，再由车站向工厂修一条公路，如果已知每千米铁路运费与公路运费之比为，那么应该建在何处，才能是原料供应站运货到所需运费最省？图4.4.1解：设之间的距离为，则有如果公路费用为，那么铁路运费为，故原料供应站途径中转站到工厂所需总费用为求导得令，即得,解得，（舍去），且是函数定义域内的唯一驻点，所以是函数的极小值点，而且也是函数的最小值。由此可知，车站建于之间并且与相距处时，运费最省。6、总结本文先通过介绍函数单调性的概念、意义及单调性的判别方法，进而归纳总结函数单调性在解决数学问题上的应用，最后结合实际生活中的一些问题，从而对函数单调性的应用有了深入理解。本文的创新点在于不仅对单调性在解决数学问题中的应用进行了分类归纳，更深入例举了函数单调性在解决实际问题中的应用，像如何做到使材料最省、利润最大，优化路径等。对于学习者来说，通过阅读这篇论文不仅能系统地掌握单调性的相关知识，还能了解单调性在解决实际问题中的作用，开阔视野，增加其对单调性的学习兴趣。展望未来，随着相关理论基础的不断充实，函数单调性将会在解决实际问题中发挥更大的作用，诸如计算飞船下落回收时间，计算物种成长繁殖速度问题等，这些在目前看来尚不能精确掌握的问题都会迎刃而解。

致谢弹指一挥间，大学的学习生活即将流逝。在这四年里，幸运的让我遇到了这么多令我受益匪浅的老师、同学，正是在他们的关怀帮助下，我才能从懵懂之童,成长到今天,才能顺利的完成这次的毕业论文。首先我要感谢我们的学校和老师以及我在同一个窗檐下学习奋斗的兄弟姐妹，为我提供了良好的教育环境和良好的学习氛围，使得我能够学习成长到今天。更感谢我含辛茹苦的父母亲，他们都是农民，他们没有文化，他们不能给予我荣华富贵，但是他们是我最亲爱的人，他们给予了他们能够给予我的父爱母爱，给予了我做人的最基本的道理。他们辛劳一生，把希望都寄托在了我的身上，是他们在物质上的资助和精神上的鼓励，成就了我的今天。非常感谢我的毕业设计指导老师——**老师对我的毕业论文进行了悉心的指导，并提出了很多的宝贵意见。毕业论文初期，论文要从零开始，是老师们的悉心指导，使我顺利完成了论文设计。感谢老师对我论文的指导，帮我解决了一些疑难问题，令我豁然开朗、柳暗花明。再次向所有关心我、支持我、帮助我的师长、亲人、朋友致以最真的谢意！

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