2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳慈辉学校高二数学理月考试题含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳慈辉学校高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：ξ135P0.5m0.2则其数学期望E(ξ)等于()A．1

B．0.6

C．2＋3m D．2.4参考答案：D2.已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=(

)A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8参考答案：D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】根据坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式建立方程即可得到结论．【解答】解：∵=（﹣1，1），=（2，3），∴+=（1，4），若（+）∥，则，即k=﹣8，故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量平行的坐标公式的应用，比较基础．3.已知F2，F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆内，则双曲线的离心率e为（）A．（，3） B．（3，+∞） C．（，2） D．（2，+∞）参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得△MF1F2为钝角三角形，运用三边关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为钝角，∴△MF1F2为钝角三角形，∴4c2＞c2+4b2∴3c2＞4（c2﹣a2），∴c2＞4a2，∴c＞2a，∴e＞2．故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．4.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有（

）A.0条

B.1条

C.2条

D.无数条参考答案：D5.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)

A.至多有一次中靶

B.两次都中靶

C.两次都不中靶

D.只有一次中靶参考答案：C略6.正态总体中，数值落在内的概率是()A．0.46

B．0.997

C．0.03

D．0.003参考答案：D略7.下列程序执行后输出的结果是（）A．

–1

B．

0

C．

1

D．2参考答案：B8.阅读如图所示的程序框图，输出的结果为（

）A.20 B.3 C.2 D.60

参考答案：A略9.焦点在轴上的椭圆的离心率为，则k的值为()A．21

B．

C．－

D.参考答案：C10.若当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为

（

） A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题p：“”的否定是

．参考答案：12.数列的首项为,前n项和为,若成等差数列,则

参考答案：略13.若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于

．参考答案：6【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：614.在3和一个未知数中间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是

.参考答案：3或2715.用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是________．参考答案：an＝2n＋116.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，设aij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右第j个数，如a42=8．若aij=26，则（i，j）=_________；若aij=2014，则i+j=_________．参考答案：17.对于实数，若，，则的最大值

．参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数

据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3：2：1．（1）请完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．参考答案：【考点】频率分布直方图；等可能事件的概率．【分析】（1）由题意知第1，2组的频数分别为：5，35．故第3，4，5组的频数之和为：60，得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1．（2）用分层抽样抽取6人．故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：3，2，1．（3）有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，因此所求事件的概率为．【解答】解：（1）由题意知第1，2组的频数分别为：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35．故第3，4，5组的频数之和为：60，从而可得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如右图．（2）由第3，4，5组共60人，用分层抽样抽取6人．故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：第3组：；第4组：；第5组：．（3）由（2）知共有6人（记为A1，A2，A3，B1，B2，C）被抽出，其中第4组有2人（记为B1，B2）．有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，因此所求事件的概率为．19.在△ABC中，求证：参考答案：略20.已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=（bn﹣1），（n∈N+）．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a2，a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，且数列{an}的公差d＞0，可得a2=3，a5=9，公差，即可得出an．利用数列递推关系与等比数列的通项公式可得bn．（2）由（1）知，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵a2，a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，且数列{an}的公差d＞0，∴a2=3，a5=9，公差∴an=a2+（n﹣2）d=2n﹣1…又当n=1时，有，∴b1=3当，∴bn=3bn﹣1又b1=3≠0∴数列{bn}是首项b1=3，公比q=3的等比数列，∴…（2）由（1）知…∵（1）∴（2）…（1）﹣（2）：∴==3﹣（2n﹣1）?3n+1﹣（32﹣3n+1）=﹣6+（2﹣2n）?3n+1，∴．21.(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，，，．（1）求证：；（2）求二面角