《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件7

公式法解一元二次方程解：移项，得配方由此可得利用配方法解一元二次方程回顾旧知

化：把原方程化成x＋px＋q=0

的形式。移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px=－q。配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。开方：根据平方根的意义，方程两边开平方。求解：解一元一次方程。定解：写出原方程的解。用配方法解一元二次方程的步骤方程右边是非负数x2＋px＋()2=－q＋()2(x+)2=－q＋()2

一元二次方程的一般形式是什么？ax2＋bx＋c=0(a≠0)

如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？新课导入任何一元二次方程都可以写成一般形式你能否也用配方法得出①的解呢？二次项系数化为1，得配方即①试一试②移项，得因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：（2）当 时，一元二次方程 有实数根．（1）当 时，一元二次方程 有实数根．（3）当 时，一元二次方程 没有实数根．

一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac。由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。归纳一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法当时，方程有实数根吗公式法例2：用公式法解方程（1）x2-4x-7=01.变形:化已知方程为一般形式;3.计算:△=b2-4ac的值;4.代入:把有关数值代入公式计算;5.定根:写出原方程的根.2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;学习是件很愉快的事结论：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根.–解：则：方程有两个相等的实数根：这里的a、b、c的值分别是什么？结论：当时，一元二次方程有两个相等的实数根.这里的a、b、c的值分别是什么？则：方程有两个不相等的实数根结论：当时，一元二次方程有两个不相等的实数根.这里的a、b、c的值分别是什么？∴方程无实数根。结论：当时，一元二次方程没有实数根.用公式法解一元二次方程的一般步骤1.将方程化成一般形式，并写出a，b，c的值。2.求出∆的值。3.(a)当∆

>0时，代入求根公式:

写出一元二次方程的根：

x1=______，x2=______。

(b)当∆=0时，代入求根公式： 写出一元二次方程的根：

x1=x2=______。

(b)当∆<0时，方程实数根。

求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程解这个方程，得精确到0.001，x1≈1.236，虽然方程有两个根，但是其中只有x1≈1.236符合问题的实际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m．（1）解下列方程：解：（1）练习解：解：解：解：化为一般式解：化为一般式因式分解法解一元二次方程回顾与复习1温故而知新1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?2.什么叫分解因式?

把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.直接开平方法配方法x2=a(a≥0)(x+m)2=n(n≥0)公式法分解因式的方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:（3）十字相乘法:am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2.x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).回顾与复习2实际问题

根据物理学规律，如果把一个物体从地面10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即

根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到0.01s）提示解：配方法公式法解：a=4.9，b=－10，c=0b2－4ac=(－10)2－4×4.9×0=100因式分解

如果a·

b=0，那么a=0或b=0。两个因式乘积为0，说明什么或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？探究可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．以上解方程

的方法是如何使二次方程降为一次的？讨论①②讨论

以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次的?

可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0

”分解因式法解一元二次方程的步骤是:2.将方程左边因式分解为A×B;3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.1.将方程右边等于0;

可以试用多种方法解本例中的两个方程

.例3解下列方程：解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移项、合并同类项，得因式分解，得(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,(x－2)(x＋1)=0.

可以试用多种方法解本例中的两个方程

.1.解下列方程：解：因式分解，得（1）

x2+x=0x(x+1)=0.得x=0或x+1=0，x1=0,x2=－1.解：因式分解，得练习解：化为一般式为因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)(x－1)=0.有x

－1=0或x

－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.有2x+11=0或2x

－11=0，解：化为一般式为因式分解，得6x2－x

－2=0.(3x

－2)(2x+1)=0.有3x

－2=0或2x+1=0，解：变形有因式分解，得(x

－4)2

－(5－2x)2=0.(x

－4－5+2x)(x

－4+5－2x)=0.(3x

－9)(1－x)=0.有3x

－9=0或1－

x=0，x1=3,x2=1.2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为r根据题意

(r+5)2×π=2r2π.因式分解，得于是得答：小圆形场地的半径是分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程左边因式分解，右边等于0;2.根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.3.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.小结:

用因式分解法解一元二次方程的步骤1.方程右边化为______。

2.将方程左边分解成两个___________的乘积。

3.至少________因式为零，得到两个一元一次方程。

4.两个___________________就是原方程的根。零一次因式有一个一元一次方程的解AB=0（A、B表示两个因式）A=0或B=0课前练习（2）（3）x2－4=0（4）(3x＋1)2－5=0（1）2x2－4x

＋2=0（1）2x2－4x

＋2=0∴x1=解：因式分解，得2(x－1)2x－1=0=0或x2=1x－1=0分解因式的方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2.（2）解：移项，得因式分解，得x＋2=0或3x－5=0∴x1=－2

，x2=（3）x2－4=0解：因式分解，得(x＋2)x＋2=0∴

x1=－2，(x－2)=0或x－2=0x2=2（4）(3x＋1)2－5=0=0或解：因式分解，得∴你学过一元二次方程的哪些解法?说一说因式分解法开平方法配方法公式法你能说出每一种解法的特点吗?方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)开平方法1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边同加一次项系数

一半的平方;4.变形:化成5.开平方，求解“配方法”解方程的基本步骤★一除、二移、三配、四化、五解.用公式法解一元二次方程的前提是:公式法1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).

2.b2-4ac≥0.1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;因式分解法2.理论依据是:如果两个因式的积等于零那么至少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;请用四种方法解下列方程:4(x＋1)2=(2x－5)2比一比结论先考虑开平方法,再用因式分解法;最后才用公式法和配方法;3.公式法：总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。

①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤2x2－x=0⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0⑨(x-2)2=2(x-2)

适合运用直接开平方法

；适合运用因式分解法

；适合运用公式法

；适合运用配方法

.

一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。我的发现用最好的方法求解下列方程1)（3x-2）²-49=02)（3x-4）²=（4x-3）²

3)4y=1－y²选择适当的方法解下列方程:谁最快选用适当的方法解一元二次方程1.解一元二次方程的方法有：①因式分解法②直接开平方法③公式法④配方法⑴5x2-3x=0⑵3