线性系统的状态空间状态的描述

2.1状态和状态空间1、动态系统的两类数学描述（1）系统的外部描述（输入-输出描述）特点：避开表征系统内部的动态过程，反映外部变量间的因果关系。系统作为“黑箱”例如：一个系统是线性定常数的，且只有一个输出变量和一个输入变量，那么其外部描述为如下形式的一个线性常系数微分方程：(2)系统的内部描述2.

状态和状态空间的定义

状态变量组的完全表征性：如果给定了时刻这组变量值，和时输入，那么，系统在的任何瞬间的行为就完全确定了。

个数最小性：减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量。

意味着:这组变量是互相独立的。

状态变量组选取不唯一两个状态组之间的关系

状态轨迹

状态空间：对实际系统来说，一般就是：状态随时间变化形成中一条运动轨迹（轨线）2.2线性系统的状态空间描述1.动态系统的（动力学）结构2.连续时间线性系统的状态空间描述

状态方程：将通式化为矩阵形式有：其中：

输出方程：通式为：将通式化为矩阵形式有：其中：(2)状态空间表达式非唯一性,状态变量非唯一，导致矩阵

A,B,C,D非唯一。

(3)上述系统称为定常（时不变）线性系统

(1)为方便，经常用表示线性系统[说明]：

动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式：常用符号：[定常线性系统的模拟结构图（方块图）]：模拟结构图：积分器比例器加法器3.连续时间时变系统：状态空间描述一般形式为：(连续时间)线性时变系统的方块图：4.状态空间描述举例例考察下图所示的简单电路，电路各组成元件的参数为已知，输入变量取为电压源，输出变量取为电阻两端的电压

（1）确定状态变量

(2)根据电路定律列出电路的原始方程ABCD5.离散时间线性系统状态空间描述

各变量在离散的时刻取值，状态空间反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系。用k=0,1,2..，来表示离散的时刻状态和输出方程（差分形式）

或时变形式

[小结]:

本节主要对：状态变量组、状态、状态空间、系统状态描述等基本概念进行了讨论，这部分知识是本章的基础。

2.3连续动态系统按状态空间描述分类

线性和非线性系统

非线性系统:另外:

一个非线系统可通过泰勒展开获得局部近似线性化系统（P.29,自学）

时变和时不变（自治）系统

连续（时间）和离散（时间系统）

连续系统：微分方程表示离散系统：差分方程表示

确定性和非确定性系统

确定性系统：参数、动态等都是确定的或随时间变化的确定性函数

非确定性系统：系统含有不确定性成分，如参数未知（摄动），外部未知干扰，未建模动态（动态摄动），输入和扰动随机变量（随机系统）2.4由系统的输入输出导出状态空间方程（SISO系统）1、由输入输出描述（含传递函数）导出状态空间方程2、由方块图导出状态空间方程

1.由输入输出描述导出状态空间方程

通常将由输入-输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。考虑一个连续时间SISO线性定常(时不变)系统

线性定常数系统的状态空间描述具有如下的形式：实现问题归结为：通过选取适当的状态变量，确定A、B、C、D,使得结论2.1[由SISO描述导出状态空间描述]证明：(1)m<n的情况。结论2.2[由SISO描述导出状态空间描述]证明：只证情形（自学）。

此时，状态变量取为

实现方块图

2.由方块图描述导出状态空间描述由输入-输出描述状态空间描述选取适当状态变量确定参数ABCD

两个结论(方法)

对角线法、方块图法结果不唯一2.5线性时不变系统的特征结构1.线性系统(矩阵)的特征多项式2.线性系统(矩阵)的特征根3.线性系统(矩阵)的特征向量和广义特征向量(部分内容,自学)称一个非零列向量为矩阵A的属于特征值的特征向量，如果成立。特征向量是不唯一的。当n个特征值为两两互异时，任取的n个特征向量必是线性无关的。给定系统的状态方程系统的特征值（根）定义为如下特征方程的根特征值的代数重数和几何重数

设为矩阵A的一个特征值，且有则称为的代数重数再若则称为的几何重数广义特征向量称一个非零向量是矩阵A的属于的级广义特征向量，当且仅当当k=1时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。性质1：设是A的属于的级广义特征向量，则如下定义的个向量必是线性无关的：并且称此向量组为长度是的广义特征向量链。广义特征向量基本性质证明：成立的常数必全为零，即将上式两边乘以，则得到下式，只需证明使下式则已知，则同样，乘以，可导出则证明完成。性质2：矩阵A的属于不同特征值的广义特征向量之间必为线性无关。2.6状态方程的约当规范形1、非奇异变换2、将状态空间表达式变换成对角线标准型3、将状态空间表达式变换成约当标准型1、线性非奇异变换（坐标变换）：[系统状态空间表达式的等价性]：

同一系统的状态描述不唯一,但不同状态变量可通过线性变换互相得到。两组状态变量的关系：其中：满足上述关系的两个系统称为等价系统线性系统在坐标变换下都是等价的(特征多项式、特征根、极点等均不变).证：2.特征根互异时对角化

给定n维线性系统

假定A有n个互异的特征根对应的特征向量为

结论2.4[特征根互异时的约当形（对角形）]

证明：

对两边求导，得其中，

另一方面，[注]：1）对角规范形下，状态已解耦2)两类典型规范形（对角形与能控规范形）之间的关系：

能控规范形：

易证：Ａ有ｎ个互异特征根上述结论中的Ｐ可取为

则在坐标变换下，能控形规范性化为对角形

3)含复特征根时，对角规范形（实数化）不失一般性，只考虑含一对共轭复根的情形

A的实特征根:

A的复特征根

变换后的状态：实状态：

共轭复状态：对时间求导替换：得实数化对角规范形

状态方程化为对角线标准型的步骤：1）求出系统矩阵A的所有特征值。3）由变换矩阵P和矩阵A，B，C求出，其中对角阵可以由特征值直接写出。2)对于每个特征值，计算其特征向量。并由此组成非奇异变换阵P。[例]

线性定常系统，其中：将此状态方程化为对角线标准型.当时，2)确定非奇异矩阵P[解]:1)求其特征值:取:当时，取:同理当时，得:3）求对角线标准型为：3.特征根含重根的情形

考虑系统：设特征根为：代数重数几何重数这里相应于特征值的广义特征向量所组成的变换矩阵为Q(可逆)结论2.5[重特征根时约当规范形]在坐标变换下，系统变为其中，为相应于特征根的约当块，且可进一步表示为个小约当块组成的块对角矩阵:

证明：略。说明：对角线标准形：各状态变量间是完全解耦的。约当标准形：各状态变量间最简单的耦合形式，每个变量至多和下一个变量有关联。

阵的求法分为两块，一块是互异部分；另一块是重根部分。则的求法为：由此求得：

Q的求解步骤假设系统有m重特征根，其余为n-m个互异特征根，则上式中，为重根对应的特征向量； 为互异特征根对应的特征向量。设：状态方程化为约当标准形的步骤：1）先求出系统矩阵A的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征向量，对于重特征值，还要计算其广义特征向量。并由此组成非奇异变换阵Q。3）由变换矩阵Q和矩阵A，B，C求出，其中约当矩阵可以由特征值直接写出，只需求出即可。[例]：线性定常系统状态空间表达式为：将此化为约当标准型.[解]:1)确定系统特征值2)确定系统特征向量，得到Q所以：3）求约当标准型为：，其中如上2.7由状态空间描述导出传递函数矩阵１、传递函数矩阵２、由状态空间描述导出传递函数矩阵３、传递函数矩阵的实用算法

１、传递函数矩阵（MIMO系统）回顾：SISO系统的传递函数

其中，和分别是零初始条件下输出和输入的拉普拉斯变换。一般可表示为

注：

传递函数矩阵G(s)的（严）真性

严真当且仅当所有的严真;

真当且仅当除严真的元素外至少还有一个是真

由真G(s)导出严真

G(s)的极点是矩阵G(s)的特征多项式的根。特征多项式：G(s)所有1阶、2阶，…min(p,q)阶子式的最小公分母。2.由状态方程导出传递函数矩阵注：G(s)的首１化特征多项式与Ａ的特征多项式相等，当且仅当系统能控能观；否则，G(s)的特征多项式的次数小于Ａ的特征多项式次数。当且仅当系统能控能观时，G(s)的极点与Ａ的特征根相同；否则，G(s)的极点集是Ａ的特征根集合的子集。结论：传递函数矩阵在线性非奇异（坐标）变换下不变。证：

[例]

求由表述系统的G(s)

由传递函数阵公式得：根据矩阵求逆公式：求得传递函数阵为：3.G(s)的实用算法

结论2.7[算法]：线性定常系统∑(A,B,C,D）的传递函数矩阵G(s)可如下计算：

其中证明：略（自学）。例：计算G(s)(1).计算特征多项式(2).计算Ei(3).计算G(s)2.8线性系统在坐标变换下的特性大部分已讲过，其余自学．2.9组合系统状态空间描述和传递函数矩阵由两个或两个以上的子系统按一定方式联接构成的系统称为组合系统。组合的基本方式可以分为串联、