2022年湖南省衡阳市祁东县第六中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年湖南省衡阳市祁东县第六中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正

方形，则原来的图形是参考答案：A由作法规则可知O′A′＝，在原图形中OA＝2，O′C′∥A′B′，OC∥AB，选A.2.若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数的取值范围是（

）

A.??

B.

C.

D.参考答案：试题分析：因为不等式组表示的平面区域经过所有四个象限所以原点在该区域内所以，即故答案选考点：二元一次不等式组表示的平面区域；线性规划.3.由…若a>b>0,m>0,则与之间大小关系为

(

)A．相等

B．前者大

C．后者大

D．不确定参考答案：B4.函数的零点所在的一个区间是（）（A）（-2，-1）（B）（-1，0）

（C）（0，1）（D）（1，2）参考答案：B5.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：【答案】B【解析】【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．【解答】解：由题意可知z1=﹣2﹣i，z2=i．∴===﹣1+2i，复数对应的点位于第二象限．故选B．【点评】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义．6.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是A．c＞b＞a

B．c＞a＞b

C．a＞b＞c

D．a＞c＞b参考答案：A略7.抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是(

) A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0）参考答案：C考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．解答： 解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．点评：本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．8.同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x=对称”的一个函数是（）A．y=sin（+）B．y=cos（x+）C．y=cos（2x﹣）D．y=sin（2x﹣）参考答案：D考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．

专题：三角函数的求值．分析：利用周长公式及对称性判断即可得到结果．解答：解：A、y=sin（+），∵ω=，∴T=4π，不合题意；B、y=cos（x+），∵ω=1，∴T=2π，不合题意；C、y=cos（2x﹣），∵ω=2，∴T=π，令2x﹣=0，即x=，不合题意；D、y=sin（2x﹣），∵ω=2，∴T=π，令2x﹣=，即x=，即图象关于直线x=对称，符合题意，故选：D．点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的对称性，熟练掌握周期公式是解本题的关键．9.下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=|x| D．y=xcosx参考答案：C【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性然后求解值域，推出结果即可．【解答】解：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=|x|是偶函数，值域为[0，+∞）．故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数的值域，是基础题．设M是△ABC所在平面内一点，且，则=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【考点】相等向量与相反向量．【专题】对应思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出M为AB的中点，从而求出的值．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC所在平面内一点，且，∴M为AB的中点，∴=（+）．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题目．10.已知α，β为不重合的两个平面，直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直∴直线m?α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立

反之，直线m?α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立

所以直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线C1：的焦点为F，且F到准线l的距离为2，过点的直线与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点R，若，则______.参考答案：【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线方程，求得点坐标，进而求得直线的方程，与联立，求得的坐标.根据抛物线的定义化简，由此求得最后结果.【详解】依题意得：：，焦点，不妨设点在轴的下方，，所以，.则过点的直线：，与联立消去得：，所以，，，.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，考查直线和抛物线交点的坐标求法，属于中档题.12.（2016?沈阳一模）已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=

．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．由∠AFO=30°，可得xA=．由于PA⊥l，可得xP=，yP=，再利用|PF|=|PA|=yP+1即可得出．【解答】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．∵∠AFO=30°，∴xA=．∵PA⊥l，∴xP=，yP=，∴|PF|=|PA|=yP+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．13.若正实数x,y满足x+y=2，且.恒成立，则M的最大值为_______参考答案：略14.执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的值为

.参考答案：3略15.若实数x，y满足，则的最大值是

．参考答案：11作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，把目标函数z=2x+y化为y=－2x+z，由，解得A(5,1)，当目标函数经过点A(5,1)时，取得最大值，此时最大值为zmax=2×5+1=11．16.已知是函数图象上的任意一点，是该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：①;

②；

③；

④.则在区间上具有“性质”的函数为

.参考答案：①②③④17.设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为

▲

.参考答案：抛物线的焦点坐标为，所以双曲线的焦点在轴上且，所以双曲线的方程为，即，所以，又，解得，所以，即，所以双曲线的方程为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，BD∩AC=O，现将其沿菱形对角线BD折起得空间四边形EBCD，使EC=．（Ⅰ）求证：EO⊥CD．（Ⅱ）求点O到平面EDC的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明：EO⊥平面BCD，即可证明EO⊥CD．（Ⅱ）利用等体积方法，求点O到平面EDC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意，EO=OC=1，EC=，∴EO2+OC2=EC2，∴EO⊥OC，∵EO⊥BD，OC∩BD=O，∴EO⊥平面BCD，∵CD?平面BCD，∴EO⊥CD．（Ⅱ）解：△EDC中，ED=DC=2，EC=，S△EDC==，设点O到平面EDC的距离为h，则由等体积可得，∴h=．19.（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体D﹣ABC中．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F﹣BCE的体积．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由题意知，AC=BC=2，从而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，从而ED⊥平面ABC，由此能证明BC⊥平面ACD．（2）取DC中点F，连结EF，BF，则EF∥AD，三棱锥F﹣BCE的高h=BC，S△BCE=S△ACD，由此能求出三棱锥F﹣BCE的体积．（1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DE平面ACD，从而ED⊥平面ABC，∴ED⊥BC又AC⊥BC，AC∩ED=E，∴BC⊥平面ACD．（2）解：取DC中点F，连结EF，BF，∵E是AC中点，∴EF∥AD，又EF平面BEF，AD平面BEF，∴AD∥平面BEF，由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，∵三棱锥F﹣BCE的高h=BC=2=，S△BCE=S△ACD=×2×2=1，所以三棱锥F﹣BCE的体积为：VF﹣BCE==×1×=．【点评】：本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．20.（本小题满分13分）若正数项数列的前项和为，且满足，其中首项.（1）求及数列的通项公式；（2）设,表示数列的前项和,若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：易知，由题意可得……………………6分21.如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=80