2022-2023学年河北省保定市安国小营中学高三数学文模拟试题含解析

2022-2023学年河北省保定市安国小营中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在三棱锥P—ABC中，∠APB=∠BPC=60°，PA=1，PB=，PC=，则三棱锥P—ABC的体积为(

)A、

B、

C、

D、参考答案：答案:B2.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，，则球O的表面积为（）A．16π B．12π C．8π D．4π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选：A．3.已知函数有且只有一个零点,则b的取值范围是(

)A.[0,4]

B.(－∞,0]∪[4,+∞)

C.(－∞,0)∪(4,+∞)

D.(0,4)参考答案：C4.已知A={1，2，5}，B={2，3，5}，则A∪B等于(

) A．{2，3} B．{2，5} C．{2} D．{1，2，3，5}参考答案：D考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集运算得答案．解答： 解：∵A={1，2，5}，B={2，3，5}，则A∪B={1，2，5}∪{2，3，5}={1，2，3，5}．故选：D．点评：本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．5.已知变量x，y满足约束条件，则z=2x?4y的最大值为(

)A．64B．32C．2D．参考答案：B考点：基本不等式；简单线性规划．专题：计算题．分析：先画出可行域，再把可行域的几个角点分别代入，看哪个角点对应的函数值最大即可．解答： 解：由于目标函数z=2x?4y=2x+2y，令m=x+2y，当m最大时，目标函数z就最大．画出可行域如图：可得点C（3，1）为最优解，m最大为5，故目标函数z=2x?4y=2x+2y的最大值为25=32，故选B．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，一般在求目标函数的最值时，常用角点法，就是求出可行域的几个角点，分别代入目标函数，即可求出目标函数的最值．6.右面是“二分法”解方程的流程图．在①~④处应填写的内容分别是A．f(a)f(m)<0

；a=m；是；

否B．f(b)f(m)<0

；b=m；是；

否C．f(b)f(m)<0

；m=b；是；

否D．f(b)f(m)<0

；b=m；否；

是参考答案：B7.已知，若恒成立，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D8.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A． B．C． D．参考答案：B计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A、B则3只兔子的种类有,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为.

9.已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]等于（）A．3 B．2 C．﹣1+log27 D．log25参考答案：A【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣1）=2﹣（﹣1）=2，f[f（﹣1）]=f（2）=log28=3．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．10.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10:S5＝1:2，则S15:S5＝(

)

A．1:2

B．1:3

C．2:3

D．3:4参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a∈[0，6]，使得函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据对数函数以及二次函数的性质求出使得函数f（x）的定义域是R的a的范围，根据区间长度的比值求出满足条件的概率的值即可．【解答】解：若f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R，则函数g（x）=ax2﹣ax+1＞0恒成立，a=0时，显然成立，a≠0时，只需，解得：0＜a＜4，综上，a∈[0，4），故满足条件的概率p==，故答案为：．【点评】本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查几何概型问题，是一道中档题．12.若函数（有两个零点，则的取值范围是

.参考答案：[Z。xx

略13.设常数a＞0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为

.参考答案：14.（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为．参考答案：16【考点】二项式系数的性质．【分析】（x﹣）4展开式的通项公式：Tr+1==x4﹣2r，分别令4﹣2r=2，4﹣2r=1，解得r，进而得出．【解答】解：（x﹣）4展开式的通项公式：Tr+1==x4﹣2r，令4﹣2r=2，解得r=1；令4﹣2r=1，解得r=舍去．∴（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为=16．故答案为：16．15.我校在科艺节时进行高一数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m＝________参考答案：135略16.平面向量，中，若=（4，﹣3），||=1，且?=5，则向量=

参考答案：（，﹣）【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】由，=（4，﹣3），||=1，得到cos＜＞=1，所以同向，所以，即可获得答案【解答】解：∵||=5；∴cos＜＞=；∴同向；∴故答案为（）【点评】本题考查向量数量积以及向量共线的灵活运用，对提高学生的思维能力有很好的训练17.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，

且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是_

_.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点P(,0)，求k的取值范围．参考答案：见解析【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】综合题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由离心率得到a，c，b的关系，进一步把椭圆方程用含有c的代数式表示，再结合点（1，）在椭圆上求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m2＜4k2+3，再结合根与系数关系得到MN中点P的坐标为（﹣，），求出MN的垂直平分线l′方程，由P在l′上，得到4k2+8km+3=0．结合m2＜4k2+3求得k的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率e=．∴=得a=2c，∴b2=a2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为=1，又点（1，）在椭圆上∴=1，∴c2=1，∴椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，∴△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3，又x1+x2=﹣，∴MN中点P的坐标为（﹣，），设MN的垂直平分线l'方程：∵p在l′上即4k2+5km+3=0，，将上式代入得，∴，即∴k的取值范围为．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，是中档题．19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，若方程有两个相异实根，且，证明：.参考答案：（1）因为，函数的定义域为，因为，当，即时，对恒成立所以在上是增函数，当，即时，由得或，则在，上递增在上递减；（2）设的两个相异实根分别为，满足，且，令的导函数，所以在上递减由题意可知，故，所以，令，令，则，当时，，所以是减函数，所以，所以当时，，因为，在上单调递增，所以，故，综上所述，.20.设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（Ⅱ）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，g′（x）=﹣2a=，当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0，当x＞时，g′（x）＜0，函数为减函数，当0＜x＜，g′（x）＞0，函数为增函数，∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，①当a≤0时，f′（x）单调递增，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，②当0＜a＜时，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）内单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．③当a=时，=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．④当a＞时，0＜＜1，当＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．综上实数a的取值范围是a＞．21.已知命题：函数在上是增函数；命题：函数在区间上没有零点．（1）如果命题为真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．参考答案：（1）如果命题p为真命题，∵函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0对x∈（﹣∞，+∞）恒成立∴….…………5分（2）g′（x）=ex﹣1≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，∴g（x）在区间[0，+∞）递增命题q为真命题g（0）=a+1＞0?a＞﹣1….…………7分由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，.…………8分若p真q假，则….…………10分若p假q真，则….…………11分综上所述，.…………12分22.已知函数（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知cos（α﹣β）=，cos（α+β）=，0＜α＜β≤，求f（β）．参考答案：考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用诱导公式化简函数f（x）的解析式为2sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．（Ⅱ）由已知条件，利用同角三角函数的基本关系求得sin（α﹣β）=﹣，sin（α+β）=．再根据cos2β=cos[（α+β）﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果，可得2β=π，从而求得f（β）=2sin（β﹣）的值．解答：解：（Ⅰ）∵函数=sin（x﹣）﹣co