2021-2022学年山西省太原市第五十七中学高二数学文联考试题含解析

2021-2022学年山西省太原市第五十七中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行

B．相交C．垂直D．异面参考答案：C2.已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．7参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d?d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．3.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0平行的直线方程是（

）

(A)4x+3y-13=0

（B）4x-3y-19=0

(C)3x-4y-16=0

(D)3x-4y+16=0参考答案：C考点：两直线的位置关系及运用.4.若的取值范围是

（

）

A．[2，6]

B．[2，5]

C．[3，6]

D．[3，5]参考答案：A5.由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（

）A.正方体的体积取得最大B.正方体的体积取得最小C.正方体的各棱长之和取得最大D.正方体的各棱长之和取得最小参考答案：A【分析】根据类比规律进行判定选择【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A.【点睛】本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题.6.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据所给函数特征，排除不符合要求的选项即可．【详解】A选项为奇函数，可以排除B选项是周期函数，在区间(0,+∞)不具备单调性，可以排除D选项在区间(0,+∞)上单调递增函数，可以排除只有C既是偶函数，在区间(0,+∞)上单调递减所以选C【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的简单应用，属于基础题．7.下列命题中正确的是（

）A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

参考答案：B8.使不等式成立的充分不必要条件是

（）A．

B.

C.

D.参考答案：A9.实数满足不等式组，则的最大值为（

）A.1

B.0

C.-1

D.-3参考答案：A10.数列的通项公式是其前项和为则项数等于A．6

B．9

C．10

D．13参考答案：A先将数列的通项变形，再求和，利用已知条件建立方程，即可求得数列的项数n解：因为，所以由得：。故选A。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l1：3x﹣y+2=0，l2：x+my﹣3=0，若l1⊥l2，则m的值等于．参考答案：3【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：∵l1⊥l2，∴3×=﹣1，解得m=3．故答案为：3．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.在中，则外接圆的半径，运用类比方法，三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为则其外接球的半径为=

参考答案：略13.设，若不等式对任意实数恒成立，则x取值集合是_______.参考答案：【分析】将不等式转化为，分别在、、、的情况下讨论得到的最大值，从而可得；分别在、、的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.【详解】对任意实数恒成立等价于：①当时，

②当时，③当时，④当时，

综上可知：，即当时，，解得：当时，，无解当时，，解得：的取值集合为：本题正确结果；【点睛】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果.14.已知，且满足，则xy的最大值为

.参考答案：3

15.已知f（x﹣1）=x2，则f（x）=

．参考答案：（x+1）2【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】可用换元法求解该类函数的解析式，令x﹣1=t，则x=t+1代入f（x﹣1）=x2可得到f（t）=（t+1）2即f（x）=（x+1）2【解答】解：由f（x﹣1）=x2，令x﹣1=t，则x=t+1代入f（x﹣1）=x2可得到f（t）=（t+1）2∴f（x）=（x+1）2故答案为：（x+1）2．16.已知函数，其导函数为，则=

参考答案：；略17.与双曲线有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为---________参考答案：;三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满12分）已知函数,曲线在点处的切线为，若时，有极值.（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值.参考答案：略19.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BE⊥AC，AC⊥BD．由此能证明AC⊥平面BDE．（Ⅱ）设AC∩BD=O，设G为DE的中点，连结OG，FG，推导出四边形AOGF为平行四边形，从而AO∥FG，即AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．（Ⅲ）推导出点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，由VC﹣DEF=VA﹣DEF，能求出三棱锥C﹣DEF的体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，且AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD．因为AC?平面ABCD，所以BE⊥AC．又因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为BD∩BE=B，所以AC⊥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，则AF∥OG，且AF=OG．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC?平面DEF，FG?平面DEF，所以AC∥平面DEF．…（9分）解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，因为AF∥BE，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD．又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AD⊥平面ABEF．由（Ⅱ）可知，AC∥平面DEF，所以，点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，所以VC﹣DEF=VA﹣DEF．因为AB=AD=2AF=2．所以=．故三棱锥C﹣DEF的体积为．…（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.(本题满分12分).函数，

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；参考答案：解：（1）.此时，满足x=2是取得极值-------5分（2）由已知，恒成立，或恒成立.若恒成立，即在恒成立，即若恒成立，即在恒成立，即令，则当时，；当或时，

或

-------12分略21.已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，?q也为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．【专题】计算题；综合题．【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，?q也为假命题，最后取交集即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，即命题P：a＞1或a＜﹣3；∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，∴4+（a﹣1）2＜8的内部，解得：﹣1＜a＜3，即命题q：﹣1＜a＜3，由pΛq为假命题，?q也为假命题，∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．22.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？参考答案：【考点】分层抽样方法；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．…（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5…（Ⅲ）由直方图，得：第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人，第5组人数为0.1×100=10人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1