上海崇明县城东中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

上海崇明县城东中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为()A．－3/2 B.

3/2C．3

D．

－3参考答案：A略2.函数的定义域为，其导函数内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.在等差数列{an}中，已知,则该数列前11项和等于A．58

B．88

C．143

D．176参考答案：B4.已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A.4

B.

C.－4

D.－参考答案：A5.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f￠(x)的图象可能为（

）

参考答案：D略6.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2xf'（1）+lnx，则f'（）=（）A．﹣2 B．e﹣2

C．﹣1

D．e参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中得到关于f′（1）的方程，求出方程的解，再带值即可得到f′（）的值．【解答】解：函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2xf'（1）+lnx，∴f′（x）=2f'（1）+，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴=﹣2+e，故选：B7.=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.若复数z=为纯虚数，则实数m的值为（

）A.m=2 B.m=－1C.m=－1或m=2 D.m=2且3参考答案：A【分析】由复数为纯虚数，得到，即可求解.【详解】由题意，复数为纯虚数，所以，解得，即实数的值为2，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的分类及其应用，其中解答中熟记复数的概念和复数的分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知双曲线x（b＞0），若右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（） A． B． C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由右焦点F（c，0）到一条渐近线y=bx的距离为b=2，结合a，可得c，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：右焦点F（c，0）到一条渐近线y=bx的距离为b=2， ∵a=1， ∴c=， ∴双曲线的离心率为e==． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础． 10.已知函数（a∈R），若函数恰有5个不同的零点，则a的取值范围是（）A.(0,+∞) B.(－∞,0) C.(0,1) D.(1,+∞)参考答案：A【分析】利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值，通过函数的图象，转化求解即可．【详解】当x＞0时，，，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1，当x≤0时，f（x）＝ax+3的图象恒过点（0，3），当a≤0，x≤0时，f（x）≥f（0）＝3，当a＞0，x≤0时，f（x）≤f（0）＝3，作出大致图象如图所示．方程f（f（x））﹣2＝0有5个不同的根，即方程f（f（x））＝2有五个解，设t＝f（x），则f（t）＝2．结合图象可知，当a＞0时，方程f（t）＝2有三个根t1∈（﹣∞，0），t2∈（0，1），t3∈（1，3）．(，∴1＜t3＜3），于是f（x）＝t1有一个解，f（x）＝t2有一个解，f（x）＝t3有三个解，共有5个解，而当a≤0时，结合图象可知，方程f（f（x））＝2不可能有5个解．综上所述：方程f（f（x））﹣2＝0在a＞0时恰有5个不同的根．故选：A．【点睛】本题考查函数的零点以及函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，考查数形结合的应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是④二面角C—B1D1－C1的正切值是⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．

参考答案：①②④略12.曲线在点处的切线方程为

．

参考答案：；略13.如果复数(i是虚数单位)的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于________．参考答案：b＝－

＝·＝－i，由复数的实部与虚部互为相反数，得＝，解得.b＝－14.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．参考答案：由体积相等得：考点：圆柱及圆锥体积15.从中得出的一般性结论是

参考答案：略16.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的倾斜角α∈（0，），则e的取值范围是

．参考答案：[﹣1，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：|F1C|=|CO|=，由|CM|=|CN|．原点O在以线段MN为直径的圆上，则|OA|=|OB|=c=1．由椭圆的性质，可知，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为0＜k≤，求出a的取值范围，从而求出e的取值范围．【解答】解：由椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，记线段MN与x轴交点为C，由AF1的中点为M，BF1的中点为N，∴MN∥AB，|F1C|=|CO|=，∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，∴|CM|=|CN|．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴|CO|=|CM|=|CN|=．∴|OA|=|OB|=c=1．∵|OA|＞b，∴a2=b2+c2＜2c2，∴e=＞．设A（x，y），由，解得：．AB的倾斜角α∈（0，），∴直线AB斜率为0＜k≤，∴0＜≤3，∴1﹣≤a2≤1+，即为≤a≤，∴e==∈[﹣1，+1]，由于0＜e＜1，∴离心率e的取值范围为[﹣1，1）．故答案为：[﹣1，1）．17.某算法的程序框图如图3所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是____________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图：在直三棱柱中，，，D为的中点(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值的大小.参考答案：(1)证明：连接交于，为的中点，

………………2分连接，由D为的中点，为的中位线，，

………………4分由在平面内，在平面外，平面

…………6分(2)解：由易知为正方形，，令，则点到面的距离，且，

……………10分若二面角的平面角为，则.

……………12分略19.（12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，ＳＡ＝ＡＤ，M为AB中点，N为SC中点.

（1）证明：MN//平面SAD；

（2）证明：平面SMC⊥平面SCD；

参考答案：

（I）证明：取SD中点E，连接AE，NE，∵Ｎ、Ｅ分别是ＳＣ、ＳＤ的中点ks5u∴ＮＥ／／ＣＤ且ＮＥ＝ＣＤ∵ＡＢ／／ＣＤ且ＡＢ＝ＣＤＡＭ＝ＡＢ∴ＮＥ／／ＡＭ且ＮＥ＝ＡＭ∴四边形ＡＭＮＥ为平行四边形∴ＭＮ／／ＡＥ∵∴MN//平面SAD；（2）∵SA⊥平面ABCD

∴SA⊥CD底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD又∵SA∩AD＝A

∴CD⊥平面SAD，

∴CD⊥SD

∴CD⊥AE∵SA=AD

E为SD的中点

∴AE⊥SD

∵SD∩CD＝D∴AE⊥平面SCD

∵AE//MN

∴MN⊥平面SCD

∵MN平面MSC∴平面SMC⊥平面SCD略20.已知函数.（1）若在是单调函数，求a的取值范围；（2）当时，恒成立，求k的取值范围（提示：）.参考答案：（1）（2）【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再根据已知得到实数的取值范围；（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，求出，再解不等式即得k的取值范围.【详解】解：（1）的定义域为，，由，得；由，得.因为在上是单调函数，所以的取值范围为，（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以，所以.因为当时，恒成立，所以，解得，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.如图，棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2

(1)求证：BD⊥平面PAC(2)求二面角P－CD－B的大小(3)求点C到平面PBD的距离参考答案：(1)在Rt△BAD中，AD=2,BD=2，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC又PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC(2)由PA⊥平面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影又CD⊥AD，∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P－CD－B的平面角又PA=AD，∴∠PDA=45°(3)∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=2设C到平面PBD的距离为d.由VP－BCD=VC－PBD有S△BCD·PA=S△PBD·d即××2×2×2=·×(2)2·d得d=22.（本题满分12分）在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随