2021-2022学年安徽省宣城市天华私立中学高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年安徽省宣城市天华私立中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，若a2﹣b2=bc，且=2，则角A=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可得c=2b，结合a2﹣b2=bc，可得a2=7b2，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．【解答】解：∵在△ABC中，==2，由正弦定理可得：=2，即：c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴a2﹣b2=b×2，解得：a2=7b2，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．2.如图，函数y=f（x）的图像为折线ABC，设f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn+1（x）],n∈N*,则函数y=f4（x）的图像为参考答案：D3.若P为棱长为1的正四面体内的任一点，则它到这个正四面体各面的距离之和为______.A.

B.

C.

D.参考答案：D4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个菱形，则该几何体的体积为 A． B．

C．

D．参考答案：A略5.设实数x、y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣ D．参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，作出直线2x+y=8和2x+y=﹣5，得到直线x+ay﹣4=0经过点A，B，进行求解即可取出a的值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，∵z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，∴作出直线2x+y=8，则目标函数与直线x+y﹣4=0交于A，作出直线2x+y=﹣5，则目标函数与直线3x﹣2y+4=0交于B，则直线x+ay﹣4=0经过点A，B，由，解得，即B（﹣2，﹣1），代入直线x+ay﹣4=0，得﹣2﹣a﹣4=0．解得a=﹣6．即AB：x﹣6﹣4=0，由图象进行检验可得，满足条件，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6.若存在唯一的正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由可得，令，利用导数判断出在上有唯一极大值点，根据存在唯一的正整数使不等式成立，即可求出的范围.【详解】由可得，令,则，令,得，，，所以函数在上有唯一极大值点，在上是减函数，因为所以要使不等式存在唯一的正整数，需故选D.【点睛】本题主要考查了与不等式成立有关的特称命题，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了计算能力，属于中档题.7.已知全集，集合，，则等于（A）（B）（C）（D）

参考答案：B略8.已知,则的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A9.若函数y=f（x）在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0．01，则对区间(1，2)至少二等分

A．6次

B．7次

C．8次

D．9次参考答案：B10.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）.现对这些点进行往返标数（从A→B→A→B→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）。如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n的点称为点n），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标记的数中，最小的是

．参考答案：(理)3.12.变量，满足条件，求的最大值为

．参考答案：略13.从原点O向圆C:作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为

．参考答案：(写成1:2也对).把圆的方程化为标准方程为，得到圆心C的坐标为(0,6),圆的半径,由圆切线的性质可知,∠CBO=∠CAO=90?，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60?+60?=120?所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为(写成1:2也对).14.已知A，B，C是圆x2+y2=1上互不相同的三个点，且满足||=||，则的取值范围是．参考答案：[﹣，）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，设出、以及的坐标，求出?的坐标表示，求取值范围即可．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵||=||，∴C（cosθ，﹣sinθ）；∴?=（cosθ﹣1，sinθ）?（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=cos2θ﹣2cosθ+1﹣（1﹣cos2θ）=2﹣；∵﹣1＜cosθ＜1，∴当cosθ=，即θ=时，上式取得最小值﹣；当cosθ=﹣1时，2﹣1=；∴的取值范围是[﹣，）．故答案为：[﹣，）．15.（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，，则=

。参考答案：略16.函数的值域为

.参考答案：.试题分析：由题意得，，∴设，∴，其中，，而，∴，故值域是，故填：.考点：1.函数的值域；2.三角换元.【思路点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)；⑥判别式法；⑦不等式法；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域.17.在直角中，两条直角边分别为，斜边和斜边上的高分别为，则的取值范围是

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）

记等差数列{}的前n项和为，已知，.（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{}的前项和．参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列{}的公差为d，由已知条件得

可得数列{}的通项公式为=n.

------4分（Ⅱ）

=-

=

=

------10分

19.（本小题12分）已知暗箱中开始有3个红球，2个白球，现每次从暗箱中取出1个球后，再将此球以及与它同色的5个球（共6个球）一起放回箱中，（1）求第2次取出红球的概率；（2）若取出白球得5分，取出红球得8分，设连续取球3次的得分值为，求的分布列和数学期望。参考答案：解：（1）

……………4分（2）的所有可能取值为：15、18、21、24

……………6分

于是的分布列如下表所示：……………8分15182124P故

……………12分20.（本小题满分12分）如图.所在平面外一点,,若,且点分别在线段上满足:(I)求证:为锐角三角形;(II)求平面与平面所成的角的余弦值．参考答案：所以为锐角三角形。(2)以P为原点PB、PA、PC分别为x，Y，z轴建立坐标系。设平面ABC的法向量则同理求得平面EFC的法向量两平面的夹角的余弦值21.已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得∴f（x）的单调递减区间为令f′（x）＞0解得∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当时，t无解当，即时，∴；当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt∴；（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1∵x∈（0，+∞）∴设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2∴a≥﹣2故实数a的取值范围[﹣2，+∞）【点评】本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．22.（本小题满分13分） 如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p0）的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q． （1）当直线PQ的方程为x-y=0时，求抛物线Cl的方程； （2）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．参考答案：【知识点】抛物线方程直线与抛物线H7

H8（1）；（2）.（Ⅰ）设点P（x，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，

因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x--=0，解得p=2，

所以抛物线C1

的方程为．

（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x），即2xx-2py-=0，

根据切线与圆切，得d=r，即=1，化简得，

由方程组，解得Q（，），

所以|PQ|=|xP-xQ|==，

点F（0，）到切线PQ的距离是d==，

所以=××=，

=，

而由知，4p2=，得|x