2022-2023学年山东省泰安市泰前街道黄山中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年山东省泰安市泰前街道黄山中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4B．3C．2D．1参考答案：A【考点】：抛物线的应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A【点评】：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想2.已知则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知数列是等比数列，且，则(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略4.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象（部分图象如图所示），则的解析式为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】由图象可得，解得，又由，解得，得到，在利用三角函数的图象变换，即可求得，得到答案．【详解】由图象可知，，即，解得，又由，即，解得，即函数的解析式为，将函数图象上点的横坐标缩短到原来的倍，得，所以函数解析式.故选C．【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象及三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，点P为CC1的中点，则异面直线AP与C1D1所成角的正切值为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的正切值.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，,设异面直线与所成角为，则，，，异面直线与所成角正切值为，故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.6.设满足，若的最小值为-7，则（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B7.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）

A．(1，1＋)

B．(1，)

C．(+1，＋∞)

D．(1,＋∞)参考答案：A如图，设（），因为点A在双曲线上，代入得，解得，。因为△ABF2为锐角三角形，所以，从而，即，，化简得，两边同除以，得，解得，又，所以，故选择A。8.设变量满足约束条件，则的最小值为 （

） A．

B．

C.

D．参考答案：D9.过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则直线AB的斜率为（）A．±1 B． C．±2 D．参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义可知：|AC|=2|AF|，则∠ACD=，则∠CAD=，则∠xFB=，直线AB的斜率k=tan∠xFB=，同理即可求得直线AB的斜率﹣．【解答】解：抛物线y2=4x焦点F（1，0），准线方程l：x=﹣1，准线l与x轴交于H点，过A和B做AD⊥l，BE⊥l，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，则∠ACD=，则∠CAD=，∴∠xFB=，则直线AB的斜率k=tan∠xFB=，同理可知：直线AB的斜率﹣，∴直线AB的斜率±，故选B．10.已知函数的零点，其中常数a，b满足，，则n等于(

)

A．-1

B．-2

C．1

D．2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列中，，，则＝________.参考答案：

3

略12.设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当x∈[，2]时，x+＞a恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是

．参考答案：（1，2）【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a范围．对于命题q：当时，利用基本不等式的性质可得：x+≥2，根据恒成立，可得a的求值范围．如果命题“p∧q”为真命题，可得实数a的取值范围．【解答】解：对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a＞1．对于命题q：当时，x+≥2，当且仅当x=1时取等号．由当时，恒成立，∴a＜2．如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是1＜a＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了对数函数的定义域、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（几何证明选讲选做题）如图，在中，//，//，若，则的长为__________．参考答案：14.若，则函数的最小值为

.参考答案：315.给出下列四个命题：①中，是成立的充要条件；②当时，有；③已知是等差数列的前n项和，若，则；④若函数为上的奇函数，则函数的图象一定关于点成中心对称．其中所有正确命题的序号为

．参考答案：（1）（3）16.某几何体的三视图如图所示,则其体积为_______.参考答案：17.已知双曲线C：的离心率，且它的一个焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的方程为____________________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm),将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)将上面表格中缺少的数据填充完整.(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3］内的概率.(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.参考答案：(2)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3］内的概率为0.50+0.20=0.70.答：不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3］内的概率为0.70.(3)合格品的件数为(件).答：合格品的件数为1980件.略19.（本小题满分14分）已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.参考答案：在单调减小，在，单调增加。20.已知函数，其中.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）已知函数.其中，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1） （1分）令，①当时，，∴，函数在上单调递增；（2分）②当时，，所以，即，∴函数在上单调递增； （3分）③当时，，令，得，且，由,由 ∴在和上单调递增，在单调递减，（5分）综上，当时，函数在上单调递增，当时，在单调递增，在单调递减. （6分）（2）∵存在，使得成立，∴存在使得且成立，∴，由（1）知，当时，上单调递增， （8分）又时，由可知，，则在上单调递增，此时，∵且∴且恒成立，∴且，∵可看作关于的一次函数，则， ∴ （10分）同理，， ∴， （11分）又∵，∴ （12分）21.(13分)已知抛物线，过点（其中为正常数）任意作一条直线交抛物线于两点，为坐标原点.（I）求的值；（Ⅱ）过分别作抛物线的切线，探求与的交点是否在定直线上，证明你的结论.参考答案：(Ⅰ)设直线方程为，消去得，所以=故.……6分（Ⅱ）,方程为

整理得,同理得方程为………9分Ks5u联立方程,得，,故的交点在定