第五章三角函数小结

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期第五章 三角函数第五章章末小结知识导图·明架构题型探究·悟思路拓展延伸·育素养题型1

三角函数的定义例1（1）

已知角𝜃

的顶点为坐标原点,始边为𝑥

轴的正半轴.若𝑃

4,

𝑦

是角𝜃

终边上一点,且<>m−8/<>msin𝜃

=

−

ଶ

ହ

,则𝑦

=

.ହ[解析]

因为𝑟

= 𝑥ଶ

+

𝑦ଶ

= 16

+

𝑦ଶ

,且sin𝜃

=

−

ଶ

ହ

,所以sin𝜃

=

௬

=ହ

௥௬ଵ଺ା௬మହ=−ଶ

ହ

,所以𝜃

为第四象限角,解得𝑦=−8

.ଶ（2）

已知角𝛼

的终边经过点𝑃

−3cos𝜃,

4cos𝜃

,其中𝜃

∈

஠

,

π,则sin𝛼=,

tan𝛼

=.−

ସ><m

ହ/<>m−

ସ<>m

ଷ/<>mଶ[解析]

因为𝜃

∈

஠

,

π

,所以

cos𝜃

<

0

,所以𝑟

=𝑥ଶ

+

𝑦ଶ

=9cosଶ𝜃

+16cosଶ𝜃

=

−5cos𝜃

.故sin𝛼=௬

=−ସ

,tan𝛼=௬

=−ସ

.௥

ହ

௫

ଷ方法总结 求三角函数值的两种方法：（1）利用单位圆求解;（2）利用定义求解.当角𝛼m>< m></

的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.题型2

同角三角函数基本关系及诱导公式例2

已知𝑓m><

𝛼

=/<>m><mୱ୧୬మ

஠ିఈ

⋅ୡ୭ୱ

ଶ஠ିఈ

⋅୲ୟ୬

ି஠ାఈୱ୧୬

ି஠ାఈ

⋅୲ୟ୬

ିఈାଷ஠/<>m

.（1）化简<>m𝑓

𝛼

/<>m

;଼/><m

m><

ସ

ଶm></<>m

m<>/（2）若𝑓

𝛼 =

ଵ

,且஠

<

𝛼

<

஠

,求cos𝛼

−

sin𝛼

的值;m<>ସ/<>m

m><

m></（3）若𝛼

=

−

ସ଻஠

,求𝑓

𝛼 的值.m><[解析]

（1）

𝑓

𝛼ିୱ୧୬ఈ

ି୲ୟ୬ఈ=

ୱ୧୬మఈ⋅ୡ୭ୱఈ⋅୲ୟ୬ఈ

=

sin𝛼

⋅cos

.଼（2）由𝑓

𝛼 =

sin𝛼

⋅cos𝛼

=

ଵ

可知,

cos𝛼

−

sin𝛼

ଶ

=

cosଶ𝛼

−

2sin𝛼

⋅

cos𝛼

+

sinଶ𝛼

=

1

−2sin𝛼

⋅cos𝛼

=

1

−2×ଵ

=

ଷ

,଼ ସ又∵஠

<𝛼<஠

,∴cos𝛼<sin𝛼

,即cos𝛼−sin𝛼<0

,∴cos𝛼−sin𝛼=−ସ

ଶଶଷ

.（3）

∵

𝛼

=

−

ସ଻

π

=

−6

×

2π

+

஠,ସ

ସ∴

𝑓 −

ସ଻஠ସ=

cos −

ସ଻஠

⋅sin −

ସ଻஠ସ

ସସସସ=

cos −6

×2π+஠

⋅sin −6

×2π+஠

=

cos

஠

⋅ସsin

஠

=ଶ

× ଶ

=

ଵ

.ଶ

ଶ

ଶ方法总结

1.诱导公式的两个应用求值：负化正,大化小,化到锐角为终了.化简：统一角,统一名,同角名少为终了.2.同角基本关系的应用<>m

m></

m><

m></<>mୡ୭ୱఈ/<>m（1）利用sinଶ𝛼+cosଶ𝛼=1

可以实现角𝛼

的正弦、余弦的互化,利用ୱ୧୬ఈ

=tan𝛼

可以实现角<>m𝛼/<>m

的弦切互化.（2）应用公式时要注意方程思想的应用,对于<>msin𝛼+cos𝛼/<>m

,<>msin𝛼cos𝛼/<>m

,<>msin𝛼−cos𝛼/<>m

，三者之间可以知一求二.题型3

三角函数的图象例3（1）

[2021年全国乙卷]

把函数𝑦

=

𝑓

𝑥

图象上所有点的横坐标缩短到原来的ଵ

,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移஠

个单位长度,得到函数𝑦

=

sin

𝑥−

஠

的图象,则𝑓

𝑥ଷ

ସA.

sin௫

−

଻஠ ௫

+

஠B.

sin

C.

sin

2𝑥−

଻஠

D.

sin 2𝑥

+

஠ଶ

ଵଶ

ଶ

ଵଶ

ଵଶ

ଵଶଶ=

(

7@@

B

).ଶ[解析]

因为把函数𝑦

=

𝑓

𝑥

图象上所有点的横坐标缩短到原来的ଵ

,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移஠

个单位长度,得到函数𝑦

=

sin

𝑥−

஠

的图象,所以把函数𝑦

=

sin

𝑥−

஠

的图象向左平移஠

ଷ

ସ

ସ

ଷ个单位长度,得到𝑦

=

sin 𝑥

+

஠

−

஠

=

sin 𝑥

+

஠的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到𝑓

𝑥ଷ

ସ

ଵଶ=

sin௫

+

஠ଶ

ଵଶ的图象.故选B.（2）

[2021年全国甲卷]已知函数𝑓

𝑥=2cos

𝜔𝑥+𝜑

的部分图象如图所示,则𝑓஠

ଶ=.<>m−

3/<>m[解析]

由图可知,

𝑓

𝑥

的最小正周期𝑇

=

ସଵଷ஠

−஠ଷ

ଵଶ

ଷ ்=π

,所以𝜔=ଶ஠

=2

.=0

,所以由“五点法”作图可得2×஠

+𝜑=஠

,解得𝜑=−஠

,所以𝑓ଷ

ଶ

଺଺=

2cos

2𝑥−

஠

,因为𝑓所以𝑓஠

ଷ஠

ଶ=

2cos

2×

஠

−

஠

=

−2cos

஠

=

− 3

.ଶ

଺

଺方法总结 直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段,在本章中主要体现在三角函数图象的识别、变换及应用中.题型4

三角函数的性质ଷ例4（1）

[2021年全国乙卷]

函数𝑓

𝑥A.

3π

和

2

B.

3π

和2ଷC.

6π

和

2

D.

6π

和2=

sin

௫

+

cos

௫

的最小正周期和最大值分别是(

C

).11@@௫

+

஠ଷ

ସభ

య,故函数的最小正周期为𝑇

=

ଶ஠

=

6π

,函数的最大值为

2

.故[解析]

𝑓

𝑥

= 2sin选C.଺（2）

[2021年新高考全国Ⅰ卷]

下列区间中,函数𝑓

𝑥 =

7sin 𝑥

−஠

的单调递增区间是A.

0,

஠ଶଶB.

஠

,

πC.π,

ଷ஠ଶଶD.

ଷ஠

,

2π(

13@@

A

).଺[解析]

由题意得𝑥

−஠

∈−஠

+2𝑘π,஠

+2𝑘π

,𝑘∈𝐙

,即𝑥∈ଶ

ଶ−

஠

+

2𝑘π,

ଶ஠

+

2𝑘πଷ

ଷ,

𝑘

∈

𝐙

,଺ଷ

ଷ当𝑘

=

0

时,函数𝑓

𝑥 =

7sin 𝑥

−஠

的单调递增区间为 −

஠

,

ଶ஠

.因为

0,

஠

∈ଶ−

஠

,

ଶ஠ଷ

ଷ,所以

0,

஠

是函数的一个单调递增区间.ଶ方法总结 逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数的性质中.题型5

三角函数式的化简、求值例5ଶ（1）

[2021年全国甲卷]

若𝛼

∈ 0,

஠

,

tan2𝛼

=ୡ୭ୱఈଶିୱ୧୬ఈ,则tan𝛼=(A.ଵହଵହB.ହ

ହC.ହ

ଷD.ଵହଷ51@@

A

).మ౩౟౤ഀଵି౩౟౤మഀౙ౥౩మഀ[解析] 由题意得

ౙ౥౩ഀ

=ୡ୭ୱఈଶିୱ୧୬ఈ,整理得ଶୱ୧୬ఈୡ୭ୱఈୡ୭ୱమఈିୱ୧୬మఈ=ୡ୭ୱఈଶିୱ୧୬ఈ,即ଶୱ୧୬ఈଵିଶୱ୧୬మఈ=ଵଶିୱ୧୬ఈ,解得sin𝛼

=

ଵ

,则cos𝛼

=

ଵହ

,所以tan𝛼

=

ଵହ

.故选A.ସ

ସ

ଵହ（2）

[2021年新高考全国Ⅰ卷]

若tan𝜃

=

−2

,则ୱ୧୬ఏ

ଵାୱ୧୬

ଶఏୱ୧୬ఏାୡ୭ୱఏA.

−

଺

B.

−

ଶ

C.

ଶହ

ହ

ହD.

଺ହ=

(

C71@@

).[解析]ୱ୧୬ఏ

ଵାୱ୧୬ଶఏୱ୧୬ఏାୡ୭ୱఏ

ୱ୧୬ఏାୡ୭ୱఏ=

ୱ୧୬ఏ

ୱ୧୬ఏାୡ୭ୱఏ

మ

=

sin𝜃

⋅ sin𝜃

+cos𝜃=

sinଶ𝜃

+

sin𝜃cos𝜃

=ୱ୧୬మఏାୱ୧୬ఏୡ୭ୱఏ

=୲ୟ୬మఏା୲ୟ୬ఏ

=

ସିଶ=ଶ

.故选C.ୱ୧୬మఏାୡ୭ୱమఏ

୲ୟ୬మఏାଵ

ସାଵ

ହ方法总结 三角函数式的求值、化简的策略化弦：当三角函数式中含有正弦、余弦及正切函数时,往往把切化为弦,再化简变形.化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时,可将三角函数名称统一为正切,再化简.“1”的代换：在三角函数式中,有时会含有常数1,常数1虽然非常简单,但有些化简却需要利用公式将1代换为三角函数式.三角函数式化简的实质是灵活地运用公式进行运算,从而得到一个便于观察和研究的结果,在这个过程中,要体现一个“活”字.当然“活”的体现涉及公式的“活”和角的“活”.题型6

三角恒等变换与三角函数的综合问题例6

已知函数𝑓

𝑥 =

cos𝑥sin 𝑥

+

஠m><ଷ− 3cosଶ𝑥

+

ଷ

,

𝑥

∈

𝐑

.ସ

/><m

m><

/<>m（1）求<>m𝑓

𝑥

/<>m

的最小正周期;><m

m></

m><ସସ

/<>m（2）求𝑓

𝑥

在闭区间[−

஠

,

஠]

上的最大值和最小值.[解析]

（1）

∵

𝑓

𝑥 =

cos𝑥

ଵ

sin

𝑥

+

ଷ

cos𝑥

− 3

cosଶ𝑥

+

ଷ

=

ଵ

sin

𝑥cos

𝑥

−

ଷ

cosଶ𝑥

+ଶ

ଶ

ସ

ଶ

ଶସଷ

=ଵ

sin

2𝑥

−

ଷ

1+

cos

2𝑥

+

ଷ

=

ଵ

sin

2𝑥

−

ଷ

cos

2𝑥

=

ଵ

sin 2𝑥

−

஠ ,ସ

ସ

ସ

ସ

ସ

ଶ

ଷଶ∴𝑓

𝑥

的最小正周期𝑇=ଶ஠

=π

.（2）

∵

−

஠

≤

𝑥

≤

஠

,

∴

−

ହ஠

≤

2𝑥

−

஠

≤

஠

,ସ

ସ

଺

ଷ

଺∴

−1

≤

sin 2𝑥

−

஠ ≤

ଵ

,ଷ

ଶ∴

−

ଵ

≤

𝑓

𝑥 ≤

ଵ

,∴函数𝑓

𝑥

在闭区间[−

஠

,

஠]

上的最大值为ଵ

,最小值为−

ଵ

.ଶ

ସ

ସ

ସ

ସ

ଶ方法总结

1.三角恒等变换与三角函数的综合问题,常以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简为𝑦m><

=

𝐴sin

𝜔𝑥

+𝜑 +

𝑘m></

或𝑦m><

=

𝐴cos

𝜔𝑥

+𝜑 +

𝑘m></

等形式,然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.2.通过三角恒等变换,进而研究三角函数的性质,培养逻辑推理和数学运算素养.A.

3𝑛

sin

ଷ଴∘

+

tan

ଷ଴∘

B.

6𝑛

sin

ଷ଴∘

+

tan

ଷ଴∘௡

௡

௡

௡C.

3𝑛

sin

଺଴∘

+

tan

଺଴∘

D.

6𝑛 sin

଺଴∘

+

tan

଺଴∘௡

௡

௡

௡题型7

函数模型及其应用例7

[2020年北京卷]2020年3月14日是全球首个国际圆周率日π

Day

.历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似,数学家阿尔·卡西的方法：当正整数𝑛

充分大时,计算单位圆的内接正6𝑛

边形的周长和外切正6𝑛

边形（各边均与圆相切的正6𝑛

边形）的周长,将它们的算术平均数作为2π

的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π

的近似值的表达式是(20@@

A

).[解析]

单位圆内接正6𝑛

边形的每条边所对应的圆心角为ଷ଺଴∘

=

଺଴∘

,每条边长为2sin

ଷ଴∘

,所௡×଺

௡

௡௡以单位圆的内接正6𝑛

边形的周长为12𝑛sin

ଷ଴∘,单位圆的外切正6𝑛

边形的每条边长为2tanଷ଴∘௡,其周长为12𝑛tanଷ଴∘௡ଵଶ௡ୱ୧୬యబ∘ାଵଶ௡୲ୟ୬యబ∘ଶ,

∴

2π

≈

೙

೙

=

6𝑛

sinଷ଴∘௡+tanଷ଴∘௡,则π≈3𝑛

sin

ଷ଴∘

+

tan

ଷ଴∘௡

௡.故选A.方法总结数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.主要表现为发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题.两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用在钝角三角形<>m𝐴𝐵𝐶/<>m

中,已知<>m𝐶/<>m

为钝角,<>m𝐴/<>m

,<>m𝐵/<>m

都是锐角,试探究<>m𝑃=sin

𝐴+𝐵

/<>m

,<>m𝑄=

sin

𝐴+sin

𝐵/<>m

,<>m𝑅=cos

𝐴+cos

𝐵/<>m

的大小,并把<>m𝑃/<>m

,<>m𝑄/<>m

,<>m𝑅/<>m

按从小到大的顺序排列起来.【问题探究】1.当𝐴=30∘,𝐵=30∘时,求𝑃

,𝑄

,𝑅

的值,并比较它们的大小.m><

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m[解析]

当𝐴

=

30∘

,

𝐵

=

30∘

时,𝑃

=

sin

30∘

+

30∘

=

sin

60∘

=ଶଷ

,𝑄

=

sin

30∘

+sin

30∘

=

2sin

30∘

=

1

,𝑅

=

cos

30∘

+

cos

30∘

=

2cos

30∘

= 3

,∴

𝑃

<

𝑄

<

𝑅

.2.当𝐴=30∘,𝐵=45∘时,求𝑃

,𝑄,𝑅

的值,并比较它们的大小.m><

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m

<>m

/<>m[解析]当𝐴=30∘,𝐵=45∘时,𝑃

=

sin

30∘

+

45∘

=

sin

30∘cos

45∘

+

cos

30∘

⋅

sin

45∘

=

ଵ

×ଶ

ଶଶଶସଶ

+

ଷ

×

ଶ

=

଺ା

ଶ

,𝑄

=

sin

30∘

+

sin

45∘

=

ଵ

+ଶ

=

ଵା

ଶ

,ଶ

ଶ

ଶ𝑅

=

cos

30∘

+

cos

45∘

=ଷ

+

ଶ

=

ଷା

ଶ

.ଶ

ଶ

ଶ଺ା

ଶ

−

ଵା

ଶ

=ସ

ଶସ଺ି

ଶିଶ

<

0

,∵

𝑃

−

𝑄

=∴

𝑃

<

𝑄

.∵

𝑄

−

𝑅

=

ଵା

ଶ

−ଶ

ଶ

ଶଷା

ଶ

=

ଵି

ଷ

<

0

,∴

𝑄

<

𝑅

,

∴

𝑃

<

𝑄

<

𝑅

.3.由问题1,

<>m2/<>m

你能得到什么结论?并证明你的结论.[解析]

由问题1,

2

猜想𝑃

<

𝑄

<

𝑅

.证明如下：ଶ∵𝐶为钝角,∴0<𝐴+𝐵<஠

,∴

𝐴

<

஠

−𝐵,

𝐵

<

஠

−

𝐴,ଶ

ଶଶ

ଶ∴

cos

𝐴

>

cos

஠

−𝐵 =

sin

𝐵

,

cos

𝐵

>

cos

஠

−𝐴 =

sin𝐴

,∴𝑅−𝑄=cos

𝐴+cos

𝐵−sin𝐴−sin𝐵>sin

𝐵+sin

𝐴−sin𝐴−sin𝐵=0

,即𝑅>𝑄

.∵

𝑃

−𝑄

=

sin

𝐴

+𝐵 −

sin𝐴−sin𝐵

=

sin

𝐴cos

𝐵

+cos

𝐴sin

𝐵

−sin𝐴−sin𝐵

=sin

𝐴

cos

𝐵

−1 +

sin

𝐵

cos

𝐴−

1 <

0

,

∴

𝑃

<

𝑄

.综上所述，𝑃<𝑄<𝑅

.4.若将钝角三角形改为锐角三角形,<>m𝑃/<>m

,<>m𝑄/<>m

,<>m𝑅/<>m

的大小关系又如何？[解析]

∵

𝑃

−𝑅

=

sin

𝐴

+𝐵 −

cos𝐴−

cos

𝐵

=

sin

𝐴cos

𝐵

+

cos

𝐴sin𝐵

−cos𝐴−cos𝐵

=sin𝐴−

1 ⋅cos

𝐵

+ sin

𝐵

−