2021年湖南省长沙市中南大学附属实验中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年湖南省长沙市中南大学附属实验中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若条件p：，条件q：，则是的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既非充分条件也非必要条件参考答案：答案：B2.向量满足：且，则向量与的夹角是(

)

参考答案：D,3.函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为（）

参考答案：C4.从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出（每地1人），其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有多少种（

） A．240 B．360 C．480 D．600参考答案：D略5.若双曲线：与抛物线的准线交于两点，且，则的值是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D6.给出平面区域G，如图所示，其中，若使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则的值为A．

B．

C．2

D．4参考答案：D略7.如图，在空间四边形中，两条对角线，互相垂直，且长度分别为和，平行于这两条对角线的平面与边，，，分别相交于点，，，，记四边形的面积为，设，则（

）． A．函数的值域为 B．函数的最大值为C．函数在上单调递减 D．函数满足参考答案：D∵平面，平面，，，且，∴，∴是矩形，又∵，，∴，，∴，∵，∴，错，错．∵，即，对．8.在中，是边的中点，角的对边分别是，若，则的形状为A．直角三角形

B．钝角三角形

C．等边三角形

D．等腰三角形但不是等边三角形参考答案：C略9.角α的终边经过点A（﹣，a），且点A在抛物线y=﹣x2的准线上，则sinα=（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】先确定抛物线的准线方程，从而确定点A的坐标，利用三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：抛物线y=﹣x2的准线方程为y=1∵点A（﹣，a）在抛物线y=﹣x2的准线上∴a=1∴点A（﹣，1）∴sinα=故选B．10.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为

（A）4

（B）5

（C）6

（D）7参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，则的值为

，不等式的解集为

；参考答案：;

考点：1复合函数的求值;2指数,对数不等式.12.某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人，为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是

.

参考答案：答案：5013.以直线坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l：y=x与圆C：ρ=4cosθ相交于A、B两点，则以AB为直径的圆的面积为_________．参考答案：.14.已知无穷数列具有如下性质:①为正整数；②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,.在数列中，若当时，，当时，（，），则首项可取数值的个数为___________（用表示）参考答案：略15.函数f(x)＝lnx＋的定义域为

．参考答案：(0，1]16.直角的三个顶点都在给定的抛物线上，且斜边和轴平行，则斜边上的高的长度为

▲

．

参考答案：17.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

；

根据上述分解规律，若的分解中最小的正整数是21，则___________.参考答案：11三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．参考答案：（1）证明：连BD，AC交于O。∵ABCD是正方形

∴AO=OC，OC=AC

连EO，则EO是三角形PBD的中位线。EO∥PB

EO平面AEC

∴PB∥平面AEC

（2）：∵PA⊥平面ABCD

∴CD⊥PA

∵ABCD是正方形∴AD⊥CD

∴CD⊥平面PAD

∴平面PAD⊥平面PCD19.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（1）求与；（2）证明：．参考答案：（1），；（2）详见解析.考点：1.等差数列与等比数列的运算；2.裂项相消法求数列的和．20.设数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，求数列的前项和.参考答案：（1）；（2）．

（2）由（1）可得考点：数列的求和；数列的递推公式.21.已知函数为常数)是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数t的最大值；（Ⅲ）若关于的方程有且只有一个实数根，求的值．参考答案：（Ⅰ）是实数集上奇函数，，即

……2分．将带入，显然为奇函数．

……3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使是区间上的减函数，则有在恒成立，，所以．

……5分要使在上恒成立，只需在时恒成立即可． (其中)恒成立即可．

………7分令，则即，所以实数的最大值为

………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程，即，令 当时