广东省佛山市西南第四高级中学2021年高三数学理模拟试题含解析

广东省佛山市西南第四高级中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.向面积为S的△ABC内任投一点P，求△PBC的面积小于的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.设定义在B上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，当则方程上的根的个数为

A．2

B．5

C．4

D．8参考答案：C由知，当时，导函数，函数递减，当时，导函数，函数递增。由题意可知函数的草图为，由图象可知方程上的根的个数为为4个，选C.3.已知集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}，若（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式中存在常数项，则n等于（）A．16 B．15 C．14 D．12参考答案：B【考点】二项式定理的应用．【分析】化简集合M，求出二项式的通项公式，化简整理后，令x的指数为0，对照M中的元素，即可得到答案．【解答】解：集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}={11，12，13，14，15，16}，（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式的通项公式为Tr+1==，令3n﹣5r=0，则n=，由于n∈M，则n=15．故选B．4.若集合，则中元素个数为（

）

A.6个

B.4个

C.2个

D.0个参考答案：B5.已知数列{an}中，，且对任意的，，都有，则（

）A． B．

C．

D．参考答案：D取m＝1得，，即，从而即，求得，故选D.6.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是(

)(A)

(B)(C)

(D)参考答案：B略7.如图所示程序框图是为了求出满足的最小正偶数，那么空白框中及最后输出的n值分别是（

）A．n=n+1和6

B．n=n+2和6

C.n=n+1和8

D．n=n+2和8参考答案：D8.如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（） A． B． C． D． 1参考答案：C略9.（5分）已知△ABC的内角A，C满足=cos（A+C），则tanC的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：正弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】：计算题；解三角形．【分析】：由已知可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=﹣sinAcosB，从而化简得tanB=﹣2tanA，由tanC=﹣tan（A+B）=，根据不等式，即可解得tanC的最大值．解：由=cos（A+C）=﹣cosB，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=﹣sinAcosB，所以：cosAsinB=﹣2sinAcosB，所以：tanB=﹣2tanA，因为：tanC=﹣tan（A+B）=﹣==，因为，所以tanC≤．所以最大值是．故选：D．【点评】：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式、正弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．10.直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则=A.

B.

C.

D.

2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知二次函数的值域为，则的最小值为

。参考答案：4略12.已知集合，则

.参考答案：13.实数x、y满足，则z=x2+y2+2x﹣2y的最小值为．参考答案：0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则z=x2+y2+2x﹣2y=z=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，设m=（x+1）2+（y﹣1）2，则m的几何意义为区域内的点倒是定点D（﹣1，1）的距离的平方，由图象知D到直线y=x的距离最小，此时d=，则m=d2=2，故z的最小值为z=2﹣2=0，故答案为：0．点评：本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离的求解，利用数形结合是解决本题的关键．14.定义在R上的函数满足：，且对于任意的,都有＜，则不等式＞的解集为

。参考答案：（0,2）略15.设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是

．参考答案：16.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为

.参考答案：17.若x，y满足约束条件，则的最大值为_____________．参考答案：6【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2畅通；2～4基本畅通；4～6轻度拥堵；6～8中度拥堵；8～10严重拥堵.早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．参考答案：（Ⅰ）这50路段为中度拥堵的有18个．

……4分（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则事件B“至少一个路段严重拥堵”，则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是

…………8分（III）分布列如下表：303642600.10.440.360.1此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟．

……………12分

略19.(12分)已知函数在区间[—,0]上有,

试求a、b的值。参考答案：解：

时，…………2分当时，有……………6分

当时，有………10分故或………………12分20.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，底面为菱形，，,且，平面，底面.（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由.参考答案：解：（I）设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，设，则，设则，……2分

解得，……4分，设平面的法向量为，则，令，

……6分又平面的法向量为所以所求二面角的大小为…………………8分（Ⅱ）设得……10分，，解得，存在点使面此时…………12分21.已知数列{an}是等比数列，Sn是它的前n项和，若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．参考答案：【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】由a2?a3=2a1=a1?a4，可得a4=2，再由a4与2a7的等差中项为，得a4+2a7=，故有a7=．求出首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式求出s5．【解答】解：数列{an}是等比数列，Sn是它的前n项和，