初等几何研究综合测试题(三)

《初等几何研究》综合测试题（三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。A.一定全等；B.一定不全等；C.可能全等，可能不全等；D.以上都不是。2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，则图中面积相等的三角形共有___________。A.1对；B.2对；C.3对；D.4对。4.在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。5.如图，在ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2,那么DE:BC等于________。A．3:5；B．3:2;C．2:3；D．2:5。6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。A.15cm；B.20cm；C.25cm；D.30cm。7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。8.下列关于平移的说法中正确的是___________。A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.角的大小与边的长短有关。（）2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。（）3.两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。（）4.两直线被第三条直线所截，内错角相等，则同旁内角一定互补。（）5.平面上4条直线必定有6个交点。（）三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）1.一个角比它的余角大20°，则这个角的余角的补角的度数是__________.2.如图，若⊿ABE、⊿BDE、⊿ACD的面积分别为6、9、10，则⊿ACE的面积是_________.3.如图，⊿OCA≌⊿OBD，C和B、A和D是对应点，这两个三角形中相等的边是________________________。相等的角是___________________。4.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于__________.四、计算题（本题8分）如图：等腰梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于E，已知，∠ABD=60，BD=12，且BE∶ED=5∶1，S梯形ABCD=，求这个梯形的周长？五、证明题（本题3小题，每小题9分，共27分）1．如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，且。证明：B,D,H,E四点共圆：证明：平分。2.已知：如图在平行四边形ABCD中，AE=CF，BM=DN求证：四边形EMFN是平行四边形3.已知：如图，过正方形ABCD的顶点A作直线交BD于E，交CD于F，交BC的延长线于G，若H是FG的中点求证：EC⊥CH ∴ 同理：DC= 梯形周长=AD+BC+AB+CD=2+10++=12+ 此题综合性较强，涉及到的知识点很多，但证明的关键是证出是等边三角形，从而求出上、下两底的长度，并且要正确添加辅助线。五、证明题（27分）1．如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，且。（Ⅰ）证明：B,D,H,E四点共圆：（Ⅱ）证明：平分。解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆.（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°.又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°.所以CE平分∠DEF.2.已知：如图在平行四边形ABCD中，AE=CF，BM=DN求证：四边形EMFN是平行四边形分析：本题主要是考查平行四边形的判定方法，下面简述两种证法。证法一： ABCD是平行四边形 AD//BC，AD=BC DE=BF,DM=BN ME//NF EMFN是平行四边形证法二： 证（同证法一） ME=NF 同理可证 EN=FM EMFN是平行四边形。3.已知：如图，过正方形ABCD的顶点A作直线交BD于E，交CD于F，交BC的延长线于G，若H是FG的中点求证：EC⊥CH分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明∠ECH是90即可，此题可先间接证出∠4+∠5=90，从而推出=90，通过∠ABECBE，及RtFCG的斜边中线CH可证得证明： 简述：在正方形ABCD中， ∵AB=BC，BE=BE∴ABECBE ∴∠3=∠4，又H是RtFCG斜边上的中点 六、探究题（15分）如图（a），是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm，宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料。工人师傅要将它作适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件。请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图（b）和图（c）中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹）；（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好一些？说说你的看法和理由。图（一）解：∵拼接后正方形的边长为它恰好是以30cm和10cm为直角边的两个直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两