固体物理第三章晶格振动

固体物理第三章晶格振动第1页，课件共45页，创作于2023年2月晶格振动与格波

实际晶体中的原子并非完全固定不动，原子是不断运动的，具有动能，但是通常情况下原子又不能远离格点，被束缚在格点附近做周期性振动

由于晶体具有周期性结构，原子振动相互关联，在晶体中形成格波。第2页，课件共45页，创作于2023年2月3.1一维晶格的振动一、一维简单格子

设晶格常量为

a，原子

n偏离平衡位置的位移为un，只考虑最近邻的相互作用，晶格振动时相邻两原子在t时刻的距离第3页，课件共45页，创作于2023年2月

晶格作小幅度振动，即|d|<<a，则相邻两原子的相互作用能可以展开为其中U(a)为相邻两原子在间距等于晶格常量时的相互作用能，一般可取为0，而为相邻原子间的作用力1、一维简单格子的互作用力第4页，课件共45页，创作于2023年2月

忽略高阶项，只保留到2阶项，则该近似称为简谐近似，在该近似下，原子间的相互作用力是弹性恢复力，式中

是弹性恢复力常数第5页，课件共45页，创作于2023年2月

第n

个原子的所受作用力为第6页，课件共45页，创作于2023年2月2、一维单原子链的运动方程与解

第

n个原子的运动方程

每个原子对应一个方程，如果原子链有N

个原子则有N

个方程，上式实际上就是N

个联立的齐次方程组第7页，课件共45页，创作于2023年2月3、玻恩-卡门条件（周期性边界条件）：

设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相联结，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。

12nNN+1N+2N+n第8页，课件共45页，创作于2023年2月

上述方程具有波动形式的解其中A为振幅，是圆频率，q是波矢。q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单

位距离两点间的振动位相差。格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振

动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波

的形式在整个晶体中传播，称为格波。

对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动

对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相第9页，课件共45页，创作于2023年2月把该解代入运动方程

即由上式可以看出频率是波矢q的周期函数，周期为，正好为一维链的倒格矢，即格波频率具有倒格子周期性,式中q换成-q时，频率也不变，频率具有反演对称性。第10页，课件共45页，创作于2023年2月11设波包的传播速度为v，则由得波格传播的速度是波长的函数，波长不同的波格传播速度不同。通常称与q的关系称为色散关系。第11页，课件共45页，创作于2023年2月12

格波的波矢量q

的取值范围？对于指数函数如果qa

改变2p

值，结果并没有什么不同，因为所以qa

可以取在–p与p

之间，已涵盖该指数函数的所有独立值或此即一维单原子链的第一布里渊区第12页，课件共45页，创作于2023年2月133、波矢q的个数，模式数由于晶体的体积是很有限的，因而格波波矢的取值不能是任意的，必然受到边界条件的限制，设晶体包含N个原子，由边界条件的周期性有：带入位移的表达式可得到oq第13页，课件共45页，创作于2023年2月14重要结论：上式说明晶格振动的波矢数目等于晶格原胞数目，由色散关系式知给定一个q总有一个与之对应。给定一组就表示原子的一种振动形式，我们称之为振动模式。这说明q只能取一系列不连续的值，在q空间，一个q值与一个点对应，这些点在空间均匀分布，相邻q点的“距离”为，而q的取值在第一布里渊区，它的大小为,所以允许的q的总数为第14页，课件共45页，创作于2023年2月3.2一维双原子链晶格的振动一、一维双原子链晶格的振动第15页，课件共45页，创作于2023年2月第2n号原子,由虎克定律F2n-1

F2n+12n2n号原子的运动方程2n+22n

2n+1

2n-1第16页，课件共45页，创作于2023年2月3、试探解

同理，2n+1号原子的运动方程为

F2n

F2n+2第17页，课件共45页，创作于2023年2月把u2n、u2n+1代入以上两个运动方程关于A、B的两个方程A、B非零解，系数行列式为0

第18页，课件共45页，创作于2023年2月4、色散关系abMmMmβ1β2u2n－1色散关系与力常数β和格常数a有关

对于实际晶体，＋(0)在1013

~1014Hz，对应于远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在＋(0)附近的强烈吸收。第19页，课件共45页，创作于2023年2月当q=0ωA=0

当q=

第20页，课件共45页，创作于2023年2月5、波矢q

的取值、格波支数利用波恩—卡门边界条件，波矢q的取值

m=0,±1,±2,……波矢数=原胞数

N格波模式总数=原子总数=2N第21页，课件共45页，创作于2023年2月原子间力常数均为β第22页，课件共45页，创作于2023年2月第23页，课件共45页，创作于2023年2月ωAωOqωo第24页，课件共45页，创作于2023年2月§3.2三维晶格振动一、关于波矢q一个m值对应一个q点，波矢取分离值，均匀分布相邻q点“距离”为内，q

点的取值数=（1）一维第25页，课件共45页，创作于2023年2月

设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：N＝N1N2N3

a1a2a3（2）三维h1,h2,h3＝整数一组（h1、h2、h3）确定一个波矢q点，波矢q分离值、均匀分布。第26页，课件共45页，创作于2023年2月可取的q

点数=在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：第27页，课件共45页，创作于2023年2月结论：三维晶体有N个原胞，每个原胞内有s个原子（一个基元）波矢数=原胞数N振动模式数=所有原子自由度数3sN第28页，课件共45页，创作于2023年2月3.3晶格振动的量子化和声子

在简谐近似下，晶体中存在3sN个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这3sN个简谐格波共同决定.

晶格振动的系统能量是否可表示成3sN个独立谐振子能量之和吗？第29页，课件共45页，创作于2023年2月首先以单原子为例波矢为q的格波引起的第n个原子的位移为格波不同引起的原子位移一般也不同一、简正振动第n个原子的总位移应为所有格波引起位移的迭加第30页，课件共45页，创作于2023年2月将和Aq写在同一表达式中其中按经典力学，系统的总能量为动能和势能之和包含交叉项交叉项第31页，课件共45页，创作于2023年2月有交叉项对建立物理模型和数学处理都带来困难.简正变换:式中称为简正坐标.

Q(q,t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。第32页，课件共45页，创作于2023年2月广义动量经典谐振子能量简正坐标

由N个原子组成的一维晶体，其晶格振动能量可看成N个谐振子的能量之和.广义坐标第33页，课件共45页，创作于2023年2月按照量子力学，独立的简谐振子的能量所以一维晶格振动的总能量晶格振动的能量是量子化的，能量的增减以计量.当n=0时---零点能上述方法可以推广到三维晶格,设每个原胞中含p个原子第34页，课件共45页，创作于2023年2月光子1905年爱因斯坦在研究光电效应时提出光子的概念.光是运动着的粒子流→光子每个光子的能量为对照光子的概念,我们将格波的能量量子称为声子.注:(1)声子是准粒子.光子是真实粒子,可在真空中存在.声子是人们为了更好理解和处理晶格集体振动而设想的一种粒子,不能游离于固体之外.二、声子第35页，课件共45页，创作于2023年2月3.6晶格的比热一、固体的定容热容E—固体的平均内能按照经典理论,每个自由度的平均能量---能均定理N个原子，晶体总能量热容是一个与温度和材料无关的常数.---杜隆－珀替定律实验表明在低温时热容量随温度迅速趋于零!与实验不符第36页，课件共45页，创作于2023年2月

根据量子理论,在简谐近似下,晶体的能量为

频率的计算比较复杂,在一般讨论中，常用爱因斯坦模型和德拜模型.比热的量子理论第37页，课件共45页，创作于2023年2月二、爱因斯坦模型

1907年爱因斯坦采用了非常简单的假设：假设晶体中的原子振动是相互独立的，所有原子都具有同一频率0.

第38页，课件共45页，创作于2023年2月---爱因斯坦温度温度较高时——与杜隆—珀替定律相符温度非常低时——按温度的指数形式降低第39页，课件共45页，创作于2023年2月——按温度的指数形式降低

这是经典理论所不能得到的结果，解决了长期以来困扰物理学的一个疑难问题.实验表明:温度很低时---爱因斯坦模型过于简单,忽略了各格波之间的频率差别.温度较高时

——与杜隆—珀替定律相符温度非常低时第40页，课件共45页，创作于2023年2月

德拜于1912年提出了另一个简化模型,考虑了格波的的频率分布.(1)把晶体视为连续介质,即把格波看作是弹性波.(2)假定横波和纵波的波速相等.低温时，只有长声学波被激发，对比热容产生影响，所以实际上，德拜模型考虑的正是长声学波对比热的影响.基本思想:三、德拜模型第41页，课件共45页，创作于2023年2月q是准连续的,所以频率也是准连续的，则第42页，课件共45页，创作于2023年2月德拜T3定律：低温时晶体的比热与T3成正比。低温

T<<

高温T