四元数矩阵方程drazin逆的行列式表示

提供完整版的各专业毕业设计，四元数矩阵方程Drazin逆的行列式表示摘要：在行列式的理论中，我们知道在四元数域上，Hermitian和任意矩阵的Drazin逆的行列式表示。利用已知的行列式理论，我们得到矩阵方程Drazin逆的表示公式（克莱默法则），从而解出四元数矩阵方程AXB=D的Drazin逆。如果A，B是hermitia矩阵或其他任意一般矩阵，我们也可以得到AX=D和XB=D的解法。关键词：矩阵式，Drazin逆，四元矩阵，克莱默法则，行列式表示引言在本文里，我们用R表示实域，用Hm×n表示四元代数域上全体m×n用I表示适当阶数的单位矩阵。用M（n,H）表示n×n四元矩阵的环域。对于A∈Hm×n，A*表示A的共轭转置作为矩阵求逆运算的重要类型之一，Drazin求逆运算以及应用在文献（1-6）中得到了很好的证明，Stanimirovic和Djordjevic提出了基于满秩矩阵下的Drazin求逆运算。在[8,9]中，我们得到了复杂矩阵的有限Drazin逆的行列式表达式。Drazin求逆运算的矩阵等式：AX=DXB=DAXB=D这篇论文对[8,9]提出的有关对四元数矩阵方程的运算进行了拓展。考虑到四元数矩阵的特点，我们主要解决了求四元矩阵方程平方的行列式运算。最近有关四元数矩阵的行列运算理论得到了发展。在该理论下，Moore-Penrose广义逆的行列式表示通过经典伴随矩阵算法得出，对于阶数较小的矩阵可以根据克莱默准则计算其行列式的值。（根据克莱默准则，基于二乘法计算矩阵等式的情况同样被考虑。在[15-17]中，作者得出一般矩阵ArT1,s12，AlT2在本文中，我们主要得出了关于Hermitian和一般矩阵的Drazin逆的行列式表示。这篇论文的剩余部分安排如下：我们首先介绍了基本的有关行列式的概念和结论，第二章主要介绍了四元矩阵理论，第三章中，3.1节我们给出了Hermitian矩阵的Drazin逆的行列式表示，3.2节给出了一般任意矩阵的Drazin逆的行列式表示。在第四章，我们具体分析了四元数矩阵方程的表达式.最后，在第五章，我们给出了一些具体的例子验证我们的求解方法。2.行列式的基本理论用Sn表示In={定义2.1：行列式A=（aij）∈M(n,H其中满足jk2<jk3<…<定义2.2：行列式A=（a其中满足jk2<jk3<…<假定Aij是矩阵A去掉i行j列的余子式。我们用aj表示A的第j列，ai表示A的第i行。假定用A我们得出一些有关四元数矩阵A=（aij）的性质，其中命题2.1：如果b∈H,则对于所有的i=1,….,n满足命题2.2：如果b∈H,则对于所有的j=1,….,n满足命题2.3：如果矩阵A∈Mn,Η,则对于所有的j=1,….,n，存在t∈其中b=b1命题2.4：如果矩阵A∈Mn,H,则对于所有的i=1,….,n，存在t∈其中b=b1命题2.5：假定A*是Hermitian矩阵A∈Mn,H的伴随矩阵，即对于所有的下面的引理可以帮助我们对矩阵A第i行和第j列（i,引理2.1：用Rij表示矩阵A∈Mn,H对应于i行j列的伴随余子式，对于所有的其中A.jii(a.i引理2.2：用Lij表示矩阵A∈Mn,H对应于i行j列的伴随余子式，对于所有的其中Ai.jj(aj.)是由矩阵A的第以下的理论对于研究行列式的性质和特征有着重要的意义。理论2.1.假定A=（aij）推理2.1.在H域上，Hermitian矩阵的各行和各列的行列式值是相等的，我们定义Hermitian矩阵A∈Mn,H的行列式detA。根据定义，detHermitian矩阵的行列式性质在[10]中有详细的探讨，我们将这些性质总结于下：理论2.2.如果Hermitian矩阵A∈M(n,H)的第i行被替换为其他行的线性组合：ai.=c1理论2.3.如果Hermitian矩阵A∈M(n,H)的第j列被替换为其他列行的线性组合：a.j=a.j以下各项理论主要直接探讨了有关于Hermitian矩阵逆的行列式表示的性质。理论2.4.如果一个Hermitian矩阵A∈M(n,H)，则存在一个唯一的右逆矩阵（RA）-1和一个唯一的左逆矩阵（LA）-其中Rij,Lij根据定理，我们知道Hermitian矩阵的子式也是Hermitian矩阵，所以我们主要工作就是分析Hermitian的代换子式。我们引入了Hermitian矩阵的非零主子式的秩。理论2.5.如果A∈Mn,H是Hermitian矩阵因为四元数矩阵是可交换的，所以将Hermitian矩阵的特征值分为两类。如果四元域上λ满足A⋅x=λ⋅x，则λ定义2.3.如果t∈R,则对于Hermitian矩阵A的多项式pHermitian矩阵的特征多项式的根就是它的左实特征值，同时也是它的右实特征值。我们通过类比分析可以证明下面的理论。（详见[28]）理论2.6.如果A∈Mn,Η是Hermitian矩阵，则pAt=tn-3.Drazin逆的行列式表示对于任意的矩阵A∈Hn×n,Ind则Drazin逆矩阵X是唯一的，且满足：Ak+1XAX=X;AX=XA.其中矩阵X可以记作X=A当满足特殊情况IndA=1时，矩阵X被称作群逆，记为X=Ag.如果IndA=0时，推理3.1.根据上述等式，我们可以得出等式（1）也可以表示为（1a）XAk+13.1对矩阵Drazin逆的近似分析我们可以借助研究Hermitian矩阵的方法来分析矩阵Drazin逆的一些理论，例如可以借助有关矩阵的秩和特征值的理论。我们在[8]中第一次使用这种分析方法，然后在[12,29]中也使用了这种方法。根据复杂问题的近似分析，我们得出了以下有关矩阵Drazin逆的结论。理论3.1.如果A∈Ηn×n且Ind其中，λ∈R，且R+a.j(m)表示矩阵Am的第j列，ai.(m)引理3.1.如果A∈Mn,Η且IndA证明.该证明方法可参照文献[8]中引理2.2的证明。下一条引理同样参照其证明。引理3.2.如果A∈Mn,Η且IndA=我们假设α≔α1,…,αk⊆{1,…,m},β≔β1,…,βk⊆{1,…,n}，其中1≤k<minm,n.用Aβα表示矩阵A的第α行第β列的代数余子式。则Aα下面两个引理主要分析了特征值的有关问题。引理3.3.如果A∈Mn,H，IndA=k其中，cn(ij)=cdeti证明：用b.i记作Hermitian矩阵Ak+1=:(bij其中，ds=β∈Js,n(i)|(A其中a.I(k)是Ak的第考虑到理论2.1，引理2.2，和命题2.2我们可以得出以下等式：同时我们也可以得出：对于所有的s=1,n-1当l=j时，我们可以得出上述等式。引理3.4.如果A∈Mn,H，IndA=k,其中，rn(ij)=rdetjA理论3.2.如果A∈Mn,H，IndA=k,randA或者证明.我们根据理论3.1证明了A+=lim其中Lij是矩阵αI+A根据左伴随子式的定义，我们可以得到：根据理论2.6，我们得知其中，ds=β∈Js,n(i)|(A由于randAk+1=rand根据等式（8），我们得知其中cs(ij)=cn(ij)=c根据引理3.1，(Ak+1).ia.jk≤r,对于所有的,i,j=1,n，考虑到((Ak+1).i((a.jk))ββ,当β∈Js,ni设s=r+1,且detM≠0.这种情况下，矩阵M的所有右列向量都是线性无关的。它们相加得到的一维列向量((Ak+1).i((a.jk如果让s=r+1,且detM=0.，在矩阵M和((Ak+1).i因此对于所有的情况，当满足β∈Js,ni和r+1≤s<n的条件下，我们都能够得出c而且当i,j=1,n时，因此，当i,j=1,n时，通过计算矩阵（14）的余子式的值，我们可以得到：因此，cr(ij)=β∈Js,n推论3.1如果IndA=1,rankA2=rankA=r≤n.证明.根据理论3.2，当k=1推论3.2.如果IndA=1,rankA2证明.假设ADA=(同样的，我们也可以得到矩阵Drazin逆。对于任意矩阵的Drazin逆的行列式表示对于任意矩阵A∈Mn,H命题3.1.如果lndA=k,则理论3.3.如果A∈Hrm×n,则矩阵A的Moore其中i=1,…,n,j=1,…,m.从而得出矩阵Drazin逆的表示为：其中i,j=1,n.我们用a.s表示(A2k+1矩阵A的Drazin逆AD的各项行列可以表示为：我们用我们用at.表示(A2k+1)*A矩阵A的Drazin逆AD理论3.4.如果IndA=k,rankAk+1=rank4.克莱默法则对于矩阵方程Drazin逆的求解求逆矩阵时，最经典的方法之一便是运用克莱默法则求出行列式的值，然后求出逆矩阵。这里，针对求Drazin逆，我们提出了类似于克莱默法则的一些求解方法。矩阵方程AXB=D，其中A∈Hn×n,B∈Hm×m,D存在唯一解，X=A4.1.Hermitian矩阵的Drazin逆记作A理论4.1.如果A,B都是Hermitian矩阵，且对于A∈Hn×n，有rankAk1+1=rank其中分别表示其列向量和行向量，对于i=1,n,j=1,m,di.和证明.对于Drazin逆的解X=ADx对于所有的i=1,n,j=1,m我们用d.s记作Ak1D=:D假定es.和e.s分别代表单位行向量和单位列向量，即除了第s项为1之外各项都为0。因此对于t=1,m,列向量di.A的第t项为di.A因此t=1如果我们用dijB表示列向量d.j将其代入式(31),我们得到：因此l=1考虑到矩阵方程AX=D,其中A∈Hn×n,D∈Hn×m都是已知的，求未知矩阵X∈H推论4.1.对于A∈Hn×n，如果rankAk+1=rankA其中d.j为D的第j列向量，考虑矩阵方程XB=D,其中B∈Hm×m,D∈Hn×m都是已知的，求未知矩阵X∈H推论4.1.对于B∈Hm×m，如果rankBk+1=rankB其中di.为D的第i行向量，i=4.2任意矩阵的Drazin逆利用理论4.1，推论4.1和4.2，对于任意矩阵A∈Hn×n，存在矩阵记(理论4.2.存在矩阵A∈Hn×n，有rankAk1+1=rank其中对于所有的q=1,…,n,p=1,…,m.分别代表其列向量和行向量。，对于i=1,n,j=1,m,di.和推论4.3.对于A∈Hn×n，如果rankAk+1=rankA其中d.j为D的第j列向量，推论4.2.对于B∈Hm×m，如果rankBk+1=rankB其中di.为D的第i行向量，i=5.实例在本章，我们给出验证以上理论的结果。考虑矩阵方程AXB=D,其中因此可以得出A2=34k-3i-4k6我们可以根据上述等式得出Drazin逆的解为Xd因此最终我们可以得出：同样地，因此，是该方程式Drazin逆的解。考虑矩阵方程AX=D，其中：，detA*A=我们可以得出上述方程Drazin逆的解Xd从而我们得到因此最终我们得出：同样地，因此，是上述方程Drazin逆的解。参考文献[1]M.P.Drazin,Pseudoinverseinassociativeringsandsemigroups,Am.Math.Mon.65(1958)506–514.[2]S.L.Campbell,C.D.Meyer,Generalizedinverseoflineartransformations,correctedreprintofthe1979original,DoverPublicationsInc,NewYork,1991.[3]A.Ben-Israel,T.N.E.Greville,GeneralizedInverses:TheoryandApplications,seconded.,Springer,NewYork,2003.[4]L.Zhang,AcharacterizationoftheDrazininverse,LinearAlgebraAppl.335(2001)183–188.[5]R.E.Hartwig,G.Wang,Y.M.Wei,SomeadditiveresultsonDr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1第一节项目背景 1第二节项目概况 2第二章项目建设必要性 5第三章市场分析与建设规模 7第一节汽车市场需求分析 7第二节市场预测 12第三节项目产品市场分析 13第四节建设规模 16第四章场址选择 17第一节场址所在位置现状 17第二节 场址建设条件 17第五章技术方案、设备方案、工程方案 22第一节技术方案 22第二节设备方案 28第三节工程方案 33第六章原材料、燃料供应 38第七章总图布置与公用辅助工程 39第一节总图布置 39第二节公用辅助工程 43第八章环境影响评价 52第一节环境保护设计依据 52第二节项目建设和生产对环境的影响 52第三节环境保护措施 54第四节环境影响评价 56第九章劳动安全卫生与消防 57第一节劳动安全卫生 57第二节消防 64第十章节能与节能措施 67第一节项目概况 67第二节项目综合能耗 69第三节节约及合理利用能源的主要措施 71第十一章项目实施进度与人力资源配置 PAGEREF_To