数分课堂课件第一章

§1.82021/7/111上确界和下确界一、定义2021/7/1122.

再小一点不再是上界；设E是一个非空集合,有上界b

,1.

是上界；

—

—有没有最小上界？定义1：设E是一个非空有上界的集合,b满足1o2o"

x

˛

E,

有x

£

b;

是上界"e

>0,

存在xe

˛

E,使xe

>b

-e.小一点不再是上界称b为E的上确界,

记为b

=

sup

E.同样设E是一个非空有下界的集合,a满足"x

˛

E

,

有x

‡a

;1o2o"e

>0,

存在ye

˛

E,使ye

<a

+e.称a为E的下确界,

记为a

=

inf

E.Supremum

(上确界)，Infimum

(下确界)最大下界例1.

inf

N*

=

1,inf(0,1)

=

0,

sup(0,1)

=

1,

2021/7/1131

,ninf

{xn

}=

0,sup{xn

}=

1,确界可以˛

E,也可以ˇ

E;2021/7/114①②上确界与最大元的关系：E中有最大元

a,

那么sup

E

=

a;E中无最大元,也可以有上确界.下确界与最小元有类似关系.二、确界的一些基本性质2021/7/115X

+

Y

=

{x

+

y：x

˛

X

,

y

˛

Y

}①inf(

X

+

Y

)

=

inf

X

+

inf

Ysup(

X

+

Y

)

=

sup

X

+

supYinf(a

+

X

)

=

a

+

inf

Xsup(a

+

X

)

=

a

+

sup

Xinf(

X

+

Y

)

£

inf

X

+

supY

£

sup(

X

+

Y

)②③nn若数列{xn

},{yn

},

x£

y

,n

nnninf

x

£

inf

ysup

x

£

sup

y则"

y

˛

Y

,

y

‡

inf

Y

"

x

˛

X

,

x

‡

inf

X

x

+

y

‡

inf

X

+

inf

Y"

e

>

0,证明：①

inf(

X

+

Y

)

=

inf

X

+

inf

Y2$x'

˛

X

,

x'

<

inf

X

+

e2$x'

+

y'

<

inf

X

+

inf

Y

+

e\

inf(

X

+

Y

)

=

inf

X

+

inf

Y2021/7/116$y'

˛

Y

,

y'

<

inf

Y

+

e}£

sup

X

+

inf

Y2021/7/117£

sup

X

+

supY②

显然有

inf

X

£

sup

X

,

inf

Y

£

supY\

inf(

X

+

Y

)

=

inf

X

+

inf

Yinf

X

+

supY=

sup(

X

+

Y

)③2021/7/118往证sup

xn

£

sup

yn"

n

˛

N*

,

x

£

y

£

sup

y

,n

n

n\sup

yn

是{xn

}上界.\

sup

xn

£

sup

yn

,(sup

xn

是{xn

}最小上界)类似可证.inf

xn

£

inf

yn三、确界原理定理1:

非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界.2021/7/1192

2右边区间没有E中点,

取左区间为[a

,

b

].证明：设g

是E的一个上界,任取x

˛

E,

将[

x,g]记为[a1

,

b1

].将[a1

,b1

]二等分,右边区间有E中点,取为[a2

,b2

]；*重复进行,

得闭区间套

In

=

[an

,

bn

],

n

˛

N

,3I1

I2

I2n-12021/7/1110n, |

I

|=

g

-

x

fi

0.nfi

¥nfi

¥此区间套特点：每个[an

,bn

]中必含有E中点,bn

右边无E中点.由区间套定理，¥n=1$|

b

˛

In

,

其中b

=

lim

an

=

lim

bn

.nfi

¥2021/7/1111Ⅰ.

"

x

˛

E,

必有x

<

bn

,

\

x

£

lim

bn

=

b

.是上界Ⅱ."

e

>

0,

$N

˛

N*

,根据区间特点,在[aN

,bN

]中必有E中点xN

,使得xN

‡

aN

>

b

-

e.所以b

=sup

E.下证b

=sup

Esup

E

=

+¥

, inf

E

=

-¥

.nfi

¥使aN

>

b

-

e,由于lim

an

=

b确界原理

单调有界原理证明：设{an

}单调增,有上界，\

lim

an

=

a

=

sup{an

}.nfi

¥例2.则{an

}有上确界sup

an

=

a,

且an

£

a,且"

e

>

0,

$aN

,

使aN

>

a

-

e,2021/7/1112-

a

<

e£

aa>

a

-

e

annn

>

N时,

an

‡

aN§1.92021/7/1113有限覆盖定理一、覆盖给定集合A,若有一族开区间{Il

,l

˛

L

}，l˛L使A

Il

,称这一族开区间覆盖了A.或称开区间族{Il

}是A的一个开覆盖.(1)(2)

{Il

}是A的覆盖"x

˛

A,总有一个开{

}00ll，使x

˛

I

.区间Il

˛

I）,3

2

4

3

52

1

3

2

4如:（0，）,(

，）（,n n

+

2n

-

1

n

+

1，）,，(4

22021/7/11141

1覆盖了[

，]覆盖了(0，1),二、有限覆盖定理2021/7/1115定理2(Heine

—Borel定理)l若有限闭区间[a,

b]被一族开区间{I

}覆盖，则必可从中选出有限个开区间来覆盖[a,b].证明：反证法设[a,b]不能被{Il

}中有限个开区间覆盖,将[a,

b]

二等分,

必有一个区间[a1

,

b1

]不能被有限覆盖.[a1

,b1

]二等分,必有一个闭区间[a2

,b2

]不能被有限覆盖.2021/7/1116如此下去,

得到闭区间套{[an

,

bn

]},

且其中每一个区间都不能被有限覆盖.由闭区间套定理,知¥$|h

˛

[an

,

bn

],n=1nfi

¥

nfi

¥且lim

an

=

lim

bn

=

h.h

˛

[a,

b],\

在{Il

}中至少有一个(a

,

b

)盖住h,

a

<

h

<

b

.由极限性质,

$N

,如n

>

N

,

必有a

<

an

<

h

<

bn

<

b

,(a

,

b

)[an

,bn

]矛盾！12021/7/1117{(0,n)},n

=1,2,是(1,+¥

)的开覆盖,无有限覆