第十一章无穷级数(18学时)

第十一章无量级数（18学时）一、教课目的及基本要求理解常数项级数和函数项级数的基本观点与性质；2.会利用级数的鉴别法来鉴别常数项级数的收敛性；3.会求幂级数的收敛区间收敛半径，掌握幂级数的运算性质，会乞降函数；4.熟习一些函数的幂级数展式，会利用间接展法将一个函数展成幂级数；5.熟习三角级数的观点，会把一个周期函数展成傅立叶级数。二、本章各节教课内容及学时分派第一节常数项级数的观点和性质，计划1.5学时；第二节常数项级数的审敛法，计划3.5学时；第三节幂级数，计划3学时；第四节函数展成幂级数，计划3学时；第五节函数幂级数睁开式的应用，计划1学时；第七节傅立叶级数，计划3学时；一般周期函数的傅立叶级数，计划1学时；章末复习计划2学时。三、要点与难点要点：常数项级数的审敛法幂级数的性质函数展成幂级数难点：求幂级数的收敛区间收敛半径和和函数周期函数展成傅立叶级数四、内容的深入和拓宽1.正项级数鉴别法之间的联系2.函数幂级数睁开式的应用3.函数的傅立叶级数睁开式的应用五、教课手段及注意问题以讲解法为主，问题教课法为辅，由学生熟习的需要计算的一些量为问题，让学生踊跃思虑，级数理论正是解决这一问题的有效方法，在教课中能够采纳多媒体教课，使学生产生学习兴趣，有益于培育学生提出问题、剖析问题和解决问题的能力。六、主要参照书目同济大学应用数学系主编《高等数学》(第五版)高等教育第一版社同济大学应用数学系主编《高等数学》(第四版)高等教育第一版社张仲毅等《高等数学全程指导》(同济五版四版)东北大学第一版社七、思虑与练习总结鉴别常数项级数敛散性的方法。比值审敛法和根值审敛法之间的关系怎样？3.若幂级数anxn的收敛域为(4,4]，求幂级数anx2n1得收敛域。n0n04.求幂级数nx2n的和函数。n15.将f(x)xarctanxln1x2展成x的幂级数。§11-1常数项级数的观点和性质主要内容：一、常数项级数的观点1.常数项无量级数：unu1u2un，此中un叫做级数的一般项。n12.级数un的部分和数列：令snu1u2un，称其为级数部分和，由n1它组成数列{sn}。3.级数un收敛：limsns，则称级收敛；假如{sn}没有极限，则称级数发散。nn14.极数的和：部分和数列的极限即su1u2un5.级数的余项：当级数收敛时，其部分和sn是级数的和s的近似值，它们之间的差值rnsns叫做级数的余项。用sn取代s所产生的偏差rn。例1．无量级数aqnaaqaq2叫等比级数（几何级数），此中a0，议论其收敛性。n0例2．证明级数例3．判断级数

123n发散。111的收敛性。1223n(n1)二、收敛级数的基天性质性质1假如级数un收敛于s，则级数kun也收敛，且其和为ks。n1n1性质2假如级数un、vn分别收敛于和s,，则级数(unvn)也收敛，且其和为s。n1n1n1性质3在级数中去掉，加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。性质4假如级数n1un收敛，则对这级数的项随意加括号后所成的级数(u1u2un1)(un11un2)仍收敛，且其和不变。性质5（收敛级数的必需条件）假如级数un收敛，则必有limun0。nn1内容小结：1.级数un收敛limsns；n1n2.级数un收敛limun0，反之不建立；limun0级数un发散。n1nnn13.等比级数aqn，当公比q1时，级数收敛；当q1时，级数发散；n04.调解级数11111n13是发散的。n2n作业：P1933；4。§11-2常数项级数的审敛法一、正项级数的审敛法正项级数各项均为正数或零的级数，这类级数称为正项级数。定理1正项级数un收敛的充要条件为数列sn有界。n1定理2（比较审敛法）设正项级数un，vn，且unvn(n1,2,)，若级数vn收敛，n1n1n1则级数un收敛；反之，若级数un发散，则级数vn发散。n1n1n1必收敛，这与假定矛盾。推论1设正项级数un，vn，假如级数vn收敛，且存在N，当nN时，有n1n1n1unkvn(k0)。建立，则级数un必收敛；假如级数vn发散，且当nN时，有unkvn(k0)，n1n1则级数un发散。n1111的敛散性，此中常数p0。例1．议论P—级数13pnp2p推论2un，假如P1，使un1)，则级数un设正项级数np(n1,2,3收敛，假如n1n1un1(n1,2,3)，则级数un发散。nn1例2．证明级数1是发散的。n(n1)n1定理3（比较审敛的极限形式）设正项级数un，vn，假如limunl(0l)，n1n1nvn则级数un，unl0，且vn收敛，则un收敛；假如vn同时收敛或发散。假如limvnn1n1nn1n1limunl，且vn发散，则un发散。vnnn1n1例3．鉴别级数sin1的收敛性。n1n例4．鉴别级数ln(112)的敛散性。n1n定理4（比值审敛法，达朗贝尔鉴别法）设un为正项级数，若limun1，则当1时级n1nun数收敛；当1(limun1)时级数发散；而当1时级数可收敛也可发散。nun例5．证明级数1111是收敛的。11212(n1)例6．鉴别级数112n!的敛散性1010210n例7．鉴别级数1的收敛性。n1(2n1)2n定理5（根值审敛法，柯西鉴别法）设正项级数un，假如有limnun，则当1时，级n1n数收敛，若当1()时，级数发散，而当1时，级数可收敛也可发散。例8．判断级数1收敛性。n1nn例9．判断级数2(1)n收敛性。n12n定理6（极限审敛法）设正项级数un，（1）假如n1limnunl0(或limnun)，则级数un发散；（2）假如p1，而limnpunl(0l)，nnn1n则级数un收敛。n1例10．判断级数n1(1cosn)收敛性。n1二、交织级数及其审敛法交织级数是指它的各项是正负交织的，进而可写成u1u2u3或u1u2u3，此中u1,u2,u3都是正数。定理7（莱布尼茨定理）假如交织级数(1)n1un知足条件：（1）unun1(n1,2,3,)；（2）n1limun0，则级数收敛，且其和su1，其他项的绝对值rnun1。n例11．交织级数(1)n1111(1)n11的收敛性。其和s。23nn1n三、绝对收敛与条件收敛假如级数un各项的绝对值所组成的正项级数un收敛，则称级数un绝对收敛；假如级数n1n1n1un收敛，而级数un发散，则称级数un条件收敛。n1n1n1定理8假如级数un绝对收敛，则级数un必然收敛。n1n1例12．鉴别级数sinn的收敛性。n2n1例13．鉴别级数(1)n1(11)的收敛性。n12nn内容小结：正项级数鉴别法主要有四种、交织级数鉴别法及一般级数鉴别法；绝对收敛的级数必然收敛，反之不建立。3.P—级数1，当p1时收敛，当p1时发散。n1np作业：P2061；2；3；4；5§11-3幂级数一、函数项级数观点函数项级数假如给定一个定义在I上的函数列u1(x),u2(x),un(x),，则由这个函数列组成的表达式u1(x)u2(x)un(x)称为定义在I上的函数项无量级数，简称级数。2.收敛点与发散点：关于每一个确立的值x0I，函数项级数成为常数项级数u1(x0)u2(x0)。若此级数收敛，则称x0为其收敛点，不然称为发散点。３.收敛域与发散域：函数项级数全部收敛点的全体称为它的收敛域，全部发散点的全体称为发散域。４.和函数：对收敛域中的每一个数x，都有一确立的和s(x)，它是函数项级数在收敛域上的和函数，并写成s(x)u1(x)u2(x)un(x)。把函数项级数的前n项的部分和记作sn(x)，则在收敛域上有limsn(x)s(x)。n５.函数项级数的余项：rn(x)s(x)sn(x)称为余项，有limrn(x)0。n二、幂级数及其收敛性形式为anxna0a1xa2x2anxn的级数称为幂级数，此中常数a0,a1,,an,n0叫做幂级数的系数。定理1（阿贝尔定理）假如幂级数anxn当xx0(x00)时收敛，则合适不等式xx0的一n0切x，使这个幂级数绝对收敛；假如幂级数anxn当xx0时发散，则合适不等式xx0的全部x，n0使这个幂级数发散。推论假如幂级数anxn不是仅在x0收敛，也不是在数轴上都收敛，则必存在一个正数R，n0使适当xR时，幂级数绝对收敛；当xR时，幂级数发散；当xR时，幂级数可收敛也可发散。R叫做幂级数的收敛半径，开区间(R,R)叫做幂级数的收敛区间，由幂级数在xR处的收敛性来确立它的收敛域。定理2假如liman1，此中an,an1是幂级数anxn相邻两项的系数，则其收敛半径为：nann0当0时，R1；当0时，R；当时，R0。例1．求幂级数例2．求幂级数例3．求幂级数

x2n1xnx(1)的收敛半径和收敛域。2nx2xn的收敛域。1xn!2!n!xn的收敛半径。n0例4．求幂级数(2n)!x2n的收敛半径n0(n!)2例5．求级数(x1)nn2n的收敛区间n1三、幂级数的运算1.四则运算2.剖析运算：性质1设幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续。n0性质2设幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积，且有逐项积分n0xxanxn]dxxanxn1（xI）0s(x)dx[anxndx0n0n00n0n1求导前后幂级数有同样的收敛半径。性质3设幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(R,R)内可导，且逐项求导有公式n0s(x)(anxn)(anxn)nanxn1（xR），求导前后级数有同样的收敛半径。n0n0n1例6．求幂级数xn的和函数。n0n1内容小结：1.幂级数anxn的收敛性半径为R1，此中liman1；n0nananxn（xI），则有xxanxn1；2.若s(x)=s(x)dxanxndxn00n00n0n13.若s(x)=anxn（xR），则有s(x)(anxn)nanxn1。n0n0n1作业：P2151；2。§11-4函数展成幂级数一、泰勒级数关于给定一个函数f(x)，假如能找到一个幂级数，它在某个区间内收敛，而且收敛于给定f(x)，则称f(x)能展成幂级数。假如函数f(x)在点x0的某邻域有各导阶导数，这时能够假想泰勒多项式的项数趋势无量而成为幂级数f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2f(n)(x0)(xx0)n，此幂级数为f(x)泰2!n!勒级数。下边来观察泰勒级数的收敛性，假如收敛，能否必定收敛于f(x)。1.定理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)有各导阶导数，则函数f(x)在该邻域内能展成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项lim( )0（()nRnxxUx0）。2.麦可劳林级数：f(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xn称为f(x)的麦可劳林级数。2!n!二、函数展成幂级数直接展法：要把函数f(x)展成x幂级数，可按以下步骤进行：1）求出函数f(x)的各阶导数，若函数在x0处的某阶导数不存在，则停止进行，它就不可以展成x的幂级数；2）求函数及其各阶导数在x0处的值；3）写出幂级数，并求出其收敛半径R；（4）观察当x(R,R)时，余项的极限能否趋于零。假如为零，则函数f(x)在(R,R)内的幂级数睁开式f(x)f(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xn（RxR）。2!n!例1．将函数f(x)ex睁开成x的幂级数。例2．将函数f(x)sinx睁开成x的幂级数。2.间接展法例3．将函数f(x)cosx睁开成x的幂级数。例4．将函数例5．将函数

f(x)1睁开成x的幂级数。1x2f(x)ln(x1)睁开成x的幂级数。例6．将函数f(x)(1x)m睁开成x的幂级数。例7．将函数sinx展成(x)的幂级数。4例8．将函数f(x)1展成(x1)的幂级数4xx23内容小结：1.f(x)在点x0的某邻域U(x0)内能展成泰勒级数的充要条件是limRn(x)0；n几个常用函数的展式。作业：P2232；3；4；5；6。§11-7傅里叶级数主要内容：一、三角级数、三角函数的正交性三角级数形如：a0(ancosnxbnsinnx)级数，称为三角级数，此中a0,an,bn(n1,2,)为常数。2n1三角函数系的正交性。所谓三角函数系1,cosx,sinx,cosnx,sinnx,在区间[,]上正交，是指在三角函数系任两个不一样的函数的乘积在区间[,]上的积分为零，两个同样的函数的乘积在区间[,]的积分不为零。即有cosnxdx0(n1,2,3,)，sinnxdx0(n1,2,3,)，sinkxcosnxdx0（k,n1,2,3,），osckxoscnxd0（k,n1,2,3,,kn），sinkxsinnxdx0（k,n1,2,3,,kn），sin2nxdxcos2nxdx（n1,2,3,）二、函数展成傅里叶级数1f(x)cosnxdx（n0,1,2,3,an），1f(x)sinnxdx（n1,2,3,bn）。假如上式各个积分都存在，这时它们确立的系数称为函数f(x)傅里叶系数，将这些系数代入级数右端所得的三角级数叫做函数f(x)的傅里叶级数。定理（收敛定理，狄利克雷充分条件）设周期为2的周期函数f(x)，假如它知足1）在一个周期内连续或只有有限个第一类中断点，2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，而且当x是连续点时，级数收敛于f(x)，当x是中断点时，级数收敛于1[f(x0)f(x0)]。2例1．设f(x)是周期为2的周期函数，它在[1,x0,)的表达式为f(x)0x，将其展1,开成傅里叶级数。例2．设f(x)是周期为2的周期函数，它在[x,x0,)的表达式为f(x)0x，将f(x)0,睁开成傅里叶级数。假如函数只在区间[,]上有定义，且知足收敛的条件，那么函数也可展成傅里叶级数。事实上我们能够将函数进行周期延拓，使之成为周期为2的周期函数，进而展成傅里叶级数，而后再限制x的值到(,)内即可。例3．将函数f(x)x,x0x,0展成傅里叶级数。x三、正弦级数和余弦级数定理设f(x)是周期为2的周期函数，在一个周期上可积，则有（1）当f(x)为奇函数时，它的傅里叶系数为an0(n0,1,2)2则它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数。bnf(x)sinnxdx(n1,2,)0（2）当f(x)为偶函数时，它的傅里叶系数为an20,1,2,)f(x)cosnxdx(n0则它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数。bn0(n1,2,)例4．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间,上的表达式为f(x)x，将其展成傅里叶级数。例5．将周期函数u(t)Esint展成傅里叶级数，E为正常数。2把定义在区间[0,]上的函数展成正弦级数或余弦级数。依据前面议论，我们能够先进行奇延拓或偶延拓，而后将延拓后的函数展成正弦级数或余弦级数，最后再限制x在[0,]上。例6．将函数