17.勾股定理中考考点归纳-教师版

17.勾股定理中考考点归纳---教师版

勾股定理是解决直角三角形中的平方关系的定理。它只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。此外，还有一些勾股定理的变式，如c2=a2+b2、a2=c2-b2、b2=c2-a2、c2=(a+b)2-2ab。面积证明勾股定理的方法有四种。第一种方法是将四个全等的直角三角形拼成正方形，证明a2+b2=c2。第二种方法也是将四个全等的直角三角形拼成正方形，但是证明的是a2=c2-b2。第三种方法是将四个全等的直角三角形分别拼成两个形状相同的正方形，证明甲的面积等于乙和丙的面积和。第四种方法是将两个直角三角形拼成直角梯形，证明a2+b2=c2。勾股定理的作用有四个方面。首先，可以用来求直角三角形的第三边。其次，可以用来求直角三角形的一条边与另外两边的关系。第三，可以用来证明平方关系的问题。最后，可以利用勾股定理作出长为c的线段。勾股数是指满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，也叫做高数或毕达哥拉斯数。以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形。常见的勾股数有①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41。如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。在考试中，勾股定理的直接用法是经常出现的考查类型。解题时，需要注意写解的过程中要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，求此直角三角形的面积。解法为先设此直角三角形两直角边分别为3x、4x，根据题意得：（3x）^2+（4x）^2=20^2，化简得x^2=16，因此直角三角形的面积为6x^2=96。在直角三角形边的计算中，常常需要设未知数，然后用勾股定理列方程求解。等边三角形的边长为2，求它的面积。解法为如图，在等边△ABC中，作AD⊥BC于D，则BD=BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。由于AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等），因此BD=1。在直角三角形ABD中，AB^2=AD^2+BD^2，即AD^2=AB^2－BD^2=4－1=3，因此AD=√3，所以△ABC的面积为S=BC·AD=2·√3。直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。解法为设此直角三角形两直角边长分别为x、y，根据题意得：x+y=12-5=7，(x+y)^2=49，x^2+2xy+y^2=49，且xy=12。因此，直角三角形的面积是xy=12/2=6cm^2。若直角三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，求n。解法为首先确定斜边（最长的边）长为n+3，然后利用勾股定理列方程求解。由勾股定理可得：（n+1）^2+（n+2）^2=(n+3)^2，化简得：n^2=4，因此n=±2，但当n=-2时，n+1=-1<0，因此n=2。注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。已知△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=2BC，AD⊥BC于D，求BC的长。解法为作AD，则∠ADB=90°，因此AB^2=AD^2+BD^2，又因为AB=BC，所以BC^2=AD^2+(BC-BD)^2。由于AC=2BC，所以BD=DC=BC/2。代入上式得：BC^2=AD^2+(BC/2)^2，又因为AD=CD，所以BC^2=2AD^2，即BC=AD√2。由于∠B=90°，所以根据勾股定理，AD^2+BD^2=AB^2=BC^2，代入BD=BC/2得：AD^2+(BC/2)^2=BC^2，化简得AD=BC/2。因此，BC=2AD√2。本文介绍了勾股定理在实际问题中的应用，包括用勾股定理求两点之间的距离和用勾股定理求最短问题。在第一个问题中，通过构造直角三角形和利用勾股定理求解，得出了两点之间的距离和目的地方向。在第二个问题中，通过比较四种架设方案的线路长，得出了最省电线的架设方案。这些问题都是实际问题，需要运用勾股定理和相关知识进行解答。在生产工作中，通常会有多种工程设计方案，需要运用数学知识进行计算，以选出最优设计。本题利用勾股定理、等腰三角形的判定和全等三角形的性质，来解决问题。类型四：利用勾股定理作长为$n$的线段思路点拨：根据勾股定理，直角边为$1$的等腰直角三角形斜边长为$\sqrt{2}$。直角边为$1$和$n$的直角三角形斜边长分别为$\sqrt{n^2+1}$和$\sqrt{n^2+2n+1}$。因此，可以利用这些三角形来构造长度为$n$的线段。作法：如图所示，首先作直角边为$1$（单位长）的等腰直角三角形$\triangleACB$，使$AB$为斜边。然后以$AB$为一条直角边，作另一直角边为$1$的直角三角形$\triangleABD$。接着顺次这样做下去，最后做到直角三角形$\triangleAEF$，这样斜边$AF,BE,CD,\dots$的长度就是$n$。总结升华：以上作法根据勾股定理均可证明是正确的。取单位长时可自定，一般习惯用国际标准的单位，如$1\text{cm}$、$1\text{m}$等。我们作图时只要取定一个长度为单位即可。类型五：逆命题与勾股定理逆定理思路点拨：逆命题是指将原命题的主语和谓语互换位置得到的命题。原命题与逆命题的真假性是相同的。本题要求写出原命题的逆命题并判断其真假性。解析：1.逆命题：“有四只脚的是猫”（不正确）；2.逆命题：“对顶角相等的是相等的角”（不正确）；3.逆命题：“在线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等”（正确）；4.逆命题：“在角平分线上的点，到这个角的两边距离相等”（正确）。总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。经典题型精析类型一：勾股定理的逆定理的基本用法题目要求在给定的边长中选出能组成直角三角形的组合。可以直接使用勾股定理的逆定理来进行判断。对于数据较大的情况，可以使用$c^2=a^2+b^2$的变形$b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)$来判断。例如，对于选项D，$8^2\neq(40+39)\times(40-39)$，因此不能组成直角三角形。同理可以判断其他选项。答案为A。题目给定四边形$ABCD$，其中$\angleB=90^\circ$，$AB=3$，$BC=4$，$CD=12$，$AD=13$，要求求出四边形$ABCD$的面积。可以连接对角线$AC$，由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$。因为$AC$是矩形的对角线，所以矩形的面积为$AB\cdotBC=12$。根据勾股定理，AC^2+CD^2=AD^2，因为AC^2+CD^2=169，AD^2=169，所以AC^2+CD^2=AD^2，再根据勾股定理逆定理可得∠ACD=90°。因此，四边形ABCD的面积可以表示为△ABC的面积加上△ACD的面积，即S=AB·BC+AC·CD=36。题目给出了公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m，小于100m则受影响，大于100m则不受影响，因此作垂线段AB并计算其长度。要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。首先作AB⊥MN，垂足为B。在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，∴AB＝AP＝80。因为点A到直线MN的距离小于100m，所以这所中学会受到噪声的影响。假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)。由勾股定理得：BC^2＝100^2-80^2＝3600，∴BC＝60。同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么AD＝100(m)，BD＝60(m)，∴CD＝120(m)。拖拉机行驶的速度为18km/h＝5m/s，因此学校受影响的时间为t＝120m÷5m/s＝24s。综上所述，拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。勾股定理是求线段长度的重要方法。如果图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法构造直角三角形，以便利用勾股定理。在本题中，通过作垂线段AB，我们得到了直角三角形ABP，从而利用勾股定理求出了AB的长度，进而判断了学校是否受到噪声影响。如图中的虚线网格是正三角形网格，每个小三角形都是边长为1的单位正三角形。(1)单位正三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$。(2)平行四边形ABCD包含24个单位正三角形，其面积为12。(3)过点A作$AK\perpBC$于点K，连接CK。在直角三角形ACK中，由勾股定理可得$AC=2$，$AK=\sqrt{3}$。由相似三角形可得$CK=\frac{1}{2}AC=1$，$AK=\frac{1}{2}EF$。因此，$EF=2AK=\sqrt{3}$。思路点拨：在求线段EF的长度时，将问题转化为直角三角形问题，通过作辅助线来解决。如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5。求线段EF的长度。解：连接AD。因为AD是△ABC的中线，所以AD=DC=DB，且AD⊥BC，∠BAD=∠C=45°。因为∠EDA+∠ADF=90°，又因为∠CDF+∠ADF=90°，所以∠EDA=∠CDF。所以△AED≌△CFD（ASA），所以AE=FC=5。同理可得AF=BE=12。在直角三角形AEF中，由勾股定理可得$EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。思路点拨：将问题转化为直角三角形问题，通过勾股定理求解。如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1。求BC、AB、BC+AB的值。解：在直角三角形ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，因此BC=2AC=2。由正弦定理可得$\frac{AB}{\sinB}=\frac{AC}{\sinA}$，即$AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此，$BC+AB=\frac{5}{2}$。思路点拨：利用三角函数和三角恒等式求解。所以BF=√(AF²-AB²)=√(100-64)=6cm。在Rt△BEF中，BE=BF+EF=6+EF，EB²=AB²+AE²=64+100=164，所以EF²=EB²-BF²=(6+EF)²-36，化简得EF²-12EF-72=0，解得EF=6+2√19或6-2√19，因为EF>0，所以EF=6+2√19cm。已知矩形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，将折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，求EF的长度。