弹性力学课件三七

2TheoryofPlaneProblems2—1PlaneStressandPlaneStrain2—2DifferentialEquationsofEquilibrium2—3

GeometricalEquations.Rigid-bodyDisplacement2—4PhysicalEquations2—5StressataPoint2—6BoundaryConditions.

Saint-Venant’sPrinciple2—7SolutionofPlaneProbleminTermsofDisplacements2—8SolutionofPlaneProbleminTermsofStresses2—9CaseofConstantBodyForces.StressFunction平面问题中，基本未知量为：x，y，xy，x，y，xy，u，v（八个）求解平面问题的基本方程：平衡微分方程（2个）DifferentialEquationsofEquilibrium几何方程（3个）

GeometricalEquations物理方程（3个）PhysicalEquations再考虑边界条件(BoundaryConditions)，即可求出所有未知量。(DifferentialEquationsofEquilibrium

foraplaneproblem)（GeometricalEquations

foraplaneproblem

）IfwereplaceEbyE/(1-2)andby/(1-)inthephysicalequationsforplanestressproblems,thephysicalequationsforplanestrainproblemsareobtain.

PlanestressproblemPlanestrainproblemW尿h往e灭n呢t烈h拒e剩s液t削r旷e谷s损s退c泉o叉m甚p脱o贪n耳e失n再t亿sx，y，捞x蜂yat湖a最c帜er茧ta代in塑p剖oi狱nt踏P池a赵re胀k色no灭wn毯,递we热c慈an侨c易om坚pu交te蚀t治he哑s尤tr践es戏s否ac舟ti骨ng粗o榴n远an奖y柳pl钞an刑e茄pa艳ss豆in颂g每th蛛ro项ug劣h族th贷is塌p逗oi冲nt都,捐pa许ra蚊ll润el闷t蕉o衡th双e饥z挺ax饭is辈b袭ut盛i临nc摩li绑ne具d后to树t顽he智x扩a敌nd裳y圈a醒xe范s.ST财RE驶SS岗A闸T逆A锯PO过IN只T.渔P捆RI都NC右IP然AL晴S能TR皱ES炮SE量S2—衔5起平榴面问兽题中写一点约的应品力状害态过同一暗点P的不同帖截面上，应榨力与是焦不确相蛋同的叔，漏在岂平叼面政问须题尝中愤，壮可夸以习用x，y，直xy来描互述一房诚点的唯应力鹿状态切。We草c狭an缝c窃om钱pu涛te昂t敢hestr昂es厅s宗ac熄ti鸟ng贫o宫n街an籍y霸pl简an戏e收pa真ss陷in害g踢th浩ro伞ug个h滔th增is遭p纠oi膜nt泄，p熟ar布al宿le铜l申to词t辆he属z补a茄xi矿s答.即：已知x，y，xy求过P点任意截面上的应力yyxxyxXYxyoxyxyyxS阿t肆r雷e蹈s筹s芹a反t锄a良P双o最i讽n敌tyyxxyxXYxyoxyxyyxyyxxyxxyoBAPsYNXNNNNS商o胸，败P炒A纠=m·台dsP落B插=l·d钱s过P点取图示微小的三角板PAB为隔离体，板厚为1PA=dxPB=dyAB=dsTakeaplaneABparalleltotheinclinedplaneconsideredandatasmalldistancefromP.t=1PA=dxPB=dyAB=ds

法线N的方向余弦：cos(N,x)=lcos(N,y)=mThecosinesoftheanglesbetweentheoutwardnormaltotheplaneABare：建疼立嫂微套单龄元忙的苦平客衡菌条佳件期：X播=稿0yyxxyxxyoBAPsYNXNNNN-x·l·缺d掩s芹·询1志-言x弟y·宪m净·包d漠s渐·假1逗+XN·d掩s·跪1=腊0XN=lx+mxyY变=舞0YN=my+lxyCo插ns舟id谁er倒t随he炉e杨qu废il哨ib僵ri壶um冷c六on攻di校ti兄on抓s：为什么没有考虑体积力？Whythebodyforcecomponentscanbeneglected?yyxxyxxyoBAPsYNXNNNN而斜君面上榨的正现应力累和剪添应力伴可由XN，YN投影犬得到N=lXN+m役YNN=lYN-者m阁XNN=l2x+m2y+2lmxyN=lm(y-x)+(l2-m2)xyLe弄t霉th叼e绝no澡rm茫al田s荡tr酿es宿s差an轮d旗sh扣ea结ri尺ng衰s朝tr喊es视s星on裂A将B购beNan商dN,p源r焦o且j卸e序c嫩t烘i讯o辉n橡o绢fXNa昏n靠dYNon习a绑nd迷p杰er鲜pe垮nd参ic途ul狮ar皇t亮o尺th旧e很no外rm顷alNw庆i专l壶l惑g角i喘v清e将XN，YN的表达式代入上式得UsingtheexpressionsofXNandYN,weobtain已烤知x，处y，粉xy可以求过P点应任划意舱截掌面翻上附的巡寿应佩力N、N.We请c笑an战c阅om斥pu凯te嫌t跪he瘦s城tr绢es耳s桂ac什ti技ng龙o恐n详an铃y秒pl六an潮e尼pa捞ss拘in颗g姐th土ro富ug彻h滑th含is朗p纠oi牢nt蚂，p诸ar竹al魂le续l病to泳t蜡he沉z躲a崇xi狐s爹.讨论：主应力、应力主向、最大（最小）正应力、最大（最小）剪应力推导批如下飞：1、主应力(principalstress)：任意斜面上的剪应力为零时，该斜面上只有正应力，称为主应力。IftheshearingstressonacertainplanethroughPvanishes,thatplaneiscalledaprincipalplaneatPandthenormalstressontheplaneiscalledaprincipalstressatP.xyoBAPYNXNNXN=lx+mxy=lYN=my+lxy=m前已导出：Su仅pp尚os脸e尘AB府i丢s隐a旁pr逐in键ci天pa扩l肝pl悲an轨e.2-（x+y）+（xy-xy2）=0A彩n妈d浆1+舱2=斯x+要y主应力有两个：1，2Si脸nc派e因th即e肢ex受pr忠es状si清on耻w训it熊hi夫n丛ea婚ch装s刃ig垒n摄of论s动qu减ar档e啄ro筐ot蓝i册s汪al爆wa夏ys思p甚os序it能iv孟e,1a世n侵d谁2m记u西s描t档b懒e菠r旬e党a外l伶q纳u备a惜n吉t赢i亲t反i蛋e止s.伞T茧h惩i捕s阳s喝h桐o矩w生s锐t裙h衬a升tt馋w稳o腹p右r窜i早n苦c形i并p披a闷l黑s镰t红r福e你s库s峡e午s坡e央x吐i爸s搏ta元t捡t掀h祖e长p狂o慈i袍n宇t普P2俯、答应珍力主烦向短：主踢应写力挣的四方苍向设1与x轴的夹角为1Let1

betheanglebetween1

andx.Then,Si肯mi返la魂rl是y,L着e弹t2b讨e桨t挂h壮e熄a爪n药g渡l扶e蚂b迎e初t唯w题e火e旅n2an辛dx,we堆c旨an累o呆bt残ai盏ni.e.：1的方蒙向与2的名方网向茫有愚何四关谣系探？Be通ca馋us粪e1+请2=仓x+y2=x+y-1Then：Wecanobtain两个诵主应卫力方彩向相摔互垂糖直，牺如图xyOyyxxyxxyxyxy1122Th巩at层e鸽xp垦re蚕ss屡io庸n结sh宅ow交s岛th池att硬h姑e敏t土w牧o宗p绿r巩i螺n评c嫂i胀p菊a瞧l耽s那t竭r坑e胆s烫s删e逆s牌,1an歪d虏2，简a属r锄e体p蜜e更r矩p卧e蠢n带d遮i巨c切u建l裤a斯r捉t货o贡e紫a菊c贝h猎o谁t冬h席e棉r案.3、立最大仍、最清小正绒应力xyxy1122则1=秆x2=裙yxy=0M监a僚x茎i稠m症u江m纽奉a冠n纺d笼m逼i车n崇i笼m浊u啊m奏s孕t餐r掏e市s具s蜂e垂sW膛h斥e待n递t浓h恋e羞p计r棋i尸n够c滤i验p夫a叠l金s识t案r线e脸s阀s顶e局s絮a博t庄a稀p北o暮i亦n虽t芬a捎r赌e值k奏n材o匹w贴n毛,糕i陆t近i骂s勇v楼e需r帅y排e制a活s睬y择t亮o首d瓶e暂t浮e罪r岩m循i赶n毕e贼t染h待e苹m愚a沫x畏i岂m妥u交m饲a淡n抖d丑m储i良n塞i利m庸u变m陡s旅t贼r煌e计s库s薪e部s热a屿t耳t赤h泽e向p悟o撕i忆n济t月.重新建立坐标系：主应力方向为x，y轴。Forsimplicityofanalysis,thexandyaxesareplacedinthedirectionsof1and2,respectively.Th赤e判no戏rm贼al累s茅tr超es钞s呈on析a竿ny当i欢nc闯li给ne昆d惜pl绍an此e誉wi摆ll索b肠e（任意征斜面西上的酿正应杰力）：xy1122N=l2x+m2y+炊2l数mxy=l21+m22Th播e榴re扭la箭ti供on催o便fla导n越dmisl2+m2=1So扒,什we晨c争an新o用bt没ai舞nN=l21+脆（刑1泄-l2）扎2=l2（削1-慰2）对+降2Wh肉enl2=涉1，Ni槽s斯m舟a播x伟i逆m盯u障m淡.Wh赏enl2=0，Nis恶m避in棵im劝um邮.W雨h芹e弃nl2=许1，N=m手a恳x=园1W插h糕e继nl2=爆0，N=mi雅n=揉2Th俱e膊ma疲xi半mu剧m梢an衰d雕mi该ni柿mu点m毙va夹lu忍es狐o装fNar夸e1an律d2,脸r彩es储pe贞ct静iv唯el荣y.T予h向e滥s下h皮e追a唯r胀i赔n膛g和s让t使r悬e油s殊s控o阴n尸t酬h拒e互i纠n仅c奶l胆i招n认e裕d闷p拌l俭a届n啄e婶i镜sN=lm(y-x)+(l2-m2)xy=

lm(2-1)=

4、惜最大崇、最酒小剪垄应力NWhen,theshearingstressNreachesitsextremevalues.Th眉is愿s哭ho姓ws嫩t遥he刘e育xt扣re雀me绿s赤he俊ar珍in自g耳st闭re乡丰ss咏es帅a棋re挤a饼ct后in吉g景on今p股la马ne怨s休in礼cl蹲in脉ed晒a新t有450wi南th齿t剧hexza异n衫dyzp弹l融a好n厘e迁s收.xy1122NN最大慰或最恰小剪末应力程的方娱向：归纳：已知x，y，xyN=l2x+m2y+2lmxyN=lm(y-x)+(l2-m2)xy且织1+乐2=每x+绢y两个主应力方向相互垂直。Thetwoprincipalstresses,1and2，areperpendiculartoeachother.最大、最小剪应力发生在与应力主向成45角的截面上。Theseextremeshearingstressesareactingonplanesinclinedat45

withthexzandyzplanes.2—瞒6很边鸽界条冷件列圣族维南鹿原理弹性力学问题平衡微分方程+几何协调方程+物理方程+边界条件或初始条件一、镇边界蚂条件（B稼o扒u漫n剩d俘a舌r闯y搏C吵o殖n舟d穗i迅t杨i下o摸n射s仙）a、位移晃边界着条件（di逆sp剑la链ce枯me隆nt冲b掉ou神nd琴ar集y催co害nd振it枣io楚ns啦）：Bo烈un锣da咐ry征C邮on东di散ti矩on挠s.S米a姐i退n垦t掩-V渗e薯n必a动n搁t絮’勾sP轿r未i腰n相c绝i薪p削l彩eA己c评c鞠o胞r弄d渔i猫n公g嘴t绿o尤B塘o奖u祖n因d附a扫r级y麻C顽o昼n桥d挂i抱t获i扬o挎n怨s窗，钩e厘l急a谦s振t说i绣c贴i投t竞y废p麦r正o永b胶l稿e握m遣s蒙a严r么e男c貌l傅a品s丧s驶i搞f窄i算e由d驱a坟sdi凭sp舰la摸ce蚁me蔽nt斤b武ou梨nd迷ar疾y满pr向ob赤le员ms，s肿t申r差e子s注s廊b轰o钱u峰n放d述a您r跪y冒p挑r言o毁b顶l夹e界m酿s，m乎i航x浩e处d乔b姐o灶u警n评d冲a稍r息y新p守r宵o捧b构l具e灭m窃s.Inadisplacementboundaryproblem，thesurfacedisplacementsofthebodyarespecified.弹性体在边界上的位移是已知的。x如：四边固定的板或两端简支的板xbaxaby边渗界略条妄件掏如普下撞：us=uvs=vb五、应雾力拿边英界飘条描件(s绝t佩r询e白s奖s偏b拘o盒u棍n破d摊a僵r盏y掠c蜜o忙n足d枕i练t传i钞o葵n融s况)：xyqAXN=lx+mxyYN=my+lxy已知BPyyxxyxsYNXN在边界上，若面力已知，则XN=XYN=Ylx+mxy=Xmy+lxy=YInastressboundaryproblem，thesurfaceforcesactingonthebodyarespecified.弹性体在边界上所受的面力是已知的2xy3141、3边界：l=0m=+1y=Y;xy=X++2、4边界：m=0l=+1x=X;xy=Y++lx+mxy=Xmy+lxy=Y平面问题的应力边界条件stressboundaryconditionsofaplaneproblem特殊边界的应力边界条件Whentheboundaryisnormaltoacoordinateaxis,thestressboundaryconditionsaresimplified当边界的外法线沿坐标轴的正向时，两者的正负号相同；当边界的外法线沿坐标轴的负向时，两者的正负号相反。Theboundarystresscomponentsareequaltothesurfaceforcecomponents（usepositiveornegatvesignaccordingastheoutwardnormalisalongthepositiveornegativedirectionofthecoordinateaxis）.c、混合边界条件(mixedboundaryconditions)

：一部分边界具有已知的位移，一部分边界具有已知的面力；或同一部分边界既有位移边界条件，又有应力边界条件。Inamixedboundaryproblems，someportionoftheboundaryisspecifiedwithknowndisplacementswhiletheotherportionissubjectedtoknownsurfaceforces.解：A置B边锻：y=-慢q望;劳yx=有0B越C边柜：x=估0刊;映xy=0CD边：y=据0帮;欢y暮x=0A状D边倚：u调=君0员；锋v渴=牙0例1、写出图示悬臂梁的边界条件，板厚为1ABCDyxqxyABCA准B边磁：v扶=脖0AC边左：x=减0危；未x坐y=0混合朗边界贞条件F艇o询r平i距n句s扁t奖a内n改c统e：Mi浴xe功d是bo犁un妄da肆ry记p抄ro贩bl壶em解炕：BC边：x=0滋;匆x垦y=印0CD边：y=沟0嘱;潮yx=0A饭D边夫：u取=眠0仙；逝v钱=锯0AB边：y=yx=0例2、写出图示悬臂梁的边界条件，板厚为1xABCDyq0l解光：B植C边缺：y=0葱;馆yx=算0D浪E边腾:A久B边孝：x=冤-g厅y;谦xy=胁0例3、写出图示结构AB、BC、DE的应力边界条件水的重度为ExyABCDNc糖o踏s(N棚,x异)=c范o牺s指=lco露s(纤N抱,询y喝)片=co阀s(声9别0辱有+乌抖)餐=辅-还s吓i队n眯朋=按mlx+mxy=Xmy+lxy=Ycosx-sinxy=0-siny+cosxy=0二嫁、嚷圣亮维送南惭原炎理(Sa惑in还t-Ve顷na四nt’里s艘P大r车i怕n炊c券i序p饼l具e构)在求解弹性力学问题时，要使应力分量、形变分量、位移分量满足基本方程并不困难，但要完全、精确地满足边界条件，却往往发生很大困难。Insolvinganelasticityproblem,it’srathereasytoobtainthestresses,strainsanddisplacementswhichsatisfyallthebasicequations.Howeverweoftenencounterdifficultiesinhavingalltheboundaryconditionscompletelysatisfied.在牢上技述呀情该况宵下久，蛋可腊利源用丘圣池维他南舍原冒理(S锹a简i荡n枯t势-Ve饶na训nt’高s域P沈r恶i盖n姑c始i代p枯l适e袭)来写蛙出近先似的参边界伞条件僻：圣表维岔南阀原野理译：如果爱把物旗体一犬小部拘分边庸界上歪的面垂力变乡丰换成分布应不同但静罪力葛等秃效的零面匠力敞，燥则用近劣处泰的摔应桌力所分亏布非将牲有廉显报著遭的板变识化令，胆但味远霜处箩所冒受捧的怜影惠响崖可个以盟忽逝略苹。慌(P戏2担5纳)另外，在工程计算中经常碰到这样的情况：在物体的部分边界上，只知道物体所受面力的合力，面力的分布方式并不明确。Ithappensfrequentlyinthestresscalculationforastructuralormachineelementthatweknowonlytheresultantofsurfaceforcesonasmallportionoftheelement,butnotthedistributionoftheforces.Un多de塞r蜜su径ch隐c雀ir脾cu即ms练ta优nc恩es扫,S疼a唱i疫n博t键-Ve县na叉nt’s杆p核ri坡nc点ip走lem甜a现y颈b州e智o浊f斩m拔u潮c务h钩h斜e玻l妻p够t名o呢u暗s摇.Th胳e见es甩se细nc捉e严of稀t旅hep预r铜i业n余c编i欲p悔l车eca芝n愧be乔s炼ta想te堡d吃as眼f胃ol血lo郊ws:If弄a刃s眉ys睬te弊m竟of螺f嫌or急ce垃s画ac唉ti梅ng编o得n高a钉sm凉al种l党po线rt聋io条n盲of练t阿he袜s辣ur甩fa藏ce蛛o钉f亩an嚷e烦la重st炕ic草b犯od驾y痒is顾r凉ep灾la兔ce链d休by广a形no代th嫌ers袖t孤a灰t甚i琴c同a街l显l视y垃e锐q巷u鞠i艳v刺a谈l予e骂n缴t晶s古y跃s米t认e翠m找o眯f团f据o谣r惯c刚e颠sac钓ti贷ng嗓o敌n击th提e腔sa叨me应p姓or膝ti山on煌o匆f私th疗e诸su肌rf煤ac拘e,策t论her爸e稀d壤i短s枯t箱r壮i扑b扮u兰t裙i单o长no杯f遥l盼o膜a欣d躬i块n殿g乌p坏r辣o期d柴u剪c逼e爬s护s夹u坦b宪s木t蠢a款n双t匆i谣a性l主c退h当a技n婚g尤e佣s独i狱n盏t裤h圈e江s崭t旋r渡e泉s拍s狡e使son虫ly骑i水n缺th瓶e符im声me沫di摆at傲e浇ne各ig蓬hb谈or呜ho孔od疲o骡f枕th钓e倘lo沫ad乖in腿g,耗an锡d盖th庙e光st险re窑ss幻玉es携a价re救e换ss途en漂ti犯al布lyth参e君sa波me葬i县n牵th集e抗pa繁rt泛s打of艰t学he杯b须od害y杜wh个ic疯h助ar我e础at仰l保ar服ge腾d吩is什ta照nc邀esi暑n赤c好o松m关p京a顿r抢i熔s详o霞n斯w轻i胆t巷h划t默h刷e甜l氧i叠n丝式e捐a敌r华d江i具m呀e括n图s爪i蝇o赔n旨o阵f盘t贺h歉e奏s提u援r症f抄a志c倚e刊o谊n泪w寨h批i呈c典h胳t炒h透e验f剖o速r壮c嚼e仆s虎a握r都e质c示h劈燕a初n纺g彩e桂d长.B迁y厨“差s疼t陆a起t卫i算c焦a竖l则l竭y贸e棍q传u节i码v助a稻l熊e炸n的t伐s猎y差s文t摆e旱m配s致”荷w币e们m平e尚a涛n罚t泉h昼a迹t格t蹲h修e尘t据w疗o材s小y抗s倒t秧e店m怜s佩h窄a葛v脏e辉t纠h别e移s期a丧m声e像r尼e屡s垮u驼l叙t桥a窜n萄t拾f咏o派r遣c飞e斤a足n街d