数学分析第十六章多元函数的极限与连续

数学分析第十六章多元函数的极限与连续第1页，课件共40页，创作于2023年2月第16章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数（了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念

）一、平面点集坐标平面……平面点集E={(x,y)|(x,y)满足的条件}邻域U(A,δ)={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}

U(A,δ)={(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ}空心邻域U0(A,δ)={(x,y)|0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}U(A,δ)={(x,y)||x-x0|<δ,|y-y0|<δ,(x,y)≠(x0,y0)}第2页，课件共40页，创作于2023年2月（一）下面利用邻域描述点和点集的关系(ⅰ)内点

U(A)E

(ⅱ)外点

U(A)E=

(ⅲ)界点U(A)E≠且U(A)EC≠点A∈R2和点集ER2必有以下三种关系之一：若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E

的边界点.的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作E;第3页，课件共40页，创作于2023年2月(ⅰ)聚点

U0(A)E≠点A近旁是否有点集E中无穷多点构成另一种关系：聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E

的边界点)(ⅱ)孤立点A∈E且

U0(A)E=第4页，课件共40页，创作于2023年2月练习1:问A是E的内点?外点?(1)设问(2)设是E的聚点?孤立点?呢?第5页，课件共40页，创作于2023年2月（二）一些重要的平面点集闭集E的所有聚点∈E开域连通的开集闭域开域连同边界开集intE=E有界点集、无界点集点集的直径三角不等式区域开域、闭域，或开域连同部分边界第6页，课件共40页，创作于2023年2月练习2:则原点是K的

点(1)设孤立点、界点，但不是聚；圆周上的点是K的点

界点、聚，但不属于K；K是开域、是闭域，有界集。不也不是(2)求下列平面点集的聚点集合第7页，课件共40页，创作于2023年2月二、R2上的完备性定理R2上的完备性定理是二元函数极限理论的基础。为此，先给出平面点列的收敛性概念。定义1

设为平面点列，为一固定点.若使当时，有则称点列收敛于记作或点列极限的两种等价形式：第8页，课件共40页，创作于2023年2月定理16.1(柯西准则)平面点列收敛的充要条件是：使当时，对一切有定理16.2(闭域套定理)设是中的闭域列，满足则存在唯一的点课堂练习：P92:1(1)(3)(6)作业：P92:1(7),3,5第9页，课件共40页，创作于2023年2月定理16.3(聚点定理)设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点。

推论

有界无限点列必存在收敛子列定理16.4(有限覆盖定理)设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了(即),则在中必存在有限个开域它们同样覆盖了(即)。推广：将定理16.4中的改为有界闭集，而为一族开集，此时定理依然成立。第10页，课件共40页，创作于2023年2月三、二元函数定义2

设平面点集若按照某种对应法则中每一点都有唯一确定的实数为定义在上的二元函数，记作为与之对应，则称的定义域,…函数值,…值域,…自变量,…因变量。为方便计，二元函数也记作或第11页，课件共40页，创作于2023年2月便是二元函数三维欧氏空间中的点集的图像。例2

例3

例4

例5

若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。否则称为无界函数。练习3:描绘下列函数图象

第12页，课件共40页，创作于2023年2月四、n元函数设点集若按照某种对应法则使每一点都有唯一确定的实数为定义在上的n元函数，记作与之对应，则称n元函数也记作或课堂练习：P92:4,6(1)(3);P93:8(1)(4)(7)作业：

P93:8(5)(10)第13页，课件共40页，创作于2023年2月小结：1、掌握平面点集的有关概念；2、了解平面上的完备性定理；3、了解多元函数的概念。

第14页，课件共40页，创作于2023年2月§2二元函数的极限一、二元函数的极限定义1

设为定义在为的一个聚点，是一个确定的实数.若上的二元函数，使当时，都有则称在时，以上当为极限，记作在对于不致产生误解时，也可简单地记作或第15页，课件共40页，创作于2023年2月例1

依定义验证证明例2

设下面的定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归纳原则，证法也类似。的聚点，就有只要定理16.5是第16页，课件共40页，创作于2023年2月不存在，则推论1设是的聚点，若也不存在。但推论2设是的聚点，若存在极限也不存在。则所对应的函数列推论3且存在都收敛。第17页，课件共40页，创作于2023年2月例3

讨论时是否存在极限。当例4

讨论时是否存在极限。当定义2

设为定义在为的一个聚点。若上的二元函数，使当时，都有则称在时，存在上当非正常极限，记作或第18页，课件共40页，创作于2023年2月类似地可以定义和例5

设证明二元函数极限的四则运算法则和相应定理仍成立。例如，课堂练习：P99:1(1)(2)(3)第19页，课件共40页，创作于2023年2月二、累次极限在上段所研究的中，两个自变量同时以任何方式趋于这种极限也称为重极限。在这段里，我们考察以一定的先后顺序相继趋于时的极限，这种极限也称为累次极限。定义3

设的聚点，二元函数在上有定义。若是存在极限，记作的聚点，是第20页，课件共40页，创作于2023年2月而进一步存在极限则称此极限为先对后对的累次极限,记作或简记作类似地可定义先对后对的累次极限第21页，课件共40页，创作于2023年2月例7

设讨论在原点的重极限和累次极限。例8

设讨论在原点的重极限和累次极限。重极限和累次极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的联系。例如：第22页，课件共40页，创作于2023年2月重极限和累次极限在一定条件下也是有联系的：定理16.6

若在点存在重极限则它们必相等。和累次极限推论1

若在点的重极限则它们必相等。和累次极限都存在，推论2

若累次极限必不存在。存在但不相等，则重极限第23页，课件共40页，创作于2023年2月课堂练习：P99:2(1)(2)(3)思考题:重极限存在

==>

累次极限存在?重极限存在

<==

次极限存在且相等?

作业：P99:1(5)(7),2(4)(5)小结：1、掌握二元函数极限和累次极限的概念；2、了解有关定理和推论；3、掌握重极限和累次极限的求法（含不存在）。

第24页，课件共40页，创作于2023年2月§3二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念定义

设为定义在(它或者是的聚点，或者是的孤立点).对于上的二元函数，只要时，就有则称关于集合连续.在点在点简称连续.若在上任何点关于集合连续,则称为连续函数.上的第25页，课件共40页，创作于2023年2月若为的孤立点，则必为关于的连续点。若的聚点，则关于为在连续等价于特别地,当左边极限存在但不等于的可去间断点.时，为一般地,当的连续性.若上式不成立(其含义与一元函数的对应为情形相同)，则称为的不连续点(或间断点).的聚点时，就用上式判断在该点的第26页，课件共40页，创作于2023年2月如上节例1给出的函数在原点连续；事实上，注：若一元函数在某点连续，将它看作二元函数，则在相应点仍连续。类似地，例2给出的函数也在原点连续（P94）。例3、4给出的函数在原点不连续。若把例3给出的函数改为则它沿直线在原点连续。第27页，课件共40页，创作于2023年2月设则称为在点的全增量。可用增量形式描述关于在的连续性：若在全增量中取或则相应的函数增量称为偏增量，记为第28页，课件共40页，创作于2023年2月注意：偏增量的和不一定等于全增量。容易证明：若二元函数在某内点连续，则对单个自变量都在该点连续。但是反过来，二元函数在某内点对单个自变量都连续，并不能保证该函数的连续性。例如，若的一元函数在时则表示当作为连续。同理,若则表示在连续。第29页，课件共40页，创作于2023年2月定理16.7(复合函数的连续性定理)设函数在的某邻域内有定义，平面上点则复合函数和连续；函数并在点在平面上点的某邻域内有定义,并在点连续,其中也连续。在点若二元函数在一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这点近旁具有局部有界性、局部保号性以及有理运算的各个法则。下面仅证明二元复合函数的连续性定理.练习:说明下列函数的连续性第30页，课件共40页，创作于2023年2月二、有界闭域上连续函数的性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的性质。它们可以看作是闭区间上一元连续函数性质的推广。定理16.8(有界性与最大、最小值定理)若函数上连续，则有界闭域最大值与最小值。在在上有界，且能取得定理16.9(一致连续性定理)若函数上连续，则在有界闭域在上一致连续。即对只要就有第31页，课件共40页，创作于2023年2月实际上，定理16.8与16.9中的有界闭域可改为有界闭集(证明过程无原则性变化)。定理16.10中的有界闭域(它保证连通性)不可改为有界闭集(开集、闭集不一定具有连通性)。此外，定理16.10中的连续函数的值域必定是一个区间。的实数定理16.10(介值定理)设函数上连续，若在有界闭域为中任意两点，且则对任何满足不等式使得必存在点第32页，课件共40页，创作于2023年2月2、考察下列函数的连续性：作业:P105:1(1)(3)(5),3.那么它在练习：1、若函数上具有哪些性质？第33页，课件共40页，创作于2023年2月小结：1、掌握二元函数的连续性概念

；2、了解有界闭域上连续函数的性质。第34页，课件共40页，创作于2023年2月“Ch16二元函数的连续性与极限”习题课一、基本内容和要求1、了解平面点集的有关概念，了解平面上的完备性定理，了解多元函数的概念。2、理解二元函数的极限和累次极限的概念，并会计算，知道它们之间的联系。3、了解二元函数的连续性概念和有界闭域上连续函数的性质。第35页，