自动控制原理七

第二章控制系统的数学模型7/13/20231知识点系统微分方程的建立方法Laplace变换的定义及性质传递函数的定义及性质控制系统中的典型环节及传递函数的数学模型动态结构图的建立方法及简化准确求取系统的传递函数自动控制系统中微分方程、传递函数、动态结构图之间的关系及相互转换7/13/202322.1微分方程[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。概述7/13/20233[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。概述7/13/20234古典河控制眨理论挖中（禾我们接所正蹦在学柳习的沸），园采用嘱的是偏单输耍入单戴输出爽描述圆方法像。主略要是麻针对骄线性糊定常掩系统蓝，对劝于非倘线性热系统机和时涉变系揪统，注解决邮问题挽的能痛力是升极其荡有限妻的。[非骗线止性蓝系公统]：如堆果笼不触能火应扇用议叠梯加黑原宾理扮，倾则吃系虏统冈是命非赤线娇性示的。下面是非线性系统的一些例子：概述7缎/享9抗/遥2哨0需2垒35第一板节焦控眉制系墓统的礼微分圆方程7讨/厅9称/消2救0蚊2钳36微精分远方泻程丈的击编在写辜应绿根蓄据汉组粘成往系含统卧各调元狱件陡工慌作昌过乳程尊中摩所太遵由循因的碗物上理局定造理钩来宜进串行芹。阵例争如开：表电临路轮中骂的慢基练尔棚霍养夫歇电且路是定店理急，释力黄学弹中耕的疏牛箱顿慰定问理择，塘热孙力芝学咱中竹的凭热探力科学朱定布理全等烘。控制惰系统搭的微缠分方湾程7亡/译9瓶/践2页0揭2戒37控制歼系统变的微岁分方起程由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi[拜例凳2骨-运1抗]：戴写钉出R坑L饺C串请联耗电疯路奇的枣微叉分妙方嚼程姜。7/圆9/树20怒238[例窃2-恭2]求弹武簧-阻汤尼-质慨量是的族机棍械微位挑移芽系浪统锁的绕微监分先方僻程应。持输尚入坟量贵为裙外太力F，输出寸量为肿位移x。[解岂]：图1和图2分委别盖为夺系柔统吨原督理利结胸构求图得和世质谊量猪块陈受符力川分肤析烤图主。水图倒中誉，m为质杜量，f为粘醒性阻斜尼系斑数，k为弹早性系视数。mfmFF图2图1根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：控制上系统扁的微肆分方扣程7饶/打9警/撞2努0裹2腔39[溜例签2忆-奖3蹲]电递枢梯控台制僻式腊直择流猪电秋动伴机这里学输入喇是电驾枢电碑压ua和等浇效到帐电机抗转轴匙上的趟负载命转矩Mc，输钳出科是数转笋速w电枢回路方程为

其中ea

为反电势此时激磁电流为常数，所以Ce称为电动机电势常数

Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程电机通电后产生转矩控制失系统筐的微滨分方澡程7弃/翻9需/姻2绪0型2亲31腔0其中和分别称为电磁时间常数和机电时间常数整且理踢得分别是转速与电压传递系数和转速与负载和传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。控世制燥系接统病的笨微宗分超方高程7/萍9/畜20臣231受1[需士要脖讨各论专的插几唐个示问革题]：1、相筒似系殊统和抵相似饿量：我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。这是因为：若令（电荷），则例2-1①式的结果变为：可见播，同一师物理躁系统奖有不处同形赵式的绣数学父模型宣，而倒不同族类型誉的系刷统也办可以怒有相让同形柜式的没数学湖模型痛。相似戴系统窝和相晚似量[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中分别与为相似量。[作弟用]利用缎相似疏系统滴的概栋念可罢以用酸一个棕易于敬实现撑的系恨统来搭模拟牢相对稠复杂岂的系滴统，雾实现雹仿真悄研究语。7/青9/裳20析231罩22、非爹线全性宇元俘件散（艳环擦节介）的微惹分筒方嫌程透的晶线营性送化在掏经加典徐控笼制房诚领尘域作，筹主脉要烤研蛇究惯的王是亮线焦性暖定卷常狮控造制汪系卡统纹。饼如腿果兔描杆述壶系泪统身的租数棕学扶模父型馆是英线梳性祥常丙系损数太的夫微五分劫方坝程庄，陷则悔称音该捉系怠统贸为包线戚性少定怪常货系紧统馅，拨其兴最耗重肆要徒的粮特蒙性泉便略是沉可汤以扩应戒用范线端性格叠近加凤原失理局，第即笼系盐统引的湿总眼输闪出探可狮以么由抽若瞎干务个端输淋入股引厚起爷的卷输其出尚叠通加膝得使到析。非划线湖性脾环脸节诱微附分真方笔程彼的俱线伞性陷化7祖/讲9目/莲2窜0梦2湿31注3若兽描呼述悦系秧统爪的旦数唇学福模功型完是萝非嚼线校性笑（研微甚分版）族方暑程瞒，苗则攻相两应谊的寇系穿统府称市为前非螺线并性送系谨统算，躲这惜种而系灿统毁不津能炮用闻线役性扇叠第加童原梨理掀。岛在解经蹄典醒控学制师领样域总对场非赢线蓬性皇环排节怎的所处叶理议能会力乎是悄很欲小崇的抹。代但编在伸工妹程锈应蕉用载中飘，蜻除就了崭含然有留强义非坛线奶性替环卖节帜或般系吓统弦参肥数塌随什时当间汤变绑化眉较竟大心的踪蝶情骆况耽，签一扩般乓采梨用惹近挨似娇的牛线精性屑化薯方请法淡。扒对慈于户非拨线担性贩方失程旨，扇可耐在沫工肥作袖点绿附么近炒用忙泰煮勒宿级返数计展朴开禾，题取勾前艳面棵的厉线讯性钟项犁。键可的以底得老到宽等贷效波的望线轿性趴环泪节护。设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的。A点附近有点为，当很小时，AB段可近似看做线性的。非消线抚性言环药节庄微愿分闯方滩程抵的苗线刃性果化AByx07/爽9/警20担2314AByx0设f(x)在点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若很小，则，即式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。非浪线叨性升环爸节洁微娇分喜方赖程逃的念线弓性饶化7/冠9/保20逐2315对棕于伟具砍有碍两固个赞自瓦变晴量侨的鹿非咸线罢性档方怒程臭，见也望可烦以税在闲静盼态径工驾作骨点权附带近到展谢开故。慨设做双黎变什量励非械线留性淡方浴程网为炊：辞，砌工俭作击点巩为。则躬可近狗似为贝：式中惰：坐，齿。为聋与鼠工暮作抽点粗有辜关水的还常傍数觉。阅遮读初教销材悦例[2洪-5草]求液罗压伺艇服油缓缸的过线性贤化数敢学模啄型。[注意]：⑴菊上锋述奋非瓶线驰性瞎环桐节乖不倚是见指朗典仍型旦的低非别线烧性染特占性茶（膛如根间太隙虾、撑库秒仑环干亡摩锹擦蚀、系饱我和邮特挎性滋等碌）雅，列它旨是虹可局以帮用哄泰草勒哪级轧数尚展鼓开斜的绑。⑵实际际的耗工作淘情况仔在工构作点阁附近己。⑶变顺量的竖变化启必须投是小兔范围裙的。题其近邻似程匠度与吼工作举点附适近的朝非线材性情加况及场变量抢变化丈范围朱有关爽。非盟线怠性矿环蒸节册微妥分杀方舰程状的宅线慈性重化7扒/芹9汇/曲2排0泽2客316[锯例庆2淘-赛4版]：倒立深摆系胞统非腔线遍性遭环吐节誓微纳分爹方渡程挽的甲线伟性乐化该系德统由检小车守和安镇装在签小车旨上的艰倒立奶摆构念成。增倒立缺摆是雾不稳孩定的拉，如误果没党有适才当的掩控制忘力作背用到亿它上盟面，炊它将享随时守可能群向任抹何方备向倾肯倒。锅这里测我们路只考盾虑二灶维问厅题，侮即认鸡为倒呀立摆最只在侄图所趟在的蛙平面愁内运绞动。若有纵合适吊的控捡制力u作竹用荣于界小逼车倾上斗可先使窃摆戒杆类维败持裙直敬立汪不丙倒饲。特这爷实捧际械是饶一视个视空粒间伏起克飞蹲助锣推沿器或的泥姿温态悼控铺制拖模败型(姿起态王控朽制吨问宝题臂的租目桐的取是妙要秒把瓦空防间衔助数推芝器竖保渔持乒在仿垂库直贼位见置)。设小车和摆杆的质量分别为M和m，摆杆长为，且重心位于几何中点处，小车距参考坐标的位置为，摆杆与铅垂线的夹角为，摆杆重心的水平位置为，垂直位置为

7提/康9愈/扎2朝0肤2紧317画钉出义倒芳立糖摆松系题统喉隔摧离替体仪受盛力有图非线棒性环蹄节微餐分方侵程的停线性帮化设蓝摆颜杆送和驾小造车这结谁合乔部碌的批水伟平焦反辉力喷和绳垂扎直旬反浅力址为H和V，略种去壶摆肝杆私与因小鄙车谎、逝小鸟车评与丑地狂面迎的摘摩到擦脚力目。梯可厕得火方炒程罪如老下乌：⒈摆杆围绕其重心的转动运动⑴

式中J为摆杆围绕其重心的转动惯量，为垂直力关于其重心的力矩，为水平力关于其重心的力矩。

⒉摆杆重心的水平运动 ⑵

⒊摆杆重心的垂直运动 ⑶

⒋小车的水平运动 ⑷

7/很9/倍20嗽2318因蓬为穿在惧这良些在方善程筝中嘉包退含蜘和邀，模所畏以艳它郑们机是杜非舱线妻性帅方熄程侨。非爆线榴性土环迎节碗微辛分村方域程担的哈线群性趋化若陵假挥设洗角什度嘱很川小萝，息则年和况。殃可兰得栽下纱列愉线话性违化肿方嫁程草：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻由⑹和⑻可得 ⑼由⑸、⑺和⑻得 ⑽

当忽略转动惯量J时当考虑转动惯量时7/虚9/厕20户231话93.线性霞系统彼微分竟方程六的编母写步渴骤：⑴确真定系扁统和常各元总部件角的输尊入量窄和输亮出量陆。⑵对守系统盟中每州一个蒜元件冤列写旱出与蛾其输法入、渣输出冈量有姜关的谢物理与的方僵程。⑶对益上述前方程凭进行声适当洪的简缝化，举比如揪略去回一些莲对系义统影冶响小寻的次助要因影素，岛对非沫线性址元部众件进最行线铺性化纳等。⑷从强系统环的输画入端拿开始释，按辟照信驶号的衰传递是顺序典，在像所有浪元部美件的辰方程芳中消吃去中辅间变盾量，奋最后麦得到孔描述秀系统妇输入辟和输蛇出关鄙系的中微分螺方程题。线性卖系统升微分哲方程鱼的编布写步架骤7遮/钳9恨/幸2崭0嚼2这320[例盐2-运6]：编贷写下惑图所炮示的蚂速度梢控制呈系统缠的微膨分方暂程。负载-+-+功率放大器测速发电机[解]：⑴该系统的组成和原理；⑵该系统的输出量是，输入量是，扰动量是线炉性耻系亩统偶微盟分护方庸程津的蜂编跨写控例卖子[例2园-蒜6艇]7/跨9/近20非2321线性蹄系统馋微分箩方程卖的编手写例厚子[例2-念6]⑸消去中间变量：推出之间的关系：显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。⑷各环节微分方程：运放Ⅰ：，运放Ⅱ：功率放大：，反馈环节：电动机环节：见例2-4测速-运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机⑶速度控制系统方块图：7/充9/供20穴232味2线迫性硬系猎统钱微伯分均方罢程假的厘编倘写评例抽子[例2-扑6]⑴对于恒值调速系统，=常量，则。转速的变化仅由负载干扰引起。增量表达式如下：⑵对于随动系统，则=常数，，故：根据上式可以讨论输出转速跟随给定输入电压的变化情况。⑶若和都是变化的，则对于线性系统应用叠加原理分别讨论两种输入作用引起的转速变化，然后相加。[增牌量镜式捉分叫析](上式鸟等号遭两端概取增造量)：7/罩9/覆20物2323①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：,式中s为复数。记作一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t<0时，f(t)=0；⑵t≥0时，f(t)分段连续；⑶。F(s)—象函数，f(t)—原函数。记为反拉氏变换。复飞习绿拉睬氏虽变猫换4、画复龄习值拉僻氏变变搜换7疼/扇9旦/属2渠0辨2任32幕4⑴线性性质：⑵微分定理：⑶积分定理：（设初值为零）⑷时滞定理：⑸初值定理：复袭习形拉举氏寺变烦换②肃性的质抬：7政/浩9回/甜2活0轻2退32抵5⑹终值定理：⑺卷积定理：③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：