湖南省永州市东安县第四中学高三数学文期末试题含解析

湖南省永州市东安县第四中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知点是的外心，是三个单位向量，且，如图所示，的顶点分别在轴的非负半轴和轴的非负半轴上移动，是坐标原点，则的最大值为A． B． C．

D．参考答案：C3.在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，则对于任意的，；④对于任意的向量，其中，若，则．其中正确的命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B①是正确的；②中，满足已知，则，只要有一个没有等号，则一定，若，则，都满足，正确；③∵，∴命题正确，④中若，则，但，错误，因此有①②③正确，故选B. 4.已知向量若与平行，则实数的值是（

）A．-2

B．0

C．1

D．2参考答案：D略5.“”是“直线与圆

相交”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A要使直线与圆

相交，则有圆心到直线的距离。即，所以，所以“”是“直线与圆

相交”的充分不必要条件，选A.6.把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.设圆，直线，点∈，若存在点Q∈C，使

。（O为坐标原点），则的取值范围是(

)．(A)

B.

(C)

(D)参考答案：B8.(

)A． B． C． D．参考答案：B略9.函数

的值域为A.

B.

C.

D.参考答案：B10.定义R上的减函数f（x），其导函数f/(x)满足:<，则下列结论正确的是

A.当且仅当x(-∞,1)，f（x）<0

B.当且仅当x∈（1，+∞），f（x）>0C.对于?x∈R，f（x）<0

D.对于x∈R，f（x）>0

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是

．参考答案：法一：数形结合法：设，由题意可得，即，解之得．法二：设点，，则由条件得A点坐标为，，从而，整理得，化归为，从而，于是由得。12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，则球的表面积为.参考答案：【知识点】球的体积和表面积

解析：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为.【思路点拨】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．13.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为

．参考答案：472试题分析：用间接方法，符合条件的取法的种数为：.考点：排列与组合

14.为了得到的图象，只要将函数的图象向左平移个单位参考答案：15.集合A={x｜ax﹣3=0，a∈Z}，若A?N*，则a形成的集合为

．参考答案：{0，1，3}【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】化简A，利用A?N*，可得a形成的集合．【解答】解：a=0，A=?，满足题意；a≠0，A={x｜ax﹣3=0，a∈Z}={}，x=1时，a=3；x=3时，a=1，故答案为：{0，1，3}．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，比较基础．16.已知点、，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是

．参考答案：17.抛物线的焦点坐标是

.参考答案：（-2，0）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接BD，交AC于F，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用面面垂直的判定定理，只要证得CD⊥平面PAD，由线面垂直和矩形的定义即可得证．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于F，由E为棱PD的中点，F为BD的中点，则EF∥PB，又EF?平面EAC，PB?平面EAC，则PB∥平面EAC；（2）由PA⊥平面PCD，则PA⊥CD，底面ABCD为矩形，则CD⊥AD，又PA∩AD=A，则有CD⊥平面PAD，由CD?平面ABCD，则有平面PAD⊥平面ABCD．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，主要考查线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面性是解题的关键．19.如果存在常数a，使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”.（1）若数列：是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）已知有穷等差数列{bn}的项数是，所有项之和是B，求证：数列{bn}是“兑换数列”，并用和B表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.参考答案：（1）a=6,m=5；（2）见解析；（3）本试题主要考查了数列的运用。解：（1）因为数列：1,2,4(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分故a-m=1,a-4=2-------------------3分即a=6,m=5-------------------4分（2）设数列的公差为d，因为数列是项数为项的有穷等差数列若即对数列中的任意一项-------------------6分同理可得：若，也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列是“兑换数列”；-------------------8分又因为数列所有项之和是B，所以，即------10分（3）假设存在这样等比数列，设它的公比为q,(q>1)，因为数列为递增数列，所以又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数故数列必为有穷数列，不妨设项数为n项，------------------12分则----------14分①n=3则有，又，由此得q=1，与q>1矛盾；-------------------15分②若。由，即()，故q=1，与q>1矛盾；-------------------17分综合①②得，不存在满足条件的数列。-------------------18分20.已知关于的一元二次函数（Ⅰ）设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；（Ⅱ）设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率。参考答案：解：（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且

若=1则=－1；若=2则=－1，1；若=3则=－1，1；

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

∴所求事件的概率为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知且>0时，函数上为增函数，依条件可知全部结果所构成的区域为，该区域为三角形部分。

由

∴所求事件的概率为。

21.（本小题满分12分）如图，已知多面体中，平面，，，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离的取值范围.参考答案：（Ⅰ）∵平面，，

∴平面，∵平面DBC，∴.又∵，为的中点，∴.∵平面，平面，，∴平面

-------4分（Ⅱ）：设，则.∵平面，∴又∵，平面平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面