求数列通项的几种常见类型及其解法

求数列通项的几种常见类型及其解法张志勇顺德罗定邦中学528300【摘要】针对中学生在求数列通项中遇到的几类问题，加以归纳和总结。为学生的学习和高中教师的《数列》教学提供方便和参考【关键词】数列、通项公式、类型、解法1.形如 f()型a一a=f(n)TOC\o"1-5"\h\zn+1 n若f(n)为常数，即：a-a=d，此时数列为等差数列，则a=a+(n-1)d.n+1 n n1若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由a-a=f(n)得：n+1 nn>2时，a一a=f(n一1)，n n一1a一a=f(n一2)，n一1 n一2a一a=f(2)32a一a=f(1)21所以各式相加得a-a=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)1例1. (2003天津文)已知数列｛aj满足a=1,a=3”-1+a(n>2),n 1 n n-1证明a证明a3n一1证明：由已知得：a-a=3n-1,故n一1a=(a—a)+(a—a)+.…+(a—a)+a3n一1n n n一1 n一1 3n一13n一1=3n-1+3n-2+…+3+1=

例2.已知数列｛a｝的首项为1,n且a=a+2n(ne例2.已知数列｛a｝的首项为1,nn+1 n n答案：a-n2一n+1例3.已知数列｛例3.已知数列｛a｝满足a=3n11n(n一1)(n>2),求此数列的通项公式.答案：a=2-丄nn评注：已知a=a,a-a=f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指1 n+1 n数函数、分式函数，求通项a.n若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。2.形如an+1=f(n)型an(1)当f(n)为常数，即：厶*=q(其中q是不为0的常数)，此时数列为等比数列，ana=a•qn—1n1(2)当f(n)为n的函数时，用累乘法.an>2时，一l=f(n一1)，an—1aan—1例1.设｛a｝是首项为aan—1例1.设｛a｝是首项为1的正项数列，且(n+1)a2一na2+aa=0(n=1,2，3,…)，—na]—na]=0解：已知等式可化为：(a +a)C(n+1)an+1•/a>0(neN*).(n+1)a一na=0,nan—1an—1n>2时，~n =aaan-1n-211a=• n丄••,>••2•a ••.•••1naaa1 n n-12nn—1n-21评注：本题是关于a和a的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)TOC\o"1-5"\h\zn n+1得到a与a的更为明显的关系式，从而求出a.nn+1 n例2•已知a=na+n-1,a>-1，求数列｛aj的通项公式.n+1 n 1 n解：因为a=na+n一1,所以a+1=na+n,n+1 n n+1 n+1),乂因为a>-1，即a+1>0，11所以由上式可知a+1>0，所以"n+1+1=n，故由累乘法得n a+1na+1a+1a+1=~n --^一^n a+1a+1n-1 n-2

a+1 a+1 - 2 -(a+1)a+1 a+1 121=(n—1)•(n—2) 2 •1•(a1+1)=(n—1)!・(a1+1)所以a=(n—1)!・(a+1)T.n1评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an+1=na+n—1,转化为na+1=n(a+1),若令b=a+1，则问题进一步转化为b =nb形式，进而应用累乘n+1 n n n n+1 n法求出数列的通项公式.3•形如a =ca+d,(c丰0，其中a=a)型n+1 n 1(1)若c=1时，数列｛a｝为等差数列;n(2)若d=0时，数列｛a｝为等比数列;n(3)若ch1且d丰0时，数列｛a｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数n列来求.方法如下：设a+X=c(a+X)，n+1 n得a=ca+(c—1)X，与题设a=ca+d,比较系数得n+1 n n+1 n(c-1)X=d，所以X= ,(c丰0)c—1所以有：a+ =c(a+ )nc—1 n—1c—1因此数列丿a+—］构成以a+厶为首项，以c因此数列丿nc—1I 1c—1所以a+ =(a+ )-cn-1nc—1 1c—1d dc—1即：a=(a+ )c—1n 1c—1d+ =c(ac-1d+—)，构造成公比为c的等比c—1d +c”—1(a+ )1—c 1c—1例1.已知数列｛a｝中，a=2,a=a+ ,求通项a.n 1 n+12n2 n规律：将递推关系a =ca+d化为an+1 n数列｛a+丄｝从而求得通项公式anQ—1 n+1例1.在数列例1.在数列｛a｝中,na=1,a=3a1 n+1 n分析：两边直接加上厶，构造新的等比数列。

c—1解：由a=a+,得a—1=(a—1),n+1 2n2 n+1 2n所以数列｛a-1｝构成以a、一1=1为首项，以1为公比的等比数列n12所以a—1=(―)n-1，即a=(―)n-1+1.n2n2-形如-形如a=pa+f(n)型n+1 n(1)若f(n)=kn+b(其中k,b是常数，且k丰0)方法：相减法TOC\o"1-5"\h\z解：，a =3a+2n, ①n+1 nn>2时，a=3a+2(n一1)，n n—1两式相减得a一a=3(a一a)+2.令b=a一a，则b=3b +2n+1 n n n—1 n n+1 n n n—1利用类型3的方法知b=5-3“-1+2n即a—a=5-3n-1+2 ②n+1n再由累加法可得a= -3n-1—n+1.n2

亦可联立①②解出a= -3n-1-n+1.n2⑵若f(n)=qn(其中q是常数，且n工0,1)求通项方法：两边同除以q即：qn令b=—厂，则可化为b.然后转化为类型3来解，qn例(2003天津理)设a0设a0为常数，且a=3n-1-2a(neN)．-1证明对任意n证明对任意n三1，1a= [3n+(-1)n-1-2n]+(-1)n-2na；n5证明：由a=证明：由a=3n-11233即：bn-1nn-121

(35a)为首项，0为公比的等比数列.31-1=( -a)(-1)52-1()n，3即：=b-a)(-1)02-1()311a= [3n5+(-1)n-1-2n]+(-1)n-2na.0评注：本题的关键是两边同除以3n，进而转化为类型3,构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.5•形如t= @+c2H0)型n+1c-1+dn方法：不动点法:a-1+b为了求出递推数列t=一n一的通项，我们先给出如下两个定义：n+1c-1+dn定义1:若数列｛t｝满足t=f(t)，则称f(x)为数列｛｝的特征函数.n n+1 n n定义2:方程f(x)=x称为函数f(x)的不动点方程，其根称为函数f(x)的不动点.

下面分两种情况给出递推数列t1二n 通项的求解通法.n+1c-1+dn(1)当c=0,时，由ta-1+bab snt=t+nn+1c-1+dnn+1dnda记一=b则有t=k•t+c (kHO),ddn+1n•I数列｛t｝的特征函数为f(x)=kx+c,nkx+c=xnx=，则tn+11-kc1-k・•・数列｛t- —｝是公比为k的等比数列,n1-k・t・t-c=(tn1-k1(2)当cHO时，c)-kn-1nt1-k ncc+(t- )-kn-1.1-k1 1-ka-x+b数列｛t｝的特征函数为：f(x)=n c-x+da-x+b由 =xncxn 1n 1at+b一cxt一n 1n 1at+b一cxt一dxn 2n 2将(1)、(2)式代入(3)式得:c-x+d设方程cx2+(d-a)x―b=0的两根为xi，x2,则有:cx2+(d—a)x—b=0,cx2+(d一a)x一b=01122b=cx2+(d一a)x (1)11b=cx2+(d一a)x (2)22t—x=k■ 1t一xn2(其中,nUN*,k为待定常数).nana-1+bnc-1+dn—x2TOC\o"1-5"\h\zJ 一x由 ft —xn+1 2

丁t—x=k--n 1t—xn2

t—x=k■ 1t—xn2t一t一x=k■ 1t一xn2(3)at+b一cxt一dxat+cx2一ext一axn 1 1n 1at+ex2一ext一axn 2 2n 2t一x=k■ 1t一xn2（a一ex）（t一x）n 1（a一ex）（t一x）n 2n2a一exdk= 1a一ex2・•・数列｛｝是公比为ex(易证a一ex0)的等比数列.exexa一exn-1exdt1一ex2a一exa一exa一ex例：已知数列｛a｝中,=3,4a求｛a｝的通项。n+1解：因为｛a｝的特征函数为:f（x）x+1由f（x）=xdx2一3x+2=0+1=1,x=2n+1一1一2一1一24a+1一2一1一1一2一2+12an一4a一2n2 （a 一2）na一2n3a—1 3a—1k=—即 n+1——,■n,2a一22a一23a一3一1（a一1）一13aak-kd"n"n"n"nn+1nd・•・数列!二1!是公比为-的等比数列.-2j-一1一2*.*a=3,1一1da6•形如a=pa+qa(其中卩宀为常数)型TOC\o"1-5"\h\zn+1 n n-1(1)当p+q=1时用转化法例1•数列｛a｝中，若a=&a=2,且满足a—4a+3a=0，求a・n 1 2 n+2 n+1 n n解：把a—4a+3a=0变形为a—a=3(a—a)•n+2 n+1 n n+2n+1 n+1 n则数列la—a｝是以a—a=—6为首项，3为公比的等比数列，贝I」n+1n 21a—a=—6-3«-1 利用类型6的方法可得a=11-3«•n+1n n(2)当p2+4q>0时用待定系数法.例2.已知数列{a}n满足例2.已知数列{a}n满足an+2—5a+6an+1 n=0，且a=1,a=5,且满足,求a•1 2 n解：令a —xa=y(a—xa),即an+2 n+1 n+1 n n+2—(x+y)a +xyan+1 n=0,与已知则数列｛则数列｛a —2a｝是以an+1 n 2—2a1x+y=5x=2x=3a —5a +6a=0比较，则有,故或n+2 n+1 nxy=6y=3y=2x=2下面我们取其中一组来运算，即有a—2a=3(a—2a),y=3n+2n+1 n+1 n=3为首项，3为公比的等比数列，故