江苏省常州市市北郊高级中学2022年高二数学理模拟试题含解析

江苏省常州市市北郊高级中学2022年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（）A．①② B．① C．③④ D．①②③④参考答案：A【考点】斜二测法画直观图．【分析】由斜二测画法规则直接判断即可．①正确；因为平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．【解答】解：由斜二测画法规则知：①正确；平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．故选A2.某小学庆“六一”晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目A必须排在前两位，节目B不能排在第一位，节目C必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（

）A．36种

B．42种

C.48种

D．54种参考答案：B3.不等式的解集是（

）A.R

B.

C.

D.参考答案：B4.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是

()

A．90°B．60°C．45°

D．30°参考答案：B略5.已知，且，则的值为（

）A．4

B．-2

C．-4或2

D．-2或4参考答案：C6.定义

，则等于

(

)A.-2

B.0

C.

3

D.5参考答案：C7.若曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标为

A．（－1，2）

B．（1，－3）

C．（1，0）

D．（1，5）参考答案：C略8.直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：D【考点】直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．直线x+y﹣1=0化为．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．9.过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）A． B． C．（2，+∞） D．（1，2）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为﹣=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1，a＞b＞0则直线AB方程为：x=c，其中c=因此，设A（c，y0），B（c，﹣y0），∴﹣=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆内部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＜0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍负）故选：C【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10.设双曲线的一条渐进线方程为2x﹣y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，列出方程求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐进线方程为2x﹣y=0，可得，解得a=2．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a，b是平面外的两条直线，给出下列四个命题：①若a∥b，a∥，则b∥；②若a∥b，b与相交，则a与也相交；③若a∥，b∥，则a∥b；④若a与b异面，a∥，则．则所有正确命题的序号是________．参考答案：①②12.从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为________(用数字作答)

参考答案：1813.若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于．参考答案：9【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|=x，由双曲线的定义及性质得|x﹣3|=6，由此能求出|PF2|．【解答】解：设|PF2|=x，∵双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，∴a=3，b=4．c=5，∴|x﹣3|=6，解得x=9或x=﹣3（舍）．∴|PF2|=9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．14.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为S2=．参考答案：0.4【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据表中所给的两组数据，先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．【解答】解：由题意知甲班的投中次数是6，7，7，8，7，这组数据的平均数是7，甲班投中次数的方差是，乙班的投中次数是6，7，6，7，9，这组数据的平均数是7，这组数据的方差是∴两组数据的方差中较小的一个为0.4，故答案为：0.415.若实数x，y满足，则的最小值是

．参考答案：2【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数z=的几何意义求出z的最小值．【解答】解：由不等式组表示的平面区域为，如图所示；目标函数z=的几何意义是平面区域内的点P（x，y）与点O（0，0）连线的直线斜率，由，解得A（1，2），此时z=有最小值为2．故答案为：2．16.如下图所示，是平面图形的直观图，则的面积是

参考答案：417.函数的值域为▲参考答案：[-4,3]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(1)若求的单调区间及的最小值;(2)若,求的单调区间;

(3)试比较与的大小.,并证明你的结论.参考答案：(1)0；(2)见解析；(3)见证明.【分析】（1）a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣lnx，将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间，进而可得f（x）的最小值；（2）将绝对值符号化去，分类讨论，再求导函数，即可确定函数的单调区间；（3）由（1）可知，lnx≤x﹣1，从而，令x＝n2，可得，再进行叠加，利用放缩法，即可证得结论成立．【详解】(1)当时,，在上是递增.当时,,.在上是递减.故时,的增区间为,减区间为,.(2)①若,当时,,,则在区间上是递增的;当时,,,则在区间上是递减的

②若,当时，，,则在上是递增的,在上是递减的;当时,,在区间(0,a)上是递减的,而在x=a处有意义;则在区间上是递增的,在区间(0,1)上是递减的

综上:当时,的递增区间是,递减区间是(0,a);当,的递增区间是,递减区间是(0,1)(3)由(1)可知,当a=1,x时,有即,则有+,故：+

.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，体现了转化的数学思想，其中，用放缩法证明不等式是解题的难点．19.已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为。求：（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆M上的点到直线的距离的最小值.参考答案：（1）

（6分）

（2）

（14分）20.某地区为调查新生婴儿健康状况，随机抽取6名8个月龄婴儿称量体重（单位：千克），称量结果分别为6，8，9，9，9.5，10.已知8个月龄婴儿体重超过7.2千克，不超过9.8千克为“标准体重”，否则为“不标准体重”.(1)根据样本估计总体思想，将频率视为概率，若从该地区全部8个月龄婴儿中任取3名进行称重，则至少有2名婴儿为“标准体重”的概率是多少？(2)从抽取的6名婴儿中，随机选取4名，设X表示抽到的“标准体重”人数，求X的分布列和数学期望.参考答案：(1)(2)见解析【分析】（1）计算出“标准体重”的频率，用频率代替概率，可知抽取名婴儿服从于二项分布，利用二项分布概率计算公式可求出至少有名婴儿为“标准体重”的概率；（2）由题意知服从于超几何分布，利用超几何分布求解出每个的取值所对应的概率，从而可求得分布列，利用数学期望计算公式求得期望.【详解】（1）抽取的名婴儿中“标准体重”的频率为故从该地区中任取名婴儿为“标准体重”的概率为：设“在该地区个月龄婴儿中任取名，至少名为‘标准体重’”为事件则：（2）由题意知，的可能取值为；；的分布列为：

【点睛】本题考查概率分布中的二项分布的概率求解、超几何分布的分布列和数学期望的求解问题，关键是能够确定随机变量服从的分布类型，从而确定所使用的公式，属于常规题型.21.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，，求椭圆的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】欲求椭圆方程，只需求出a，b的值即可，因为过点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，所以F1O=c，由AB∥OP，可得，△PF1O与△BOA相似，所以，就此可得到一个含a，b，c的等式，因为，，所以a+c=，又得到一个含a，b，c的等式，再根据椭圆中，a2=b2+c2，就可解出a，b，c，得到椭圆的标准方程．【解答】解：∵AB∥OP∴又∵PF1⊥x轴∴∴b=c由解得：∴椭圆方程为．22.（1）求证：．（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°．①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；②根据①的计算结果，将该同学的发现推广