人教A版-选择性必修一-空间向量与立体几何-2空间向量基本定理

《空间向量基本定理》导学案新课程标准.了解空间向新课程标准.了解空间向最基本定理及其意义.掌握空间向量的正交分解..了解空间向量基本定理及其正交分解的意义.(数学抽象).了解基底的意义.(直观想象).掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方•法.(数学运算).会用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题.(It观想象、数学运算)必备知识-自主学习.什么是空间向量基本定理？什么样的向量可以作为空间的基底？.什么是空间向量的正交分解？1.空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯二的有序实数组(x,y，z),使得p=xa+yb+zc.其中｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.【思考？】零向量能不能作为一个基向量？为什么？提示：不能．因为0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,k｝表示.(2)对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk,像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.【思考？】空间向量的正交分解式是唯一的吗？提示：基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示．所以如果选用不同的正交基底,同一向量的正交分解式也会不同．【基础小测】1.辨析记忆(对的打“J”，错的打“X”).(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．()(2)若｛a,b,。｝为空间一个基底，则｛—a,b,2c｝也可构成空间一个基底．()

⑶若向量a，b,则a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底.（）⑷若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面.（）提示：（l）X.只要三个向量不共面，它们就能作为空间向量的一组基底.（2），｛a,b,c｝为空间一个基底，就说明a,b,c不共面，所以一a,b,2c也不共面，故它们可以构成空间一个基底.（3）X.只要a,b,c不共面，即使a，b,a,b,c仍然可以构成空间的一个基底.作为空间向量的一个基底的条件是不共面，所以非零向量a,b,c既然不能构成空间的基底，那么a,b,c必定是共面的.2.在长方体2.在长方体ABCD-ABCD中,

iiii可以作为空间向量一个基底的是（,>,>,>AB,>,>,>AB,AC,ADC.DTT,iiiiiAB,AT,时D.MT,CCiii【解析】选C.在长方体ABCD-ABCD中，只有C中的三个向量DH,DTT,iiiiDP不共面，可以作为空间向量的一个基底.1.（教材二次开发：例题改编）在平行六面体ABCD-A^Cp中M是上底面对角线AC与BD的交点，若KK=a,AK=b,及五=c，则可表示为（）B.C.-1a-1b+c

乙C.-1a-1b+c

乙乙D.-2a+【解析】选D.由于B^=B^+BM=B^+1(BA+BC)=-1a+1b111222+c.关键能力•合作学习类型一空间向量基底的条件（数学抽象）题组训练、.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点，且向量a=OA+OB+OC，向量b=BA+OB-OC，则与a,b不能构成空间基底的向量是（）a.OAb.a.OAC.OCD.OA或说.设x=a+b,y=b+c,z=c+a且{a,b,c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c).其中可以作为空间一个基底的向量组有()A・1个B・2个C・3个D.4个.已知{\,外,“是空间的一个基底，且应=1+232—巳，0B=-31+e2+2e3,0C,则{应，/，近}填“能”或“不能”)作为空间的一个基底.【解析】L选C.因为能=|a-1b且a,b不共线，所以a,b,0C共面,所以琳与a,b不能构成一个空间基底..选C.如图所示，令a=Al,b=AA,,c=AD,i则x=AB；,y=AD；,z=AC,a+b+c=AC；.由于A,B,C,D四点不共面，可知向量x,y,z也不共面，同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面..设本=xOB+yOC,贝I]*+23一巳=x(—3e+e+2e)+y(e+e—e),即e+2e—e=(y-3x)e+(x+y)e+⑵-y)e3，y-3x=1,所以jx+y=2,此方程组无解.^2x—y=—1,即不存在实数x,y使得本=xOB+yOC,所以本,OB,OC不共面.所以{OA,OB,OC}能作为空间的一个基底.答案：能解避略空间向量构成基底的基本思路与判断方法.基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底..判断方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a=Xb+uc,运用空间向量基本定理，建立入，口的方程组，若有解，则共面，不能作为基底;若无解，则不共面，能作为基底.【补偿训练】若向量而,MB,MC的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线，则能使向量而，诵，血成为空间一个基底的关系是（。为空间中不同于M,A,B,C的一点）（）OM=10A+10B+10C333MA=MB+MCOM=0A+0B+0C-k——A-OA=20B-MC【解析】选C.对于选项A,由结论而=xOOA+yOOB+z（X（x+y+z=1）nM,A,B,C四点共面，即而,MB,MC共面；对于B,d选项，易知而,MB,MC共面，故只有选项C中而,MB,MC不共面.类型二用基底表示向量（直观想象）【典例】如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，设AA=a,AB=b,AD=1111ic,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点，试用@,b,c表示以下各向量：

⑴萍；⑵AN；i(3)MP+NC.i【思路导引】先利用分拆向量表示，再替换为指定向量.【解析】(I)因为p是c口的中点，所以萍=sx+sny+DT=a+AD+!DTT

i11i2ii=a+c+|乙=a+c+|乙屈=a+c+；b.⑵因为N是BC的中点，所以灯=个+融+BN-a+b+2BC=-a+b+5AD=—a+b+5c.乙乙⑶因为M是AA1的中点，所以语=BA+Ap=1An+Ap乙1—乙a+a+cT—乙a+a+cT=2a+b+c.又NC1=NC+CC1=|BC+AA1=2AD+AA1=2c+a,所以昨11+所以昨11+NCi=(2a+2b+c)+[a+

k1c)c.=2a+c.解邈略用基底表示向量的方法用已知向量表示未知向量，一定要结合图形进行求解.如果要表示的向量3,3,2222与已知向量起点相同，一般用加法，否则用减法.如果此向量与一个易求的向量共线，则用数乘.将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止.通常情况下尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底.■踪训练如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=a,AD=b,A淳=c,P是CA'的中点，M是CD'的中点，N是C，）的中点，点Q在CA'上且CQ：QA，=4：1,用a,b,c表示以下向量：BC⑴靠；(2)AM；⑶前;(4)AQ.【解析】(1)因为P是CA'的中点，所以点=2(AC+A淳)=1(AB+AD+AJT)=1(a+b+c).(2)因为M是CD7的中点，所以AM=2(AC+A笊)=2(AB+2AD+乙乙AA7)=2(a+2b+c).(3)因为N是C7D'的中点，所以访=2疟+AN)=2[(AB+AD+A淳)+(AD+A淳)]=—(AB+2AD+2AA7)=-a+b+c.

⑷因为CQ：QA，=4：L所以醺=AC+CQ=AC+|(AF-AC)=5位+5/=1馥+5前+5/1,1,4-—a+7b+-c.555类型三几何体中的平行、垂直与夹角（数学运算、逻辑推理）【角度1】证明平行【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB-3,AD-4,AA1-2,点M在棱BB1上，且8乂一2MBi，点S在DD1上，且SD1-2SD,点N,R分别为A1D1,BC的中点.求证：MN〃RS.【思路导引】先证向量心与欣共线，再说明不在同一直线上.【证明】设AB-a,AD-b,AA1-c,则值一MB+BA+AN=\c—a+'b,111132c.RS-RC+CD+DS-1b—a+c.2所以MN-rs，所以MN〃底.又RS与MN不是同一直线，所以MN〃RS.【角度2】证明垂直【典例】如图，在正方体ABCD-ApCp中，E,F,G分别是棱CC1,BC,CD的中点，求证：AG,平面DEF.i□Ci□Ci【思路导引】用数量积证明AG与平面DEF内的两条相交直线垂直.i【证明】设正方体的棱长为a,因为AG•济-(A^+AD+DG)•(前+CF)=.DC+AD-DC+DG•DC+.CF+AD-CF+DG-CFTOC\o"1-5"\h\zii=DG-DC+AD-CF=|a2-|a2=0,乙2所以AG^DF,同理可证AG^DE.又DFGDE=D,ii所以AG，平面DEF.i【角度3】求夹角【典例】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1,NBCA=90°,棱AA1=2.求cos〈BA；,CB；〉的值.【思路导引】按照夹角公式，需计算向量BA与CB；的模长和数量积.【解析】由已知得©|=|CB|=1,|CC；|=|AA；|=2,〈CA,CC〉=〈CB,CC〉=〈萌，CB〉=90°,11所以CA-CC=cB-CC=cA・CB=0.因为BA=CA-Cb=ca+CC-CB,CB=cB+CC,iiiii所以|BA；2=BA；2=(CA+CC-cB)2=CA2+CC2+CB2=12+22+12=6,|BA；|=^6,1cBiL=CB12=(宙+CC；)2=CB2+CC12=12+22=5,,BA•BA=(CA+CC-CB)・(CB+CC)=CC2-cB2=22-12=

10BXeCB^310所以COS〈叫，叫〉——所以COS〈叫，叫〉IBXIJCB^Ig市解题差略.证明平行的方法证明直线的方向向量共线，并说明不在同一条直线上，即可说明线线平行..证明垂直的方法由数量积的性质a，b=a・b=0(a,bW0)可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可..求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；a・a・b⑵先求…,再利用公式小〈a,b〉=L求cos〈a,b〉，最后确定〈a,b〉.题组训练、.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，.11【解析】不妨设棱长为2,则AB1=吗"BA,葡=BC+1吗，|AB1|=242，画|=\后,所以cos〈AB1，丽〉（BB1-BA）［BC+2BB所以cos〈AB1，丽〉2J2义J30—2+2—02<2X0—2+2—02<2Xx.'5=0,1111所以〈AB，丽〉=90°.答案：90°.如图，在正方体ABCI>ABCR中，。为AC与BD的交点，G为C1的中点.求证：A0，平面GBD.1TOC\o"1-5"\h\z【证明】设AB=a,AD=b,AA=c，贝ija^b=0,a^c=0,b^ciiiii=0.而AO=AA+AO=AA+：(AB+AD)=c+〈(a+b),BD=AD一ii122AB=b—a,0G=OC+CG=2(AB+AD)+2£=2(a+b)—|c,一，11\•(b—a)=c・(b—a)+•(b—a)=c・(b—a)+(a+b)・(b—a)iI22)=c・b-c・a+：(b2—a2)=|(|b|2—|a|2)=0.22所以ATO，前，所以AO^BD.11同理可证ATO±OG，所以AO^OG.11又OGGBD=O且A10a平面BDG,所以AO,平面GBD.1课堂检测•素养达标.设p：a,b,c是三个非零向量；q：{a,，。}为空间的一个基底，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件。充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当三个非零向量a,b,c共面时不能作为基底，正推不成立;反过来，若｛a,b,c｝是一个基底，必有a,b,c都是非零向量，逆推成立，故选项B符合题意..在正方体ABCD-A，B，C，»中，0,"分别是AC,AB，,AD，的中点，以油「AO2,A03｝为基底，旧=xA0]+y而2+zA03，则x,y,z的值是（）x-y—z—11x-y—z—11x=y=z=-C.出x=y=z=C.出x=y=z=方D.x=y=z=2【解析】选A.A^=aF+AD+AB=1(AB+AD)+2(aA=1(AB+AD)+2(aA+ad)+1(aAA+ab)2=1AC+1aA+1aA=AO1+AO3+AOT,由空间向量的基本定理得x=y=z=1..（教材二次开发：练习改编）已知｛a,，。｝是空间的一个基底，下列向量可以与p=2a—b,q=a+b构成空间的另一个基底的是.（填序号）.2a,②—b,③c,④a+c.【解析】向量p与q都是用a和b表示的，所以只含a和b的向量式必定与p,q共面，要构成空间的另一个基底，必须含有向量c.答案：③④.如图，在正方体ABCD-ARCR中，用次，入耳，码