人教A版2021学年高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程综合拔高练习题含答案解析

223C."D.三人教A版2021学年高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程综合拔

高练习题含答案解析姓名：班级：学号：题号四五六总分评分一、选择题（共12题）工--二11、双曲线三■一的焦点坐标是（）「匚，匚B.一二，二二C""D：-二「二2、已知方程「「一.•3月：一-二表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是A.（-1,3）B.（-1,占）C.（0,3）D.（0,6□QV_3、已知F是双曲线C：'一三二一的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1,3）,则一二三二的面积为A.TB.三

4、渐近线方程为二二：二：•的双曲线的离心率是（）也TOC\o"1-5"\h\zA.二B.1C.址D.25、双曲线c：工一亍=1的右焦点为f,点p在c的一条渐近线上,o为坐标原点，若1mH尸产,则APFO的面积为3-723④A.-B.-C.二WD.苴*V2Q■____]6、设与，产:是双曲线,/白二人力）的左、右焦点，是坐标原点.过片作e的一条渐近线的垂线，垂足为-二.若W1二指上引，则r的离心率为A,右B.出C.二D.A,右B.出C.二D.尤7、设F为双曲线C：（a>0,b>0）的右焦点，。为坐标原点，以OF为直径的圆与圆X2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为C.2——一丁=18、已知双曲线C：3',O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若—OMN为直角三角形，则|MN|=A.三B.3C.卓D.4

r——=1g>0.i>0）9、已知双曲线；■的离心率为2,过右焦点且垂直于工轴的直线与双曲线交于二三两点.设二三到双曲线的同一条渐近线的距离分别为二1和：：，且一；=三则双曲线的方程为C.-二D.二-10、过点（2,—2）与双曲线X2—2y2=2有公共渐近线的双曲线方程为（）11、若m为实数，则是“曲线C：——下>表示双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12、=l（i7>O.S>O）12、的左、右焦点分别为，，、，若双曲线上存在一点-二，使一’"一"二且1三寸二Y引，则双曲线的离心率为（）、填空题（共8题）n2=1他>0)1、在平面直角坐标系》二二中，若双曲线丁经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.W—±=lv=-x2、双曲线小9(a>0)的一条渐近线方程为"5，则a=一，，，八，——9=1(a。4匕:。)，，，.」,,，一一3、已知双曲线。：江，的右顶点为K,以，为圆心，匕为半径作圆K，圆，与双曲线。的一条渐近线于交K、*两点,若〃<V=6O"则。的离心率为.y―—=1(。:〔力:>0〕4、已知双曲线C：T'的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若瓦Tn，45,可乳以5=0,则C的离心率为——=1|£?>0.&>0)5、双曲线二二是等轴双曲线，点.二为其右支上一动点，若点.二到直线工一十1=0的距离大于加恒成立，则实数班的最大值为.U'——^―=16、已知F为双曲线〜/一的左焦点，P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点小戊司0)在线段pq上，则△尸。F的周长为.一—J=l(a>b>0)7、已知双曲线C：a-f右支上非顶点的一点A关于原点。的对称点为B,F「71Jl]0E—为其右焦点，若AF—FB,设/ABF=B,且1124人则双曲线C离心率的取值范围是£"1厂/L广十一二1《口》启》0)——二18、已知椭圆二---,双曲线L---.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.

三、解答题（共2题）□2灯h二一乜>0）1、已知，，、分别是双曲线e：二:一的左、右焦点，P是双曲线上一点，月到左顶点的距离等于它到渐近线距离的21、-求双曲线的渐近线方程；;当一F三二二6一时，—三二二的面积为一J7,求此双曲线的方程.2、双曲线：二厂一二一二：二；：‘二”的虚轴长为1,两条渐近线方程为：二W.（1）求双曲线「二的方程;（2）双曲线C上有两个点D、£,直线。D和OE的斜率之积为1,判别无：亦：是否为定值，；P（i._0）it>（3）经过点V口/的直线随且与双曲线。有两个交点，直线班的倾斜角是eeAl£M①&_修,1亍了3J,是否存在直线‘二：工=-『（其中七";）使得心伊川恒成立？（其中二;」.分别是点二到二的距离）若存在，求出：的值，若不存在，请说明理由.============参考答案============一、选择题B【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据二=;-「求焦点坐标.【详解】W-i二-1因为双曲线方程为了一—二，所以焦点坐标可设为二二，因为广二一一V二”：」一二二二，所以焦点坐标为二：选B.【点睛】由双曲线方程『一声j®可得焦点坐标为〔土G°）a=k^），顶点坐标为（坛=°）,V=±—x渐近线方程为.二.A【解析】由题意知：双曲线的焦点在工轴上，所以疝+打+3毋-桂=4,解得“=1，因为方程K：I二1-Ftt>0M>—1帝一二一表示双曲线，所以""0,解得"3,所以M的取值范围是一L3］，故选A．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.D【解析】寸—二_=]r由厂二口，十斤=4得匚=2,所以m。〕，将工=2代入3,得尸±3,所以?F=」，13-x3x（2-l）=-又点A的坐标是（1,3）,故4APF的面积为二二，选D.点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题.由双曲线方程得三二二，结合PF与x轴垂直，可得三二二三，最后由点A的坐标是（1,3）,计算4APF的面积.C【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得二二：’,进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x±y=0的双曲线，可得□=&,所以c=W口=£二&则该双曲线的离心率为e口,故选C.【点睛】理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.A【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法,利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【详解】由.二二二，：=&.•：=<—・=F.I1,—,工又P在C的一条渐近线上，不妨设为在一二上，【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．B【详解】分析：由双曲线性质得到归闻=匕，"。=且然后在和在即山军月中利用余弦定理可得．详解：由题可知上打二；上引二二|PO|=a8山耳口=里=9在R30F：中，\OF2\c在△三二中「I/」」,「lb-2cc：,e=百故选B.

点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．A【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设国与轴交于点:，由对称性可知四一」轴，又*"二，」‘一丁一为以小为直径的圆的半径，.，为圆心，又三点在圆广一：二二:上，十-G"-Q_--，即二【点睛】

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到或0X，根据根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为6炉或120、根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得二二，利用两点间距离公士正式求得的值.士正详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为一§，且右焦点为b(28〕，从而得到=所以直线也因的倾斜角为网;或120：根据双曲线的对称性，设其倾斜角为"：，可以得出直线「的方程为：=正：一二，忑忑y-xv=———工分别与两条渐近线.3和一3联立，所以/9+（志+亭所以/9+（志+亭J3故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题在解题的过程中需要先确定哪两个点之间的距离再分析点是怎么来的从而得到是直线的交点这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线山：的斜率，结合过右焦1010、D点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.A【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为百仁°〕（c>0），则/"马二J不妨设：,、口，Il，双曲线的一条渐近线方程为处一编5匚一犷bc—b1.be+b^ba+b2据此可得：,「一：「二，V;据此可得：i=3则双曲线的方程为3据此可得：i=3则双曲线的方程为3丁本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为鸟一5二尤（上士0）I-二.■，再由条件求出入的值即可.【解析】【分析】先设出所求双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得口和方的关系，然后把点「工一4代入双曲线方程求得一进而求得，则双曲线的方程可得.【详解】依题意可知所求双曲线的焦点在二轴，设出双曲线的方程为:v=士在工,「丘0=5根据已知曲线方程可知其渐近线方程为一二?二把点---代入得二-中'中求得；=二，二二存・・・双曲线的方程为：二-,故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程与渐近线方程的关系，考查基本的运算能力．A【分析】根据方程表示双曲线求出，：的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】———―--=1解：若方程旭:二；表示双曲线，则・：：.，得，…:一；：二

由J二可以得到；■二二-I,故充分性成立;由，二推不出J:•:，故必要性不成立;,一则"」:「;〈二"是“方程一,一则"」:「;〈二"是“方程一=1--表示双曲线”的充分不必要条件，故选：二.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出班的取值范围是解决本题的关键．C【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合归周二二归国，得到忸国和归产」，然后根据勾股定理，得到凡匚的关系，从而得到双曲线的离心率.【详解】因为点F因为点F在双曲线关一苏"上，且向二Y引,所以时」一尸」二二,所以四臂，一，1/尸左耳=-因为一一二，所以

21*3c=a整理得二，s—所以离心率故选：C.【点睛】本题考查双曲线的定义，根据几何关系求双曲线的离心率，属于简单题.二、填空题1、1、y=士收工【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得'I,解得：'=&或：=，因为：「:■，所以:、=£.因为-；=:，所以双曲线的渐近线方程为：二二【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的二；密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.

2、5【分析】先根据双曲线方程求渐近线方程，再根据已知条件列式求解.【详解】1二±31U,,由双曲线的标准方程可得渐近线方程为‘以，结合题意可得口5口=5.故答案为：5【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3、丁【解析】如图所示，由题意可得由题意可得|OA|二a,|AN|=|AM|=b,VZMAN=60°,・・・1op|・・・1op|—i口一：r设双曲线C的一条渐近线y二口x的倾斜角为0,则tan。=V4又tan0二，，a-—K解得a-—K解得a2=3b2•«e答案：丁点睛：求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲_C线基本量❷工。的方程或不等式，再根据日二二二一然和0一；转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．4、2.【分析】通过向量关系得到三,二一二三和'。'-三、得到一「。三二一式:厂，结合双曲线的渐近线可得二二一二」,二；从而由二二⑶」:二可可求离心率.【详解】如图，

由左月二,现得不T二皿又。月由左月二,现得不T二皿又。月二。5；得0A是三角形片的中位线，即二二-由二二二,得F三—不事二—;二则d二内有一二片_一hf又0A与OB都是渐近线，得—三。三二一二'。三又一江：二一一式：£—-；。厂二一，得一1一1二二二一玄：五二一三，。，，二：..又渐近线ob的斜率为二二⑶二正，所以该双曲线的离【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．5、【分析】由等轴双曲线得出双曲线的渐近线，直线」」：一二二；与和它平行的渐近线的距离就是所求的最大值．【详解】双曲线是等轴双曲线，则其渐近线为岁=二，直线耳—y+i=0与直线二工的距离为，，所三一二=1（4」00％。）「门—以等轴双曲线工厅,一右支上点尸到直线,—>+1=°的距离大于2,即出的最大值为三.走故答案为：二.【点睛】本题考查等轴双曲线的定义，考查双曲线的几何性质．属于基础题．6、32【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值二二“解决．求出周长即可．【详解】CW上=1解：根据题意，双曲线,4厂的左焦点广（一年,°），所以点也相◎是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：

所-三―①所-三―①丫一£二二二二一②而二…，①+②得：三—一,=\・・・周长为不一一吨二S”.三二三故答案为32．【点睛】.+尤.+尤7、【解析】【分析】设双曲线的左焦点为:，连接工，'''',■,上F—F三，可得四边形匚；：为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围．【详解】解：设双曲线的左焦点为‘，连接,,上F—Fm,可得四边形匚为矩形，设闺二m，阳=口，即有_W|=|ge且m--口-二一1，瓜ni二二日tang=—c4c*irT+n11a，4且=m——+na2mn〔_2m:+n3m+d_dmtan0+tan&由H2工可得t=5平-&)t+-E(2.4-lt+-则।，可得1即有三匕：故答案为：匕；【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．8、2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中:一…关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为一右二，再根据椭圆定义得一看二二二一解得椭圆忖的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为一右二，再根据椭圆定义得v=±一x双曲线N的渐近线方程为.「，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为71/7皿c口加，+涮,+手?（」—）.--二tarT—=j.二e"—二.———；=e=2.3m3,mm

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于二二二的方程或不等式，再根据口力5的关系消掉方得到口"的关系式，而建立关于小包匚的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题【解析】试题分析：（1）由三到左顶点的距离等于它到渐近线距离的二倍，根据点到直线距离公式可得S，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得户」P三卜一二再根据二三二二的面积为一出，可得sin8T=吏-4M口-，得:-二一，从而可得结果.|Zjc±O|试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为陵±4'=。，则点产:到渐近线距离为必时,r,上（其中C是双曲线的半焦距），所以由题意知C+&