湖南省邵阳市板桥学校2021年高二数学理上学期期末试题含解析

湖南省邵阳市板桥学校2021年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过椭圆内的一点P（2，﹣1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是(

)A．5x﹣3y﹣13=0 B．5x+3y﹣13=0 C．5x﹣3y+13=0 D．5x+3y+13=0参考答案：A考点：椭圆的简单性质；中点坐标公式．专题：计算题．分析：设过点P的弦与椭圆交于A1，A2两点，并设出他们的坐标，代入椭圆方程联立，两式相减，根据中点P的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线A1A2的斜率，根据点斜式求得直线的方程．解答：解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则，且x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，∴kA1A2==．∴弦所在直线方程为y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．故选A．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系．涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化2.我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。现有一正三棱锥放置在平面上，已知它的底面边长为2，高为，在平面上，现让它绕转动，并使它在某一时刻在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（

）A．

B．

C．.

D．参考答案：【知识点】三垂线定理.【答案解析】C解析：解：图(1)

图(2)

图(3)如图（1）当绕BC旋转至P点在底面的射影正好在BC中点D时,假如正三棱锥在平面上的射影正好是等腰直角,连接DA.,设P点在底面ABC上的射影点为H,其在DA上，连接PH，PH=h为正三棱锥的高，其中=1，,,,，而当时满足题意，PH值再大就会使锥在底面的射影是四边形了.当继续旋转至如图（2）时，假如正好是三棱锥在底面的射影是等腰直角三角形且面垂直于底面，设点P在面的射影点为,取BC的中点为E，连接AE..,设P点在底面中的射影为O,连接PO,设PO=h，在中，，=所以，如果PO值再大，三棱锥在面内的射影就又是四边形了，再小可继续旋转直到侧面PBC为等腰直角三角形时就成了图（3）状态，也合题意，此时如图E为BC中点，O仍为P在底面三角形ABC射影，连接AE.PE.PO,,PE=1,则，所以综上，的取值范围是.

故选：C．【思路点拨】由题意可知变化过程中，图形为三种情况，依次考虑即可.3.一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先求球半径，再求球体积.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题.4.下列函数中与为同一函数的是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C略5.双曲线的离心率是2，则的最小值为（）A、1

B、2

C、

D、参考答案：C6.椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点依次为，则的最大值为

（

）

不能确定参考答案：．解析：.（时取等号）7.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A．

B．

C．

D．参考答案：D8.某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是

()．A．高一的中位数大，高二的平均数大B．高一的平均数大，高二的中位数大C．高一的中位数、平均数都大D．高二的中位数、平均数都大

参考答案：A

高一的中位数为93，平均数为91；高二的中位数为89，平均数为92.4.9.三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（

）． A．与是异面直线 B．平面 C．，为异面直线，且 D．平面参考答案：C选项中，和共面于，故项错误；选项中，与成角，所以不可能直面于平面，故项错误；选项中，∵是正三角形，是中点，∴，又∵，∴，故正确；选项中，，与平面相交，所以与平面相交，故错误．综上，故选．10.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（

）A.它们的焦距相等 B.它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同 D.它们的离心率相等参考答案：D由题知．则两双曲线的焦距相等且，焦点都在圆的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为，由于实轴长度不同故离心率不同．故本题答案选，二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆B:x2＋y2＋b＝0与圆C:x2＋y2－6x＋8y＋16＝0没有公共点，则b的取值范围是________________．参考答案：－4＜b＜0或b＜－64略12.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a、b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a、b∈C，则a－b＝0?a＝b”；②“若a、b、c、d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出；“若a、b、c、d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；③“若a、b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a、b∈C，则a－b>0?a>b”；④“若x∈R，则|x|<1?－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1?－1<z<1”．其中类比结论正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．参考答案：①②13.一组数据2，x，4，5，10的平均值是5，则此组数据的标准差是．参考答案：【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】由一组数据2，x，4，5，10的平均值是5，求出x=4，由此能求出此组数据的标准差．【解答】解：∵一组数据2，x，4，5，10的平均值是5，∴（2+x+4+5+10）=5，解得x=4，∴S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（10﹣5）2]=，此组数据的标准差S==．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差的定义的合理运用．14.若平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），则l与α所成角的正弦值为．参考答案：【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】设l与α所成角为θ，由sinθ=|cos＜＞|，能求出l与α所成角的正弦值．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（4，1，1），直线l的一个方向向量为=（﹣2，﹣3，3），设l与α所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．∴l与α所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15.命题“x∈R，x≤1或x2＞4”的否定是

．参考答案：?x∈R，x＞1且x2≤4【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】存在性命题”的否定一定是“全称命题”．?的否定为?，x≤1或x2＞4的否定为x＞1且x2≤4【解答】解：析已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题、答案?x∈R，x＞1且x2≤4【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题16.下列几个命题：①方程的有一个正实根，一个负实根，则．②函数是偶函数，但不是奇函数．③函数的值域是，则函数的值域为．④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1．其中正确的有_________________

参考答案：17.已知,：（）,若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．参考答案：【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．19.已知函数f（x）=2ax3+bx2﹣6x在x=±1处取得极值（1）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）试求函数f（x）在x=﹣2处的切线方程；（3）试求函数f（x）在区间[﹣3，2]上的最值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）f'（x）=6ax2+2bx﹣6，在x=1处取得极值，则f′（1）=6a+2b﹣6=0；在x=﹣1处取得极值，则f′（﹣1）=6a﹣2b﹣6=0；解得a=1；b=0；所以f（x）=2x3﹣6x；由此能导出f（1）是极小值；f（﹣1）是极大值．（2）f′（﹣2）=6×22﹣6=18；在x=﹣2处的切线斜率为18．由此能求出切线方程．（3）f（x）=2x3﹣6x；，f′（x）=6x2﹣6；使f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1，由此能求出函数f（x）在区间[﹣3，2]上的最值．【解答】解：（1）f'（x）=6ax2+2bx﹣6，在x=1处取得极值，则f′（1）=6a+2b﹣6=0；在x=﹣1处取得极值，则f′（﹣1）=6a﹣2b﹣6=0；解得a=1；b=0；∴f（x）=2x3﹣6x；f′（x）=6x2﹣6，由f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1．列表：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴f（1）是极小值；f（﹣1）是极大值．（2）f′（﹣2）=6×22﹣6=18；在x=﹣2处的切线斜率为18；而f（﹣2）=2x3﹣6x=﹣4；∴切线方程y=18x+32；（3）f（x）=2x3﹣6x；f′（x）=6x2﹣6；使f′（x）=6x2﹣6=0，得x=±1，已经知道了f（1）=﹣4是极小值，f（﹣1）=4是极大值，下面考察区间端点：f（2）=2x3﹣6x=4；f（﹣3）=2x3﹣6x=﹣36∴最大值是f（﹣1）=f（2）=4；最小值是f（﹣3）=﹣36．20.设函数

的定义域为A，若命题与有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．参考答案：解：，……………1分若为真，则，即；……………3分若为真，则，即；……………5分若真假，则所以无解；……………8分ks5u若假真，则，所以或．……………11分综上，……………12分21.本公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？参考答案：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得

目标函数为．…………………3分

二元一次不等式组等价于

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．

如图：

………………6分

作直线，

即．

平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．

联立解得．

点的坐标为．

…………10分答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台