山东省德州市洛北中学高三数学理上学期期末试题含解析

山东省德州市洛北中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f(x)＝(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于()

参考答案：C2.已知复数，，则等于

(

)A.8

B.

C.

D.参考答案：C3.已知函数，若实数使得有实根，则的最小值为（

）(A)

（B）

（C）1

（D）2参考答案：A4.已知f(x)＝1＋2x－x2，那么g(x)＝f[f(x)](

)

A.在区间(－2，1)上单调递增

B.在(0，2)上单调递增

C.在(－1，1)上单调递增

D.在(1，2)上单调递增参考答案：答案:D5.已知O、A、B、C是不共线的四点，若存在一组正实数，，，使＋＋=，则三个角∠AOB，∠BOC，∠COA

A.都是锐角

B.至多有两个钝角

C.恰有两个钝角

D.至少有两个钝角。参考答案：D6.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（

）A.2 B. C. D.4参考答案：C【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥P﹣ABCD截去三棱锥P﹣ABD后得到的三棱锥P﹣BCD．其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝2．即可得出结果．【详解】解：如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥P﹣ABCD截去三棱锥P﹣ABD后得到的三棱锥P﹣BCD．其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝2，最大面为PBD，，故选：C【点睛】本题考查了三视图、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知集合，，则A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知函数，若，则函数的零点个数是()(A)．4

(B)．3

(C)．2

(D)．1参考答案：A略9.函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：10.有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起，外文书也排在一起的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：[]【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将等式af（x）+g（2x）=0，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，通过变形可得a=t+，讨论出右边在x∈的最大值，可以得出实数a的取值范围．【解答】解：解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），又∵由f（x）+g（x）=2﹣x，结合f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x）=2x，∴f（x）=﹣（2x﹣2﹣x），g（x）=（2x+2﹣x）．等式af（x）+g（2x）=0，化简为﹣（2x﹣2﹣x）+（22x+2﹣2x）=0．∵x∈，∴≤2x﹣2﹣x≤，令t=2x﹣2﹣x，则t＞0，因此将上面等式整理，得：a=t+，函数h（t）=t+在[]递增，≤t+≤，则实数a的取值范围是[]，故答案为：[]．12.关于函数（1）是f(x)的极小值点；（2）函数有且只有1个零点；（3）恒成立；（4）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则．上述说法正确的序号为_______．参考答案：（1）（2）（4）【分析】利用导数研究函数的极值点、单调性以及零点，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】（1）因为，故可得，令，解得，故可得在区间单调递减，在单调递增，故是的极小值点；故（1）正确；（2）令，故可得在恒成立，故在单调递减；又当时，，当时，，故可得在区间上只有一个零点；故（2）正确；（3）令，故可得在恒成立，故可得在定义域上单调递减；又当，故区间不恒成立，即在区间上不恒成立；故（3）错误.（4）由题可知，故可得，则，令，解得，故可得在区间单调递减，在区间单调递增.故，故在单调递增.要满足题意，只需，等价于在上至少有两个不同的正根，也等价于与直线在区间至少有两个交点.又，故可得，令，故可得在区间恒成立，故可得在上单调递增，又，故可得区间上单调递减，在区间上单调递增.则要满足题意，只需，又因为，则.故（4）正确.综上所述，正确的有：（1）（2）（4）.故答案为：（1）（2）（4）.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点和零点、方程的根、参数的范围，属压轴题.13.已知的三边长分别为，其面积为S，则的内切圆的半径．这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”．请用类比推理方法猜测对空间四面体ABCD存在类似结论为

．参考答案：四面体ABCD的各表面面积分别为，其体积为V，则四面体ABCD的内切球半径．14.已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________.参考答案：略15.若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为

.

参考答案：先做出不等式对应的区域如图。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以三角形ABC为不等式组对应的平面区域，三角形的高为1，所以，所以，当时，,所以，解得。16.或是的________________条件.参考答案：略17.设集合,，则等于

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4 —1：几何证明选讲如图:AB是的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作的切线，切点为H.求证：（I）C,D,E,F四点共圆；(II)若GH=6，GE=4,求EF的长.参考答案：证明：⑴连接，是⊙的直径，，，又，，四点共圆．――――5分⑵又因为，所以．

―――10分19.已知数列{an}满足a1=10，an﹣10≤an+1≤an+10（n∈N*）．（1）若{an}是等差数列，Sn=a1+a2+…+an，且Sn﹣10≤Sn+1≤Sn+10（n∈N*），求公差d的取值集合；（2）若a1，a2，…，ak成的比数列，公比q是大于1的整数，且a1+a2+…+ak＞2017，求正整数k的最小值；（3）若a1，a2，…，ak成等差数列，且a1，a2，…，ak=100，求正整数k的最小值及k取最小值时公差d的值．参考答案：【考点】等差数列的性质．【分析】（1）先化简已知的式子可得﹣10≤an+1≤10，由等差数列的通项公式化简后求出d的范围，由恒成立求出公差d的取值集合；（2）由an+1≤an+10且a1=10得，a2=10q≤20，求出q的范围，结合条件求出q的值，由等比数列的前n项和公式化简“a1+a2+…+ak＞2017”，求出k的范围，可得正整数k的最小值；（3）由条件和等差数列的前n项和公式化简“a1+a2+…+ak=100”，求出d的表达式，由“an﹣10≤an+1≤an+10”和等差数列的定义列出不等式，由一元二次不等式的解法求出k的范围，可得到答案．【解答】解：（1）由Sn﹣10≤Sn+1≤Sn+10得，﹣10≤an+1≤10，又a1=10，∴﹣10≤10+nd≤10，即对任意的n∈N*恒成立，∴d=0，即公差d的取值集合是{0}；（2）∵an+1≤an+10，且a1=10，∴a2=10q≤20，则q≤2，∵公比q是大于1的整数，∴q=2，∴a1+a2+…+ak==10（2k﹣1）≥2017，化简得，2k≥202.7，解得k≥8，即正整数k的最小值是8；（3）由条件得，a1+a2+…+ak=10k+=100，解得d=，∵an﹣10≤an+1≤an+10，∴﹣10≤an+1﹣an≤10，∴﹣10≤≤10，化简得，﹣k2+k≤20﹣2k≤k2﹣k，解得k≥4，即k的最小值是4，此时d=10．20.（本题满分14分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC.（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC．又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC，∴PA∥平面QBC．（Ⅱ）∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD．∴四边形PADQ是矩形．设PA=AB=AC=2a，则PQ=AD=a，PD=a．又∵BC⊥PA，BC⊥PQ，∴BC⊥平面PADQ，从而平面PBC⊥平面PADQ，过Q作QH⊥PD于点H，则QH⊥平面PBC．∴∠QCH是CQ与平面PBC所成的角．在Rt△PQD中，PQ?QD=PD?QH，则QH==，CQ=BQ=a．∴sin∠QCH==．∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为．21.设函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．参考答案：解：（1）∵f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣1﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1．∴T==π．（2）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可解得f（x）的单调递减区间考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由二倍角公式化简可得解析式f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由三角函数的周期性及其求法即可求值．（2）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可解得：x∈（k∈Z）解答： 解：（1）∵f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣1﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1．∴T==π．（2）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可解得f（x）的单调递减区间．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象与性质，属于基础题22.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1)求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2)设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)参考答案：【知识点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．K5K6(1)(2)见解析解析：(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为P1、P2,则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是(1-)·(1-P2)=,2分解得P2=,3分乙、丙两人同时能被聘用的概率为P1·P2=∴P1=,