初中数学培优竞赛的讲座第18讲-乘法公式

第十八讲乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题例1 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000则这两个连续奇数可以是 (江苏省竞赛题)(2)已知(2000—a)(1998一a)=1999那么(2000一a)2+(1998—a)2= (重庆市竞赛题)思路点拨⑴建立两个连续奇数的方程组(2)视(2000一a)(1998一a)为整体由平方和想到完全平方公式及其变形注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：a2,b2-(a€b)2€2ab仍-(a+b)2—(a2+b2)_(a2+b2)_(a_b)2——2—2(a,b)2,(a一b)2_2a2,2b2(a,b)2一(a一b)2_4ab4ab_(a+b)2一(a一b)2 a2,b2,c2_(a,b,c)2-2(ab,be,ac)4例2 若x是不为0的有理数 已矢口M_(x2,2x,1)(x2 _ 2x,1) N_ (x2 ,x,1)(x2_x,1)则

M与N的大小是A．M>NM与N的大小是A．M>NB．M<NC．M=ND无法确定思路点拨运用乘法公式在化简MN的基础上作差比较它们的大小例3计算（1）6（7十1）（72十1）（74十1）（78十1）+1； （天津市竞赛题）（2）1.3450.3452.691.3452—1>3450.3452 （江苏省竞赛题）思路点拨若按部就班计算显然较繁能否用乘法公式简化计算关键是对待求式恰当变形使之符合乘法公式的结构特征，对于（2），由于数字之间有联系，可用字母表示数（称为换元），将数值计算转化为式的计算更能反映问题的本质特征例4 （1）已知xy满足X2十y2十52x十y求代数式上I的值 （希望杯邀请赛试题）4x€y（2）整数Xy满足不等式x2€y2€1<2x€2y求x+y的值 （第14届希望杯邀请赛试题）（3） 同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整甲商场第一次提价的百分率为a第二次提价的百分率为b乙商场两次提价的百分率都是a2b（a>0b>o）丙商场第一次提价的百分率为b第二次提价的百分率为a则哪个商场提价最多?说明理由 （河北省竞赛题）思路点拔对于（1）（2）两个未知数一个等式或不等式须运用特殊方法与手段方能求出xy的值由平方和想到完全平方公式及其逆用解题的关键是拆项与重组；对于（3）把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示作差比较它们的大小注 有些问题常常不能直接使用公式而需要创造条件使之符合乘法公式的特点才能使用公式常见的方法是分组结合拆添项字母化等完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论 （1）a2土2ab€b2„（a土b）2,°揭示式子的非负性利用非负数及其性质解题 （2）a2€b2,2ab应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：（1）由繁到简，从一边推向另一边；（2）相向而行，寻找代换的等量．

例5已知abc均为正整数且满足a2+b2=c2又a为质数证明（1）b与c两数必为一奇一偶（2）2（a+b+1）是完全平方数思路点拨从a2+b2€c2的变形入手a2€c2-b2运用质数奇偶数性质证明学力训练1．观察下列各式：（X—1）（X+1）X2一l（X一1）（X2+X+1）=X3一1（X一1）（X3十X2+X+1）=X4一1根据前面的规律可得（X—1）（Xn+Xn-1++X+1）= （武汉市中考题）2已知a2+b2+4a—2b+5=0则a+b= （杭州市中考题）a，b 3．计算：⑴1.23452+0.76552+2.4690.7655（2） 19492—19502+19512一19522++19972一19982+19992=（3） 199919982199919972+199919992-2 4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于ab的恒等式 （大原市中考题）已知a+-€5则a4+力+1= （荷泽市中考题）TOC\o"1-5"\h\za a2已矢口a—b=3,b+c=—5则代数式ac—be+a2—ab的值为（ ）A—15B一2C一6D6 （扬州市中考题）乘积（1一亍）（1,—）…（1一 ）（1一 ）等于（ ）22 32 19992 200022001 1999 2001A B C D （重庆市竞赛题）2000 4000 4000若x-y€2,x2+y2=4则x2002+y2002的值是（ ）A．4 B．20022 C．22002 D．420029若x2，13x+1€0则x4+丄的个位数字是（）x4

A．1 B．3C．5 D．710如图 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）通过计算两个图形（阴影部分）的面积验证了一个等式则这个等式是（）A a2一b2，（a+b）（a-b） B （a+b）2，a2+2ab+b2C （a一b）2，a2一2ab+b2 D （a+2b）（a一b），a2+ab一2b2 （陕西省中考题）11（1）设X+2Z3Z判断X2一9y2+4Z2+4xZ的值是不是定值?如果是定值求出它的值否则请说明理由（2）已知X2一2x=2将下式先化简再求值（x1）2+（x+3）（x一3）+（x一3）（x一1）（上海市中考题）12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然13观察1•2-3-4+1，52-3•4•5+1，112•4•5•6+1，192（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明(黄冈市竞赛题)(2)根据⑴计算2000200120022003+1的结果((黄冈市竞赛题)14你能很快算出19952吗？为了解决这个问题我们考察个位上的数字为5的自然数的平方任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)即求(10n+5)2的值试分析n=1n=2n3这些简单情形从中探索其规律并归纳猜想出结论通过计算探索规律152225可写成1001(1+1)+25252=625可写成1002(2+1)+25352=1225可写成100 3(3+1)+25 452 2025可写成1004(4+1)+25 752 5625可写成 8527225可写成 从第⑴题的结果归纳猜想得(10n+5)2二 ⑶根据上面的归纳猜想请算出19952 (福建省三明市中者题)15已知x2+y2+z2一2x+4y一6z+14=0则x+y+z= (天津市选拔赛试题)(1)若x+y10X3+y3=100则X2+y2(2)若a-b=3则a3-b3-9ab123 98共98个自然数中能够表示成两整数的平方差的个数是 (初中数学联赛)已知a-b=4ab+C2+4=0则a+b=( )A4B0C2D—219方程X2-y2=1991共有( )组整数解 A6B7C8D920已知ab满足等式x€a2+b2+20,y=4(2b-a)则xy的大小关系是()AxyBxyCx<yDx>y (大原市竞赛题)

21已知a=1999x+2000b1999x+2001c1999x+2002则多项式a2+b2+C21已知a=1999x+2000b1999x+2001c1999x+2002则多项式a2+b2+C2一abbc-ac的值为220B．1 C．2D．3（全国初中数学竞赛题）设a+b=1，a2+b2=2求a7+b7的值（西安市竞赛题）23已知a满足等式a2-a-1=0求代数式a8+7a-4的值 （河北省竞赛题）24若x+y,a+b且x2+y2，a2+b2 求证X1997+yi997，Q1997+bl997 (北京市竞赛25有10位乒乓球选手进行单循环赛（每两人间均赛一场）用xlyj顺次表示第一号选手胜与负的场数

用x用x2y2顺次表示第二号选手胜与负的场数用x10y10顺次表示十号选手胜与负的场数•求 x2€x2€.…€x2—y2€y2€.…€y21210121026 1请观察25—52,1225—352,112225—3352,1122225—33352…写出表示一般规律的等式并加以证明(2)2652+1253=72+222653=13781378=372+32任意挑选另外两个类似2653的数使它们能表示成两个平方数的和把这两个数相乘乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗？注有人称这样的数不变心的数数学中有许多美妙的数通过分析可发现其中的奥秘瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广他指出可以表示为四个平方数之和的甲乙两数相乘其乘积仍然可以表示为四个平方数之和即(a2+b2+C2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2这就是著名的欧拉恒等式第十八讲乘法公式参考答案0乘法公式【例题求解】fjc2一，2=土2()0。 亠 亠例I(1)设两个连续奇数为z，y，且z>y，则|__2 .得z+y=1000或j：+y=_iooo,解得(工,$)=(499,501)或(一501,—499).(2)4002提示：(2000—a)2+(1998—a)1=E(2000—a)—(1998—a)]z+2(2000—a)•(1998—a)例2选B例3 (1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(7<+1)(78+1)4-1=7,6(2)设1.345=x,则原式=z(z—1〉•2x—x3—x(j—I)2=—x=—1.345例4 (1)提示：由已知得(土一1严+(丿一弓~)=0,得z=l.y=*,原式=*12r_]=0原不等式可化为(x-l)?+(y-l)2<l,且_r,y为整数心一1心0心一1心0,所以可能有的结果是仁_]=°或lx—1=±1 fx—1=0 (x=1 (1—2 (x=0 (z=l (x=l或 ，解得或或或或，z+y=l或2或3ly—1=0 ly—1=士1, Ij=1 ly=l Iy=l \y=2 \y=0甲、乙、丙三个商场两次提价后，价格分别为(1+4)(1+小=1+。+〃+必$(1+罟)・(1+爭)=1+(“+小+(9寸")2；(l+6)(l+a)=l+4+〃+ab；因(生詳)2—ab>Q9所以(°寺"尸>。方,故乙商场两次提价后，价格最高.例5 (l)R(c+&)(c—6)=a2，又c+b与c_b同奇同偶、c+bAc—b、故a不可能为偶质数2,a应为奇质数・c+b与c_b同奇同偶"与6•必为一奇一偶.(2)c+6:=a2、(:一b=I9两式相减•得26=a2—1,于是2(a+6+1〉=2a+2方+2=2a+a'—1+2=(a+1)2、为一完全平方数.【学力训练】h-l2.-■* 3.(1)4；(2)3897326?(3)y4.(a+掰一4必=(a—少 5.24 6.C7.D提示:逆用平方差公式.分解相约 8.C提示：由已知条件得工$=09.D提示:工工0,由条件得x+y=13,x4+p-=(T2+p-)2-2=[(x+y)Z-2，一2 10.A(】)定值为0提示：由条件得x—3y=—2z,原式=(j：~3y)*(x+3j)十4z2+4_rz=—2z•(_r+3y)+4z2+4xz=4zz+2JTZ—6yz=4X+2z(z—3y)=0(2)原式=3云—6x—5=3(x2—2x)—5=1.提示：设这个自然数为z,由题意得fX-45=w2 ①( ②一①得n2—m2=89即(”+勿)(”一m)=89X1lx+44=n2 ②(”+加=89 (“=45从而 ，解得 </n,n都为自然数)故#=452-44=1981.In—m—1 lzn=44(1)对于自然数"，有”(n+l)(n+2)5+3〉+l=(”2+3”〒l)：.证明略.(2)由(1)得原式=<20001+3X20004-1)1=40060012(1)100X7X(7+1)+25；100X8X(8+1)+25.(10n+5)2«10n(n+1)+251995z=(10X199+5)2=10X199X(199+1)+25=39800252 16.(1)40提示：x3 =(x+y)(x2~xy+/)=(x+y)[(j：+y)2-3xyj8(2)27.73提示；x=n2—m2=(n+m)(n—m)(l《m<nW98,m为整数)，因n+m与n~m的奇偶性相同，故x是奇数或是4的倍数B提示：把a=6+4代入a6+X+4=0得(64-2)2+c2=0C提示；(j?+3r)(J-y)=lx1991=11X181=(-1)X(-1991)=(-1BX(-181)B提示:x-y=(a4-2)2+(6-4)2>0D提示：原式=/O'+(6—cl?+(a—c)?]y提示：由a+6=1,/+夕=2,得“=一寺，利用a"+】+6"+】=(a"+6")(a+6)—必(a1^+夕7)可分别求得a3+63=y,a4+6’=y,a5+6s=^,a6+沪=晋.48提示：由疋一q_]=o,得a—a"=l.进而a2+a~2=3,a*+a~*=7.所