初中数学竞赛定理大全

欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线;且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。夕卜心重心重心垂心夕卜心重心重心垂心2.00厘米4.00厘米费尔马点：已知P为锐角AABC内一点，当ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°时,PA+PB+PC的值最小， 这个点P称为AABC的费尔马点。BP+CP+APBE+CE+AEBP+CP+APBE+CE+AE10.90BE=3.45厘米ZBPC=120°CE=5.QQ厘米^CPA=120°AE=3.W厘米^APB=120°BP=403厘米CP=3.63MMAP=2.33厘米海伦（Heron）公式：海伦〔HehkO公式：1在△ABC中，ffiSC,CA.AB的长分别为占*b.c,若p=-(a+b+c),则△EBC的面积S=、 ―(p—b)―(p—c)

塞瓦（Ceva）定理：在厶ABC中，过Aabc的顶点作相交于一点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，贝“BD/DC）・（CE/EA）・（AF/FB）=1；其逆亦真。密格尔（Miquel）点:

葛尔刚（Gergonne）点：西摩松（Simson）线：已知P为厶ABC外接圆周上任意一点，PD丄BC,PE丄ACPF丄AB,D、E、F为垂足，

黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。帕普斯(Pappus)定理：已知点A】、A2、A3在直线丘上，已知点B］、B2、B3在直线l2上,且A1B2与A2B1交于点X，A1B3与A3B1交于点Y，A2B3于A3B2交于点Z，则X、Y、Z三点共线。

笛沙格（Desargues）定理:已知在△ABC与厶A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点0,BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z,则X、Y、Z三点共线；其逆亦真线相交于点D、E、F,则厶DEF是正三角形,这个正三角形称为摩莱三角形。

帕斯卡（Paskal）定理：已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G,边BC、EF在圆内接四边形中，AB•CD+AD•BC=AC•BD

斯图尔特(Stewart)定理:设P为厶ABC边BC上一点，且BP：PC=n：m,则在厶ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线截于点X、Y、Z,则(BX/XC)•(CY/YA)•(AZ/ZB)"

阿波罗尼斯(Apollonius)圆一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n,则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波布拉美古塔(Brahmagupta)定理：在圆内接四边形ABCD中，AC丄BD,自对角线的交点p向一边作垂线,

广勾股定理：在任一三角形中，锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍•钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法， ，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+ +M(N)种不同的方法。比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，1：火车］2：飞机23:轮船3，那么从北京上海的方法N 1+2+3乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法， ，做第n步有m・n不同的方法那么完成这件事共有Nml・m2・m3・・・mn种不同的方法正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即外接圆的直径）B在同一个三角形中是恒量，是此三角形这一定理对于任意三角形,都有（为三角形外接圆半径）余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三角为A,B,C，则满足性质：解析几何中的基本公式1、 两点间距离：若A(x,y),B(x,y)，则\AB=、：(x€x)2+(y—y)21122^1^21212、 平行线间距离：若l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=01122C—c贝V：d=「：：A2+B2注意点：x,y对应项系数应相等。

3、 点到直线的距离：P(x,y),l:Ax+By+C=0€€贝yp至ui的距离为：d€倚；+By^_^A2+B2厂y€kx+b4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：｛',F(x,y)€0消y：ax2+bx+c=0，务必注意A>0.若1与曲线交于A(Xi,yi)，B(X2,y2)则：|AB|^.-'(1+k2)(^-x)25、若A(x,y),B(x,y)，P(x，y)。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成1122的比为九，x+九xx+九x—1 21+九y】+入y2i+九，特别地：九=1时，P为AB中点且<变形后：九€x-X或九€变形后：九€x-X或九€x-x2y-yy-y2x+x—1 22y+y1 226、若直线-的斜率为々，直线12的斜率为k2，则I】到12的角为a,a<(0,兀)k-k适用范围：匕，k2都存在且k.k.丰—1， taa=_a亠12 12 1+kk120<(°,守k0<(°,守若I.与l2的夹角为0，则tan0€ 121 2 1+kk12注意：(1)I.到i2的角，指从I］按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围(0,兀)I］到l2的夹角：指I］、l2相交所成的锐角或直角。I.丄―时，夹角、到角=舟。122当I1与I2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、 （1）倾斜角€,€,（0,兀）；（2） „,„夹角e,e,[0,兀]；（3） 直线l与平面€的夹角…，…,[0,£]；（4） 11与12的夹角为e,e,[0,3,其中i1//i2时夹角e=o；12212（5） 二面角e,€,（o,兀]；（6） I】到i2的角e,e,（o,兀）8、 直线的倾斜角€与斜率k的关系a） 每一条直线都有倾斜角€，但不一定有斜率。b） 若直线存在斜率k,而倾斜角为€，则k=tan€。9、 直线-与直线l2的的平行与垂直

若-12均存在斜率且不重合：①”律€k严2②I丄l2€k]k2=_1若l:Ax+By+C，0,l:Ax+By+C，011112222若A】、A2、B]、B2都不为零B—1B—1B2C—iC21!丄-€AiA2+B1B2=0；-与-与12相交B

—iB2-与12重合€注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与„0的情况。10、 直线方程的五种形式名称方程注意点斜截式：y=kx+b应分①斜率不存在点斜式：②斜率存在y—y，k(x—x)€€(1)斜率不存在：x，x€(2)斜率存在时为y—y，k(x-x)€€两点式：y—y x—x—, 1-y—yx—x2121截距式：xy+,1ab其中l交x轴于(a,0)，交y轴于(0,b)当直线丨在坐标轴上，截距相等时应分：(1)截距=0设y=kx(2)截距=a„0设xy+，1aa即x+y=a一般式：Ax+By+C，0(其中A、B不同时为零)11、直线Ax+By+C，0与圆(x-a)2+(y-b)2，r2的位置关系有三种

d…r„相离„A,0d—r„相切„A=0d,r„相交„A>013、圆锥曲线定义、标准方程及性质（一）椭圆定义I：若F1，F2是两定点，P为动点，且|PF|+|PF|—2a>|FF|（a为常数）则P点的轨迹是椭圆。定义II:若F1为定点，丨为定直线，动点P到F］的距离与到定直线丨的距离之比为常数e（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆。标准方程：兰+21—1a2b2(a>b>0)定义域：｛x|-a<x<a｝值域：｛X-b<y<b｝长轴长=2a，短轴长=2b焦半径：|PF|—e焦半径：|PF|—e(x+a1)1 c門-2a-『©I'a-c<|PF|<a+c等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。）注意：(1)图中线段的几何特征：|AF|—|AF|—a-c，\AF\—|AF|—a+c11 ^2^2 1^2 ^21|BF|—|BF|—BF|—|BF|—a，|A2b|—|AB|—-Ja2+b2等等。顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关。

(2)€PFF中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段『F、|PF|A2c,有关角ZFPF结合起来，建立|PF|+|PF|\P^,|PF|等关系 12 '212厂.…r. ”…，-,_, ,…_x—acos0(3)椭圆上的点有时常用到三角换元：„ ；y=bsm0注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴上时，其相应的性质。二、双曲线（一）定义:I若F1，F2是两定点,||PF|-|P^|=2a<|FF|（a为常数）,则动点P的轨迹是双曲线。II若动点P到定点F与定直线丨的距离之比是常数e(e>1),则动点P的轨迹是双曲线。二)图形：三）性质方程：乂—21三）性质方程：乂—21=1（a>0,b>0）a2b2a2x2b2（a>0,b>0）定义域：｛x|x>a或x<a｝； 值域为R;实轴长=2a，虚轴长=2b焦距：2ca2准线方程：x=± -

焦半径：|PF」=e(x+—)，|PF|=e(—_x)焦半径：|PF」=e(x+—)，|PF|=e(—_x)，竹,PF2=2a9，lAF2l=lBF，lAF2l=lBFJ=a€cccc-聖或c+聖;两准线间的距离=乂TOC\o"1-5"\h\zcc c（2） 若双曲线方程为乂-21=1=渐近线方程：竺-21=0二y=„bxa2b2 a2b2 a若渐近线方程为y=„-x=-+-=0=双曲线可设为

a ab乂-竺=九a2 -2若双曲线与竺—21=1有公共渐近线，可设为兰-比=九\o"CurrentDocument"a2-2 a2-2（…〉0，焦点在x轴上，…v0，焦点在y轴上）（3） 特别地当a=-时o离心率e=迈O两渐近线互相垂直，分别为y=+x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2，y2=X；（4）注意APFF中结合定义||PF|，|PF^=2a与余弦定理cos牛PF?,将有关线段|PFJ、|PF|A|FF|和角结合起来。二、抛物线（一） 定义：到定点F与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。（二） 图形：三）