弧度制与任意角的三角函数知识点与例题

知识经梳理方能轻巧有序能力需锤炼方能炉火纯青PAGE不积跬步无以致千里第1页共4页不积小流无以成江海弧度制与任意角的三角函数知识梳理与典例剖析※知识梳理1.任意角的概念设角的顶点在坐标原点，始边与轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生______________.2.象限角的概念若角的终边在第个象限，则称是第象限角.象限角及其集合表示象限角象限角的集合表示第一象限角的集合Z第二象限角的集合Z第三象限角的集合Z第四象限角的集合Z3.终边相同的角所有与角的终边相同的角连同角在内构成的集合为______________.4.弧度制的概念与半径等长的圆弧所对的圆心角称为rad(弧度)的角.角度与弧度的互化：rad(弧度)；rad(弧度).5.扇形的弧度、面积在弧度制下：弧长公式：（扇形中心角的弧度数，扇形所在圆的半径）扇形面积公式：.在角度制下：弧长公式：（扇形中心角的角度数，扇形所在圆的半径）扇形面积公式：.6.任意角的三角函数的定义在角的终边上任取点，设它与原点的距离，则，，.7.三角函数在各象限的符号：上正下负横轴零：左负右正纵轴零：交叉正负横轴零8.三角函数的定义域三角函数定义域RRZ9.终边相同的角的同一三角函数的值相等OxyPTAMx=OxyPTAMx=110.三角函数线如图有向线段，，分别表示：正弦线，余弦线，正切线.※典例剖析一、角的概念问题1.终边相同的角的表示例1若角是第三象限的角，则角的终边在第______象限.答案：二.解析：因为是第三象限的角，故Z，则Z，故的终边在第二象限.练习：与角终边相同的角可表示为_____________.【答案：Z）】2.象限角的表示例2已知角是第二象限角，问（1）角是第几象限的角？（2）角终边的位置.思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论值来确定象限角.解析：（1）因为是第二象限的角，故Z，故Z.当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限，故为第一或第三象限角.（2）由Z，得Z，故角终边在下半平面.点评：已知所在象限，求N所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.结论：第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限练习：二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的互化例3（1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；（2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？解析：（1），故在第一象限.（2），与它终边相同的角可表示为Z），由，得，故或，即在～范围内与有相同终边的所有角是和.点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在内找到与该角终边相同的角.练习：（1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；（2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.解析：（1），故在第二象限.（2），故在～范围内与有相同终边的角是.2.求弧长与扇形面积例4已知一扇形中心角为，所在圆半径为.（1）若，cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（2）若扇形的周长为一定值，当为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值.导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？解析：（1）设弧长为，弓形面积为，则cm，故cm2.（2）解法一：由扇形周长，得，故.当时，有最大值且最大值为.此时，故.故当时，该扇形有最大面积.解法二：由扇形周长，得，故，当且仅当，即时，扇形面积最大为.点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.练习：设扇形的周长为cm，面积为cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________.解：，即，解得，故，从而.三、三角函数的定义与三角函数的符号1.利用三角函数值的符号确定角的终边所在的象限例5确定下列三角函数值的符号（1）；（2）；（3）；（4）.导思：直接根据三角函数值的符号法则来确定.解析：（1）因为是第三象限角，故；（2）因为是第四象限角，故；.（3），而是第一象限角，故；（4），而是第四象限角，故.练习：1.点位于第________象限；2.，，的大小关系是_________________(用“”号连接).2.利用三角函数的定义求值例6已知角终边上一点与轴的距离和与轴的距离之比为:(且均不为零)，求的值.导思：直接根据三角函数的定义进行求解，应注意距离之比是绝对值之比.解析：若角的终边过点，则；若角的终边过点，则；若角的终边过点，则；若角的终边过点，则.点评：若点是角的终边上异于原点的一点，求角的三角函数值只需用定义即可.练习