弹性力学读书报告课案

弹塑性力学学习报告指导老师：王建伟学 生：李佳伟学 号;20159200弹塑性力学学习报告绪论：经过几月的学习我对弹性力学有了一个初步的认识，对它研究的对象也有了一个概括性的认识。弹性力学是高等的材料力学，不同于材料力学只能解决形状非常固定的细长杆件，它可以解决任意形状的材料性能计算问题。对于很多情况都可以分析出力学模型，然后得到方程组，但是大部分情况下解方程组却是非常困难的。下面给出一个典型的模型对弹性力学做一个形象的表示：这个模型就是最普通的一个计算模型，它有分布力，集中力，约束，重力等作用。在这些条件下我们可以根据受力平衡列出方程组，从而求出各处的位移和形变。报告正文一、弹性力学的发展及基本假设弹性力学是伴随着工程问题不断发展起来的，它是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移的一门学科。最早可以追溯到伽利略研究梁的弯曲问题、胡克的胡克定律。之后牛顿三定律的形成以及数学的不断发展，后经纳维、柯西、圣维南、艾瑞、基尔、里茨、迦辽金等人的不断努力。使得弹性力学具有了严密的理论体系并且能都求解各种复杂的问题，能够解决强度、刚度和稳定性等问题。目前弹性力学的相关理论在土木工程、水文地质工程、石油工程、航空航天工程、矿业工程、环境工程以及农业工程等诸多领域得到了广泛的应用。弹性力学的几个基本假设。1、连续体假设：假设无题是连续的，没有任何空隙。因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，它们都是坐标的单值连续函数。2、弹性假设：假设物体是完全弹性的。在温度不变时，物体任一瞬间的形状完全取决于在该瞬间时所受的外力。而与它过去的受力状况无关。当外力消除后，它能够恢复原来的形状。弹性假设就是假设物体服从虎克定律，应力与应变成正比关系。3、均匀性假设：假设物体是均匀的，各部分都具有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。4、各向同性假设：假设物体内每一点各个方向的物理和机械性质都相同。5、小变形假设：假设物体的变形是微小的，即物体受力后，所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，应变都很小。这样，在考虑物体变形后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。二、三维方程2.1三维应力状态下的平衡微分方程物体处在平衡状态，其内部的每一点都处于平衡状态。使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此可以导出平衡微分方程。如图一所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx，dy，dz。在微六面体x=0面上，应力是σxτxyτxz；在x=dx面上的应力，图一根据应力函数的连续性并按泰勒级数对 x=0的面展开，略去高阶项，可得xxdx,xyxydx,xzxzdxxxx同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy，z=dz面上的应力。最后，所有各面上的应力如图一示。当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有 6个平衡方程Fx0,Fy0,Fz0Mx0,My0,Mz0考虑微单元体沿 x方向的平衡，可得(xxdx)dydzxdydz(yxyxdy)dxdzxyyxdxdz(zxzxdz)dxdyzxdxdyXdxdydz0z整理上式并除以微单元体的体积dxdydz，得xyxzxX0（2-1.1）xyz同理，建立y、z方向的平衡条件，可得xyyzyY0xyz（2-1.2）xzyzzZ0xyz这就是弹性力学的平衡微分方程， 其中X，Y，Z是单位体积里的体积力沿 x，y，方向上的分量。考虑图一中微单元体的力矩平衡。对通过点

C平衡于

x方向的轴取力矩平衡得(

yx

yxy

dy)dxdzdy2

yxdxdzdy2

(

zy

zxz

dy)dxdy

dz2

zydxdydz2

0于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项yxdxdzdyzydxdydz022由此可得yx zy同理可得xz zx, xy yx这既是剪应力互等定理。它表明：在两个互相垂直的平面上，与两个平面的交线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。根据剪应力互等定理，式（1-1）中包含的九个应力分量中只有6个是独立的，这6个应力描述了物体内部的任意一点的应力状态。2.2三维应力状态下的几何方程uxvx yy wz zxy u vyz

y xzx

v wz yw ux z2.3三维应力状态下的物理方程1xExyzx1xyzEz1zxyE物理方程的矩阵形式1000x10001000y12zE000002xy112120000yz02zx00001202其中矩阵[D]称为三维应力状态下的弹性矩阵

xxxxyyzzx

Dxxxxyyzzx

1E

1000x1000y1000z0002100xy0000210yz0000021zx三、在极坐标系下的基本方程3.1应力坐标变换我们知道，直角坐标系和极坐标系变量之间的关系为xrcosr2x2y2arctanyyrsinx弹性体在一定的应力状态下，可以在已知直角坐标系中求解应力分量， 也可以在极坐标中求解。因而应力分量在两种坐标系中的表达式就有一定的联系， 称为应力的坐标变化。在直角坐标系中求出三角微元体的应力分量为xxcos2x22xxcos2y22rsin2rcos2xy2

rr

sin2sin2在直角坐标系下的应力分量表示可在极坐标系下表示，变换后可得方程rxyxycos2xy22yxyxycos2r22rxysin2xycos22

sin2sin23.2极坐标下的平衡方程rrrKr0rrrr2rK0rrr3.3极坐标下的几何方程为urrrur ur rrr

ur u ur r r四、弹性力学解题的主要方法4.1位移解法位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。把平衡方程、本构方程和几何方程简化为三个用位移分量表示的平衡方程，从中解出位移分量。然后再代回几何方程和本构方程，进而求出应变分量和应力分量。4.2应力解法应力解法是以应力分量作为基本的未知数的解法。由协调方程、本构方程和平衡方程简化出六个用应力分量表示的协调方程，再加上平衡方程和力边界条件解出六个应力分量。然后由本构方程求出应变分量，再对几何方程积分即可得到位移分量。由于应力与应变间的胡克定律是代数方程，应变解法的求解难度不会比应力解法有实质性的改善，而边界条件用应力表示则方便很多，所以很少采用应变解法。4.3应力函数解法在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数， 使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的位移方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。与此类似，在应力解法中也有可以引进某些自动满足平衡方程的函数， 称之为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。 应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。应力函数解法既保留了应力解法的优点 （能直接求出应力分量），又吸收了位移解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知数降为三个），所以是弹性力学理论中最常用的解法之一。五、弹性力学的应用举例例一：悬臂梁（1）确定应力函数的边界条件图二以A（0，h/2）为起始点，调整 1 ax by c中的任意常数使A00;0（a）xAyA选左手坐标系且 M以逆时针为正，应力函数在边界条件上满足逆时钟向：M;Ry;Rx（b）xy顺时钟向：M;Ry;Rx（c）xy其中，г为流动边界点。Rx，Ry和Mг分别是从A点起算的边界载荷对г点简化的主矢量和逆时钟向主距。在下边界AB上，载荷处处为零。由（b）式得：0;0;00xlxy（d）yh/2左边界AC是放松边界，不必逐点给定φ及其偏导数值。在边界CD上，按顺时钟向公式（c）得20xl(MPxqx);(Pqx);y0（e）2xyh/2（2）选择域内应力函数由应力函数沿主要边界的分布规律可看出，φ沿x方向按二次多项式规律变化，沿y方向的规律未知，由此可选f0(y)xf1(y)x2f2(y)（f）2带入边界条件（d（e）可以定出待定函数的边界条件当y=h/2时，f0=f1=f2=0df0df1df20（g）dydydy当y=－2时，f0=－M；f1=－P；f2=－qdf0df1df20（h）dydydy（3）求待定函数由边界条件（g）可得出各待定常数：A2q3;C3q;Dqh2h22P3PPEh3;F0;G2h;R2（i）H2Mq;K0;L3Mqhh310h2h80MN2进而可得P(13y4y3f13)2hhqyy3（j）f22(13h4h3)M(13y3qhy(12f14y3)4y2)22hh80h最后带回到公式（f）中得1(MPx1qx2)(13y4y3)qhy(14y2)2（k）22hh380h2（4）求应力把（k）式代入应力公式2y2V2x2Vxy

2xy可以得到121qx2)yy23xh3y(MPx2q(42)hh5yq(1y)(12y)2（l）2hhxy63(Pqx)(h2y2)h4例二：圆环或圆筒受均布压力图三设一轴向长度很长的圆环或者圆筒的截面如图三示，起内外径分别为 a，b，内径表面受内压力 qa和外压力qb作用。考虑边界条件rra0rrb0（a）rraqarrbqb将式AB(12lnr)2Cr2rAB(32lnr)2C（b）r2rr0代入后得到Aa2B(12lna)2CqaA（c）B(12lnb)2Cqbb2式中有三个未知数，连个方程不能确定。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件，即u4BrHrIsinKcosu2nE要使其单值，必须有B=0，由式（c）得Aa2b2(qbqa),2Cqaa2qbb2b2a2b2a2将其代回应力分量式（b）得应力分量为b21a2r21rqar2qbb2a2a211b2b21a2r212qarqbb2a2a2112brr0上述应力表达式中（1） 若a=0，qa=0，圆筒受两向等压的情况则有 r qb, qb。2）若qb=0（而qa≠0），则径向应力和环向应力分别为b21b21r2r2rqa(0),qa(0)b2b2a21a21可见，r总是压应力，总是拉应力。（3）若qa=0（qb≠0），径向应力和环向应力分别为1a21a2r2r2r2qb(0),2qb(0)1a1ab2b2可见，r，总是压应力。（4）若b(qa0)，则转化为具有圆形孔道的无限大弹性问题，则有22ra2qa,a2qarr例三：矩形薄板的位移图四取坐标轴如图所示，把位移函数设为u x(A1 A2x A3y)v x(B1 B2x B3y)所以u1x,u2x2u3xyvx,vx2vxy123不论各系数如何取值，上式都满足固定边的位移边界条件：(u)x0 0, (v)x0 0按瑞利-里兹法求解。板的应力边界条件为板上边界：(X)yb , (Y)yb 0板下边界：(X)y0,(Y)y00板右边界：(X)xa 0, (Y)xa将位移试函数代入式UXumdSXumdxdyAmsU得YvmdSYvmdxdyBmsUXu1dSa)xdxa0A1s(xdx00UaasXu2dS()x2dxx2dx0A200UXu3dSa)xadxa1a2bs(xbdxA3002UYv1dSbabB1sady0Uba2bsYv2dSa2dyB20UYv3dSb1ab2saydyB302将位移试函数代入应变势能表达式，通过积分运算，将结果代入上面六个方程可确定6个待定系数。其结果是：A1A2A30B12(1),B2B30E所得的位移分量为：u0,v2(1)xE结论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。 绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了， 比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理， 而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从 17世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是 R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在A.-L·柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向