现代控制理论第一部分

现代控制理论第一部分1第1页，课件共84页，创作于2023年2月主要内容最优控制理论系统辩识与自适应控制状态估计,LQG控制与H∞鲁棒控制2第2页，课件共84页，创作于2023年2月教材及主要参考书张汉全等,<自动控制理论新编教程>K.Ogata,“ModernControlEngineering”,Prentice-Hall王远声,<现代控制理论(简明教程)>,北航出版社张志涌,<精通MATLAB5.3>,北航出版社3第3页，课件共84页，创作于2023年2月第一部分:最优控制绪论最优化与最优控制概述最优化方法在数学上是一种求极值的方法最优控制系统是指系统在满足动态方程的条件下,应选择什么样的控制变量序列(控制函数),使系统从初始状态能以某种最优的性能指标要求转移到规定的终态最优化方法是一种数学方法,而不是工程方法,它与应用数学,计算机科学及各专业领域都有密切关系4第4页，课件共84页，创作于2023年2月最优化包括静态最优化和动态最优化两部分动态(线性规划,整数规划,非线性规划)动态(最优控制)5第5页，课件共84页，创作于2023年2月绪论最优控制问题举例飞船的月球软着陆问题飞船靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力f,以控制飞船实现软着陆（落在月球上的速度刚好为零）。现在的问题是要求选择一个最合适的发动机推力f(t),使燃料消耗最少。设飞船质量为m,其高度和垂直速度分别为h和v,月球的垂直加速度为常数g’,飞船的自身质量和所带燃料分别为M和F。6第6页，课件共84页，创作于2023年2月设飞船自时刻t=0时开始进入着陆过程，可知飞船的运动方程为要求控制飞船从初始状态：出发，在某一终端时刻tf实现软着陆，即达到7第7页，课件共84页，创作于2023年2月在控制过程中，推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力fmax,即由此可见，满足上述约束，使飞船实现软着陆的推力f(t)并不是仅一种，其中消耗燃料最少的才是问题所要求最好的推力。即问题可归结为求最大的数学问题F减少最少极值8第8页，课件共84页，创作于2023年2月最快拦截问题设我方发射一枚导弹（拦截器L），欲在空中拦截另一枚来自敌方的导弹（目标M），问应当怎样控制拦截器L的运动，才能最快地击毁目标M？假设两枚导弹的运动是在同一平面内，设M的运动方程为9第9页，课件共84页，创作于2023年2月拦截器的运动方程为10第10页，课件共84页，创作于2023年2月用“相对”概念表示，可进一步简化表述运动方程的数学表达式令：表示拦截器对目标的相对位置表示它们的相对速度上述运动方程写成11第11页，课件共84页，创作于2023年2月由于：f(t)不可能超出一定的限度，所以应该满足约束条件能提供的推进剂的质量有限，所以有故拦截器问题：已知动态系统的运动方程及其在初始时间t=0时的相对位置x(0),y(0)和相对速度vx(0),vy(0),且m(0)=m0,问应当怎样控制拦截器的推力f(t)的大小和推力方向(t)，才能以最短的时间击中目标？即到达终点并满足12第12页，课件共84页，创作于2023年2月受控动态系统的数学模型最优控制问题的提法将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并用数学语言严格地表述出来凡属最优控制问题的数学描述应包含：状态方程：其中动态系统的初态和终态，即状态方程得边界条件13第13页，课件共84页，创作于2023年2月一个容许控制的集合一个衡量”控制作用”效果的性能指标对终态的要求对控制过程的要求或14第14页，课件共84页，创作于2023年2月求解一个最优控制问题，关键在于找出其最优的控制变量来，只有全部满足下列三个条件的控制才是最优控制：最优控制一定是允许控制将状态x(t)从初态转移到目标集中的一个终态使性能指标最大或最小，即达到某种意义下的最优15第15页，课件共84页，创作于2023年2月已知受控系统的状态方程初始状态为现求一容许控制使系统由给定的初态出发，在时刻转移到终态并使性能指标最大或最小最优控制问题的提法16第16页，课件共84页，创作于2023年2月第1章:变分法及其在最优控制中的应用变分法的基本概念泛函对于某一类函数集合中的每一个函数y(x)，均有一个确定的数J与之对应，称J为依赖于函数y(x)的泛函，记作,或简记为J。注意：就像函数y(x)规定了数y对应于数x一样，泛函规定了数J与函数y(x)的对应关系，为此，泛函可以理解为“函数的函数”；J[y(x)]中的y(x)应理解为某一特定函数的整体，而不是对应于x的函数值y(x)，为此，有时为强调泛函的宗量（自变量）是函数的整体，将泛函表示为J=J[y(·)].17第17页，课件共84页，创作于2023年2月容许函数类(空间)

满足一定约束条件的函数称泛函的容许函数类，其相当于函数中的定义域。当用空间来表示时，就称容许函数空间。任何一个容许函数都是函数空间中的一个点。例：①所有在区间[a,b]上连续函数的全体是一个函数空间，记作：②所有在区间[a,b]上连续且二次可微的函数的全体也是一个函数空间，记作：变分法的基本概念18第18页，课件共84页，创作于2023年2月泛函的极值如果泛函J[y(x)]在任何一条与y=y0(x)接近的曲线上的值不小于J[y0(x)]，即则称泛函J[y(x)]在曲线y0(x)上达到极小值。注意零阶接近度一阶接近度①在变分法中，两个函数（宗量）有不同意义上的接近变分法的基本概念19第19页，课件共84页，创作于2023年2月②可用距离来表示接近度当函数y(x)视为函数空间中的一个点时，接近度可用函数空间中两点间的距离表示。在函数空间中，通常赋予下面的距离定义：在C[a,b]空间：在C2[a,b]空间：变分法的基本概念20第20页，课件共84页，创作于2023年2月变分法的基本概念泛函的极值条件①宗量的变分泛函宗量的变分是指两个函数之差，即其中y(x)和y0(x)是属于同一函数类中的两个不同的函数。②泛函的连续性对于任何一个正数ε，可以找到这样一个δ则称泛函J[y(x)]在点y0(x)处是连续的。当有21第21页，课件共84页，创作于2023年2月变分法的基本概念③线性泛函连续泛函J[y(x)]如果满足下面两个条件：其中c是任意常数，则称之为线性泛函。④泛函的变分若连续泛函J[y(x)]的增量可以表示为其中等式右边第一项是δy(x)的线性连续泛函,第二项是关于δy(x)的高阶无穷小,则就将第一项叫做泛函的变分.记为:22第22页，课件共84页，创作于2023年2月引理1.1泛函J[y(x)]的变分定理1.1若可微泛函J[y(x)]在y0(x)上达到极大（小）值，则在y=y0(x)上有泛函的变分是泛函增量的线性主部，所以泛函的变分科称作泛函的微分。注意：当泛函具有变分时，即其增量ΔJ可用前式表达时，就称泛函是可微的。23第23页，课件共84页，创作于2023年2月第1章:变分法及其在最优控制中的应用欧拉方程古典变分学的三个基本问题①拉格郎日问题从容许函数类(空间)中求一函数x(t),使泛函取极小值的变分问题②波尔扎问题从容许函数类(空间)中求一函数x(t),使泛函取极小值的变分问题24第24页，课件共84页，创作于2023年2月第1章:变分法及其在最优控制中的应用拉格郎日和麦耶耳问题都可以看成是波尔扎问题的特殊情况.麦耶耳问题从容许函数类(空间)中求一函数x(t),使泛函取极小值的变分问题25第25页，课件共84页，创作于2023年2月第1章:变分法及其在最优控制中的应用欧拉方程_泛函极值的必要条件使性能泛函取极值的必要条件是轨线为二阶微分方程的解.设已知轨线和终点的起点26第26页，课件共84页，创作于2023年2月欧拉方程注意:①X(t)应有连续的二阶导数,而两次连续可微.则至少应有②欧拉方程的解叫做极值曲线,只有在极值曲线上的泛函才可能达到极小(或极大值)③对于现在讨论的两个端点固定情况,正好可以利用两个边界条件,将积分常数确定出来.④欧拉方程只是确定了极值的必要条件直接用变分的表示式求泛函的极值27第27页，课件共84页，创作于2023年2月欧拉方程的积分法求解被积函数不依赖于被积函数的线性函数是被积函数仅依赖于被积函数仅依赖于和被积函数仅依赖于和28第28页，课件共84页，创作于2023年2月横截条件横截条件----解决欧拉方程两个端点不固定问题寻找一条连续可微的极值曲线它由给定的点A(t0,x0)到给定的曲线x(tf)=(tf)上的点，使性能泛函达到极小，其中tf是一个待定的量。29第29页，课件共84页，创作于2023年2月横截条件注意:上式建立了极值曲线末态斜率与给定约束曲线斜率之间的关系;该横截条件是在终态时刻可变情况的,当容许曲线的始端也不固定时,如初态只能沿着给定曲线变动时,同理可推出始端横截条件;当和固定,而和变化时,横截条件退化为:30第30页，课件共84页，创作于2023年2月横截条件总结:泛函的极值的必要条件首先应满足欧拉方程;欧拉方程通解中的两个积分常数由横截条件确定;当容许曲线的端点中任何一点为固定点时,其相应横截条件自动失效,确定积分常数的横截条件改为该点的边界条件确定.31第31页，课件共84页，创作于2023年2月等式约束条件下的变分问题等式约束条件下的变分问题对于给定的泛函求其在等式约束对所有条件下的极值引入拉格朗日乘子法,将泛函的条件极值转化为无条件极值问题32第32页，课件共84页，创作于2023年2月存在适当的待定m维乘子向量函数使泛函达到无条件极值.其中的解即函数是33第33页，课件共84页，创作于2023年2月最优控制问题求解最优控制问题的提法寻找一容许控制使受控系统由初始状态出发,在某一末态时刻转移到目标集M:使性能指标泛函为极小.34第34页，课件共84页，创作于2023年2月最优控制问题求解其中称为哈密顿函数终端状态不受约束时泛函极值必要条件满足规范方程边值条件极值条件35第35页，课件共84页，创作于2023年2月终端状态不受约束分析：规范方程(2n个一阶微分方程)通过极值条件(r个代数方程)成为变量互为偶合的微分方程组,其边界条件一部分是初始条件,另一部分是终端条件;哈密顿函数的一个重要性质36第36页，课件共84页，创作于2023年2月最优控制问题求解终端状态受约束终态时刻固定终端状态受约束终态固定37第37页，课件共84页，创作于2023年2月最优控制问题求解终端状态受约束满足规范方程终态固定,终态时刻固定边值条件38第38页，课件共84页，创作于2023年2月最优控制问题求解终端状态受约束终态时刻固定,终端状态受约束满足规范方程边值条件极值条件39第39页，课件共84页，创作于2023年2月终端状态受约束(终态时刻固定,终端状态受约束)说明:终端约束不影响规范方程,只改变边值条件2n+k个边界条件方程,可以确定2n个边界条件和k个待定乘子40第40页，课件共84页，创作于2023年2月最优控制问题求解终端状态受约束终态时刻未定末态固定末态受约束末态自由41第41页，课件共84页，创作于2023年2月终态时刻未定42第42页，课件共84页，创作于2023年2月终端状态受约束(终态时刻未定,末态自由)满足规范方程边值条件极值条件哈密顿函数在最优轨线的末端应满足末态给定末态受约束43第43页，课件共84页，创作于2023年2月极小值原理或:背景控制信号要求微分条件存在

前面研究的是控制变量无约束的最优控制,即以系统的状态方程作为等式约束,或系统的末端状态受某一等式约束的最优控制.现在所要研究的是控制变量受一不等式约束的最优控制问题,解决的有效工具是庞特里亚金的极小值原理.44第44页，课件共84页，创作于2023年2月极小值原理连续系统的极小值原理终端时刻未定,终端状态受等式约束寻找一容许控制使受控系统由初始状态出发,在某一末态时刻转移到终态:使性能指标泛函为极小.且受不等式约束45第45页，课件共84页，创作于2023年2月极小值原理(终端时刻未定,终端状态受等式约束)关键:如何处理控制变量的不等式约束?

设法将不等式约束人为地化为等式约束,并用一个新的连续函数取代分段连续函数.46第46页，课件共84页，创作于2023年2月极小值原理(终端时刻未定,终端状态受等式约束)转化为三种约束:新的性能指标47第47页，课件共84页，创作于2023年2月极小值原理(终端时刻未定,终端状态受等式约束)最优控制求解的必要条件满足规范方程边值条件在最优轨线上与最优控制对应的H函数取极小值哈密顿函数在最优轨线的末端应满足48第48页，课件共84页，创作于2023年2月极小值原理终态的不同状态,得出对应的最优控制求解的必要条件终态时刻未定,终态固定终态时刻未定,终态自由终态时刻固定,终态自由终态时刻固定,终态固定终态时刻固定,终态受一等式约束49第49页，课件共84页，创作于2023年2月线性二次型最优调节器概述偏差信号性能指标若则50第50页，课件共84页，创作于2023年2月概述单输入系统:多输入系统:加权阵非负定,正定51第51页，课件共84页，创作于2023年2月线性二次型最优调节器问题设线性时变系统不受约束为误差信号现寻找最优控制使如下二次型性能指标为最小其中非负定对称常数阵非负定对称时变阵正定对称时变阵并假设:矩阵的元是时间t的连续函数,且所有矩阵函数及都是有界的.52第52页，课件共84页，创作于2023年2月线性二次型最优状态调节器问题令:则设线性时变系统及其初始条件为不受约束,寻找最优控制使如下二次型性能指标最小.要求称之为状态调节器(有限时间)线性二次型的核心,也是本部分讨论的重点53第53页，课件共84页，创作于2023年2月有限时间状态调节器变分法、极大值原理及动态规划三种方法中的任何一种都可以用来求解状态调节器问题首先构造H函数由于u(t)不受约束，故极值条件为由于R(t)是正定矩阵，故54第54页，课件共84页，创作于2023年2月有限时间状态调节器再由规范方程边界条件解规范方程（两点边值）可求出(t)，再代入即可求出实际上上述求解过程只能借助计算机求得数值解55第55页，课件共84页，创作于2023年2月有限时间状态调节器分析：由于规范方程是线性的，在末态时刻T，(T)与x(T)间是线性关系，因而(t)与x(t)间具线性关系。寻找这种线性关系定义矩阵则规范方程可写成如下分块矩阵形式用表示上式的2n*2n转移矩阵，令(t0)为待定初值56第56页，课件共84页，创作于2023年2月有限时间状态调节器则而t=T时，有将分成四个n*n子阵则又57第57页，课件共84页，创作于2023年2月所以有限时间状态调节器又故即所以令有58第58页，课件共84页，创作于2023年2月有限时间状态调节器显见，P(t)是n*n时变矩阵，它依赖于T和Ｆ，但与初态x(t0)无关可记故若令则说明：可直接从当时的状态求得最优控制，从而实现闭环控制在工程上具有更重要的意义59第59页，课件共84页，创作于2023年2月有限时间状态调节器因求逆困难，一种避免求逆的方法：Riccati方程因对t求导，得又由状态方程代入前一式，有60第60页，课件共84页，创作于2023年2月有限时间状态调节器再由规范方程即两式相等，有即由x(t)的任意性，知即61第61页，课件共84页，创作于2023年2月有限时间最优状态调节器当最优控制的充分必要条件:其中:是相应于的最优控制,是如下Riccati矩阵微分方程满足边界条件的解典型的状态反馈形式B∫A62第62页，课件共84页，创作于2023年2月矩阵P(t)的性质反馈增益矩阵中是已知的.闭环系统的性质决定于矩阵矩阵的性质是Riccati方程末值问题的解非负定若则对有63第63页，课件共84页，创作于2023年2月无限时间最优状态调节器设线性时变系统及其初始条件为不受约束,寻找最优控制使如下二次型性能指标最小.称之为无限时间最优状态调节器区别:积分J只能在一定条件下才是有限值,即该系统对于每一是完全能控的64第64页，课件共84页，创作于2023年2月无限时间最优状态调节器最优控制存在且唯一,并由下式确定其中是如下Riccati方程的非负定解65第65页，课件共84页，创作于2023年2月线性定常状态调节器设线性定常系统及其初始条件为二次型性能指标其中矩阵A,B,Q,R是具有适当维数的常数矩阵,且Q和R分别是非负定和正定对称阵从中确定一最优控制,使J最小.66第66页，课件共84页，创作于2023年2月线性定常状态调节器最优控制存在且唯一地由下式确定:其中是下面代数Riccati方程的非负定对称解或者是下面Riccati微分方程的稳态解从任意初态开始的最优性能指标为67第67页，课件共84页，创作于2023年2月动态规划贝尔曼最优性原理的应用,用一个基本的递推关系式使动态过程的状态连续地转移.基本思路:动态规划的离散形式:解决线性时间离散系统二次型性能指标最优控制问题特别有效.动态规划的连续形式:不仅是一种可供选择的求解最优控制问题的方法,而且还揭示了动态规划与变分法,极小值原理之间的关系,具有重要的理论价值.68第68页，课件共84页，创作于2023年2月动态规划-多阶段决策问题第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段最短行程问题方法：穷举法动态规划69第69页，课件共84页，创作于2023年2月动态规划-多阶段决策问题从最后一段开始，先分别计算x1(3),x2(3)站到终点的最少时间，记为J，则第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段70第70页，课件共84页，创作于2023年2月考察倒数第二段：若线路经过x1(2),则若线路经过x2(2),则动态规划-多阶段决策问题第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段71第71页，课件共84页，创作于2023年2月动态规划-多阶段决策问题考察倒数第三段：若线路经过x1(1),则若线路经过x2(1),则第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段72第72页，课件共84页，创作于2023年2月动态规划-多阶段决策问题最后一段：第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段73第73页，课件共84页，创作于2023年2月动态规划-多阶段决策问题1310440358最优决策:最优路线:最少时间:74第74页，课件共84页，创作于2023年2月动态规划-多阶段决策问题动态规划特点:计算量大大减少实质是将求一条极值曲线问题嵌入到求一族极值曲线的更广泛的类似问题动态规划是将一个难于直接处理的多阶段决策问题转化为一个多次一步决策的简单问题来解决如何理解？前面为找到由S到F的最优路线，先找出各站到终点F的最优路线，既然始自各站的最优路线都知道了，则始自S站的最优路线也就包括其中了。因为采用迭代计算，计算量反而减少很多。75第75页，课件共84页，创作于2023年2月动态规划-多阶段决策问题考察代价函数(性能指标)其中过程的起始状态为已知.过程的状态方程为其中状态满足约束求允许决策(控制)序列使代价函数(性能指标)最小.76第76页，课件共84页，创作于2023年2月动态规划-多阶段决策问题为求出最小代价根据动态规划的解题思想将始自的待求问题嵌入到求的类似问题