状态空间描述讲

状态空间描述讲第1页，课件共67页，创作于2023年2月线性系统的数学描述状态空间描述的基本概念状态、状态变量状态矢量（状态向量）状态空间状态方程输出方程状态空间表达式

状态变量结构图本章主要内容本章主要内容第2页，课件共67页，创作于2023年2月机理分析法列写状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式系统的传递函数矩阵系统状态方程的线性变换基本知识及概念状态方程的两种标准形式对角形

约当形将状态方程化为标准形式本章主要内容第3页，课件共67页，创作于2023年2月重点内容：要求熟练掌握电路、机电系统状态空间表达式的建立（由系统的物理机理或由微分方程推导状态空间表达式）。线性变换的基本性质以及对角和约当标准型。传递函数矩阵的定义及求取（由状态空间表达式）。本章重点内容第4页，课件共67页，创作于2023年2月2.1线性系统的数学描述系统描述中常用的基本概念1.系统：一些相互制约的部分所构成的整体。

典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。

被控过程具有若干输入端和输出端。2.输入和输出：输入------由外部施加到系统上的全部激励输出------从外部量测到的来自系统的信息第5页，课件共67页，创作于2023年2月

典型控制系统方框图执行器被控对象传感器控制器控制输入观测y控制u被控过程x反馈控制被控过程2.1线性系统的数学描述第6页，课件共67页，创作于2023年2月

3.系统数学描述的两种基本方法：

4.松弛性:若系统的输出由输入唯一确定，则称系统在是松弛的。

系统的外部描述（输入－输出描述）→传递函数或高阶微分方程,不计所有内部中间变量。

系统的内部描述→状态空间表达式，基于系统内部结构，计及内部状态，是对系统的一种完整的描述。

2.1线性系统的数学描述算子第7页，课件共67页，创作于2023年2月5.线性：一个松弛系统，当且仅当对任何输入及任意常数，均有

则该系统称为线性的，否则为非线性。6.定常性（时不变性）：2.1线性系统的数学描述(可加性)(齐次性)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意实数，均有则称系统是定常的，否则称为时变的。

-位移算子第8页，课件共67页，创作于2023年2月定常性（时不变性）第9页，课件共67页，创作于2023年2月状态和状态变量状态向量状态空间状态方程输出方程状态空间表达式状态变量结构图2.2状态空间描述的基本概念第10页，课件共67页，创作于2023年2月一、状态和状态变量1、状态：表征系统在时间域中运动的信息和行为。2、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。

注意：1)、状态变量的选取具有非唯一性，可用一组数目最少的变量作为状态变量；

相互独立，其个数等于微分方程的阶数∵微分方程阶数取决于独立储能元件的个数∴状态变量的个数应等于独立储能元件的个数第11页，课件共67页，创作于2023年2月2)、状态变量不同于输出变量，其不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义。二、状态向量（状态矢量）

若描述系统状态n状态变量用表示，并把这些状态变量看作是向量(矢量)的分量，则向量称为n维状态向量，记作：或：第12页，课件共67页，创作于2023年2月

三、状态空间

以状态变量作为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间。说明：1)、系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点表示。2)、随着时间的推移，将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。第13页，课件共67页，创作于2023年2月状态空间第14页，课件共67页，创作于2023年2月四、状态方程---描述输入与系统内部状态的变化关系

描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组(离散系统)称为状态方程。说明：1)、状态变量的选择具有非唯一性，因此状态方程也具有非唯一性；

2)、虽然状态方程的形式不同，但它们的本质相同，都描述了同一个系统；3)、不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。

第15页，课件共67页，创作于2023年2月五、输出方程描述系统输出量与状态变量﹑（输入量）之间函数关系的代数方程称为输出方程。

由系统任务确定或给定指定作为输出，则：

或用y表示矩阵表示式为：或：

第16页，课件共67页，创作于2023年2月六、状态空间表达式{A，B，C，D}

状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，亦称为动态方程。

说明：1、状态空间表达式是对系统动态行为的完全的描述，因为它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响。2、状态空间表达式是非唯一的，因为系统状态变量的选择是非唯一的。第17页，课件共67页，创作于2023年2月设单输入-单输出线性定常连续系统，其状态变量为：，则状态方程的一般形式为:

输出方程为：

状态空间表达式第18页，课件共67页，创作于2023年2月状态空间表达式写成一阶矩阵微分方程的形式为:第19页，课件共67页，创作于2023年2月简记为：系统矩阵或系数矩阵:表示系统内部状态的联系，为方阵

输出矩阵

输入矩阵或控制矩阵，为输入对状态的作用，的列阵

n

维状态变量第20页，课件共67页，创作于2023年2月对于一个具有个输入﹑个输出的复杂系统，其状态方程为:

输出方程的一般形式为：第21页，课件共67页，创作于2023年2月多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量形式为：可简写为：第22页，课件共67页，创作于2023年2月系统矩阵或系数矩阵:表示系统内部状态的联系，为方阵n维状态变量输出矩阵

m维输出向量

输入矩阵

r维输入向量

（控制向量）直接转移矩阵

(关联矩阵)线性时不变系统模型：第23页，课件共67页，创作于2023年2月线性时变系统模型：线性定常离散系统模型：第24页，课件共67页，创作于2023年2月七、状态变量结构图++++第25页，课件共67页，创作于2023年2月讨论：1、状态变量的独立性。

2、由于状态变量的选取不唯一，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不唯一。但是，用独立变量所描述的系统的维数(阶数)应该是唯一的，与状态变量的选取方法无关。

3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。第26页，课件共67页，创作于2023年2月x3x3例2.1、试分别确定下图（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。

（a）（b）第27页，课件共67页，创作于2023年2月

因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。

对图（b），x1=x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量如（x2，x3）作为状态变量。解：并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量。

对图（a），不失一般性，假定电容器初始电压值均为0，有x3第28页，课件共67页，创作于2023年2月列写状态空间表达式（

机理分析法）(1)、根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量；(2)、根据对象或环节所遵循的物理或化学定律，列写出描述变化过程的原始方程；(3)、列出矩阵微分方程形式的状态空间表达式。2.3机理分析法建立状态空间表达式几个不同系统状态方程的列写示例：第29页，课件共67页，创作于2023年2月例2.2、电路系统状态空间表达式的列写示例求图示RLC回路的状态空间表达式。独立储能元件(2个)：电容C和电感

L可用二阶微分方程式描述该系统

第30页，课件共67页，创作于2023年2月以和作为该系统的两个状态变量：

设状态变量，则该系统的状态方程为:第31页，课件共67页，创作于2023年2月写成向量矩阵形式为:简记为:第32页，课件共67页，创作于2023年2月即：若改选和作为两个状态变量，令:则该系统的状态方程为:状态变量选取的不同，状态方程也不同第33页，课件共67页，创作于2023年2月指定作为输出，则：

或用y表示输出方程的矩阵表示式为：或：

第34页，课件共67页，创作于2023年2月例2.3、力学系统状态空间表达式的列写示例

机械运动系统如下图所示，M为物体的质量，K为弹簧系数，B为阻尼器的阻尼系数，f为外加的力，y为受力后物体的位移，v为物体的运动速度。试以外力f为输入、位移y为输出，写出该机械系统的状态空间表达式。KMByf弹簧质量阻尼器系统第35页，课件共67页，创作于2023年2月解：设,,,则有根据牛顿第二定律可写出该系统的运动方程：

弹簧质量阻尼器系统KMBy第36页，课件共67页，创作于2023年2月可得状态空间表达式为：状态方程输出方程第37页，课件共67页，创作于2023年2月例2.4、倒立摆装置长度为l

，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达式。第38页，课件共67页，创作于2023年2月设小车瞬时位置为摆心瞬时位置为在水平方向，由牛顿第二定律即：在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡第39页，课件共67页，创作于2023年2月即:

则有：联立求解：第40页，课件共67页，创作于2023年2月选取状态变量：第41页，课件共67页，创作于2023年2月第42页，课件共67页，创作于2023年2月2.4由微分方程求状态空间表达式经典控制论：输入、输出变量间的高阶微分方程描述系统现代控制论：输入、状态、输出变量间的一阶微分方程组描述系统提出问题：需选取合适的状态变量，推导出状态空间表达式，保持原输入输出关系不变。第43页，课件共67页，创作于2023年2月2.4由微分方程求状态空间表达式1）输入变量没有导数项的情形SISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n个状态变量令第44页，课件共67页，创作于2023年2月第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有第45页，课件共67页，创作于2023年2月第三步：将方程组表示为向量-矩阵形式其中，这样的A阵又称友矩阵第46页，课件共67页，创作于2023年2月第47页，课件共67页，创作于2023年2月例2.5已知系统的输入输出微分方程为试列写其状态空间表达式。解：取状态变量

可得第48页，课件共67页，创作于2023年2月写成矩阵形式第49页，课件共67页，创作于2023年2月2）系统输入量中含有导数项的情形

SISO线性定常连续系统的微分方程一般形式为：一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为避免在状态方程中出现u的导数项，可选择如下一组状态变量。设，选取：第50页，课件共67页，创作于2023年2月

是n个待定系数第51页，课件共67页，创作于2023年2月即：第52页，课件共67页，创作于2023年2月第53页，课件共67页，创作于2023年2月得到将求出的代入上式，可得：由已知系统微分方程第54页，课件