现代控制理论导论第三次课

现代控制理论导论课件第三次课第1页，课件共37页，创作于2023年2月

一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰时它的平衡被破坏,但在外界干扰去掉以后,它仍有能力自动地恢复在平衡态下继续工作,系统的这种性能,叫做稳定性。

第三章系统稳定性分析第2页，课件共37页，创作于2023年2月或用复数域表示系统方程为(3-1)的解(3-1)(3-2)(3-3)1243第3页，课件共37页，创作于2023年2月(1)李亚普诺夫意义下稳定、渐进稳定和不稳定(2)有界输入、有界状态(BIBS)稳定(3)

有界输入、有界输出（BIBO）稳定(4)

总体稳定二、几种稳定性定义三、稳定性之间的关系一、运动模式及其收敛、发散和有界的条件第4页，课件共37页，创作于2023年2月一、运动模式及其收敛、发散、有界的条件

(3-1)式中A阵的特征值称为模态;

重特征值对应的运动形式可能有,它们均称为系统的运动模式。

例题3-1

第5页，课件共37页，创作于2023年2月第6页，课件共37页，创作于2023年2月

根据运动模式随时间的变化情况，将其分为收敛、发散以及有界三种情况：收敛：随着时间趋于无穷而趋于零；发散：随着时间趋于无穷而趋于无穷；有界：随着时间趋于无穷而小于或等于某个实常数K。第7页，课件共37页，创作于2023年2月(3)

分两种情况：若λ对应的约当块全是一阶块，这时λ的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；当λ的几何重数小于代数重数，λ对应的约当块一定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散，发散是按时间的幂函数的规律。(1)

，λ对应的所有运动模式收敛，即随着时间趋于无穷而趋于零。(2),λ对应的所有运动模式发散，即随着时间趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散。第8页，课件共37页，创作于2023年2月例:如下矩阵特征根8的几何重数为3,代数重数为6矩阵特征值的几何重数:

该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关联的Jordan块的个数。矩阵特征值的代数重数:

该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关的所有Jordan块的阶数之和。第9页，课件共37页，创作于2023年2月

俄国数学家和力学家A.M.李雅普诺夫在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论。二、几种稳定性定义：1）李亚普诺夫意义下稳定、渐进稳定和不稳定

李雅普诺夫意义下的稳定性指对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。主要涉及稳定、渐近稳定和不稳定。平衡状态是系统处于相对静止时的运动状态，用表示，其特点是对时间的导数恒等于零，即第10页，课件共37页，创作于2023年2月李亚普诺夫提出了稳定性的两种判别方法：

求出显式解进行稳定性分析，或通过分析线性化系统的稳定性来判断非线性系统的稳定性。

李亚普诺夫第一法

李亚普诺夫第二法

根据系统方程，构造一个“能量”函数（称为李亚普诺夫函数），由其关于时间导数的正负来推断稳定性。第11页，课件共37页，创作于2023年2月李亚普诺夫第一法设非线性系统为：是一个平衡点，是n维向量函数，且对具有连续的一阶偏导数，在处的一阶泰勒展开式为：Jacobian矩阵如果令，则得系统的线性化方程：第12页，课件共37页，创作于2023年2月(3-4)这是(3-2)式中的第一项。首先研究齐次状态方程

若对任意的x(0),均有，则称(3-4)的零解为渐近稳定。定义对任意的x(0),均有x(t)有界,则称(3-4)的零解是李雅普诺夫意义下稳定的；对于线性定常系统

系统的零解(原有的平衡状态)为，现因扰动产生初始状态，则系统的运动轨迹为：第13页，课件共37页，创作于2023年2月定理3-1

对方程(3-4)零解的稳定性有下列充分必要条件成立：(1)李雅普诺夫意义下稳定←→A的实部为零的特征值对应的约当块是一阶块，其余特征值均具有负实部；(2)渐近稳定←→A的特征值均具有负实部；(3)不稳定←→A或有正实部特征值；或实部为零的特征值有非一阶约当块。证明：

采用由A的特征向量构成变换阵P对系统进行线性变换，即令：第14页，课件共37页，创作于2023年2月则有：其中，为对角矩阵，对角线元素为A的特征值。新方程的解为：原方程的解为:如果不是对角阵，而是约当阵，例如有重特征根，那么就会有各项，总之，只有当的实部均为负时，系统才渐进稳定。显然，均为的线性组合，第15页，课件共37页，创作于2023年2月例3-1

设系统矩阵分别如下：试判别系统零解的稳定性.(1)由,得(2重),不稳定.,(2)由,得和因对应一阶约当块是稳定的.(3)由,得渐近稳定.第16页，课件共37页，创作于2023年2月例题3-2下面给出的四个系统矩阵Ａ，分别对应于李亚普诺夫稳定、渐近稳定、不稳定的情况。第17页，课件共37页，创作于2023年2月

李亚普诺夫第二法

根据系统方程，构造一个“能量”函数（称为李亚普诺夫函数），由其关于时间导数的正负来推断稳定性。第18页，课件共37页，创作于2023年2月标量函数正负定性的概念：(i)

若对有，则称是正定（半正定）(ii)

若对有，则称是负定（半负定）(iii)

若对有,也有,则称是不定的一般根据系统方程的特点，取为实对称矩阵的二次型函数第19页，课件共37页，创作于2023年2月定理:设系统方程为平衡点为，如果存在标量函数(具有连续的一阶偏导数），满足(i)

是正定的(ii)

按照系统方程计算的是半负定的则平衡点是稳定的。第20页，课件共37页，创作于2023年2月设系统方程为平衡点为，如果存在标量函数(具有连续的一阶偏导数），满足(i)

是正定的(ii)

按照系统方程计算的是负定的则平衡点是渐近稳定的。定理或者（iii）按照系统方程计算的是半负定的，但对任意初始状态来说，不恒为零，而且如果，那么是全局渐近稳定第21页，课件共37页，创作于2023年2月例已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。第22页，课件共37页，创作于2023年2月定理：有唯一正定解P.令如果

则所以平衡点为全局渐近稳定。在平衡点全局渐近稳定的充要条件为：线性定常系统对任意给定的正定阵Q，有如下形式的李亚普诺夫方程：证明：且当时，有第23页，课件共37页，创作于2023年2月思考题：设系统的状态方程为，试用李亚普诺夫第二法分析平衡点的稳定性。李亚普诺夫方程的求解（Matlab）P=lyap(A,Q)第24页，课件共37页，创作于2023年2月(2)有界输入、有界状态(BIBS)稳定(3)

有界输入、有界输出（BIBO）稳定(4)

总体稳定其他几种稳定性定义第25页，课件共37页，创作于2023年2月2）有界输入有界状态稳定性（BIBS稳定）：定义

BIBS稳定 若x(0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下，均有x(t)有界,则称系统(3-1)BIBS稳定。定义

BIBS全稳定

若对任意的x(0),及在任意有界输入u(t)作用下,均有x(t)有界,则称系统(3-1)BIBS全稳定。

(3-2)1243第26页，课件共37页，创作于2023年2月定理3-2

系统(3-1)BIBS稳定←→系统(3-1)全体可控模式收敛.

系统(3-1)BIBS全稳定←→系统(3-1)全体可控模式收敛，全体不可控模式无发散。

定理3-2可以用可控性分解式来说明,不妨假定，(3-1)式中的矩阵A,B具有可控性分解形式。这时有当x(0)=0时，x(t)的表达式中只有第二项，这项与不可控模式无关，而第27页，课件共37页，创作于2023年2月这里K是u(t)的界，上式若有界当且仅当A1的特征值均具有负实部。当考虑全稳定时,A的所有模式均要计及，故需加上有界的条件，而这个条件就是A4李氏稳定的条件。

从复数域的表达式(3-3)来看，BIBS稳定的条件就是(sI-A)-1B的极点均具有负实部，因为不可控模态均已消去，故只要对可控模态提出要求即可。李氏稳定条件加上了BIBS稳定条件就是BIBS全稳定的条件。第28页，课件共37页，创作于2023年2月3）有界输入有界输出稳定性（BIBO稳定）：定义

BIBO稳定：

若x(0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下，均有y(t)有界,

则称系统(3-1)BIBO稳定。定义

BIBO全稳定：

若对任意的x(0),及在任意有界输入u(t)作用下，均有y(t)有界,则称系统(3-1)BIBO稳定。第29页，课件共37页，创作于2023年2月定理3-3

系统(3-1)BIBO稳定←→系统(3-1)全体可控可观模式收敛.

系统(3-1)BIBO全稳定←→系统(3-1)全体可控可观模式收敛.全体可观不可控模式无发散。BIBO稳定：传递函数只反映状态可控可观部分，因为不可控、不可观模态均被消去，所以要BIBO稳定，必须全体可控、可观模态具有负实部，即全体可控、可观模式收敛。说明：(3-2)1243第30页，课件共37页，创作于2023年2月BIBO全稳定一定BIBO稳定，所以系统全体可控、可观模式收敛，剩下只要证明全体可观、不可控模式无发散即可。BIBO全稳定除了第四项，还与第三项有关，这对应零输入响应（第3项），考虑可观性分解，假定系统矩阵A和输入矩阵C已具有可观性分解形式，有A1中的模态包括两部分，可控可观和可观不可控，所以要求可观不可控模式无发散。BIBO稳定研究的极点是否具有负实部，这正是经典控制理论中研究的稳定性。第31页，课件共37页，创作于2023年2月定义若对任意的x(0),及在任意有界输入u(t)作用下,均有x(t)、y(t)有界,则称系统(3-1)总体稳定。4)总体稳定(T稳定)

一个用状态方程描述的系统，要能够正常工作，总体稳定是先决条件；总体稳定包含了BIBO全稳定和BIBS全稳定；而BIBS全稳定的系统一定BIBO全稳定，所以总体稳定的充分必要条件是BIBS全稳定。第32页，课件共37页，创作于2023年2月(1)若（Ａ、Ｃ）可观，BIBO稳定BIBS稳定(2)若（Ａ、B）可控，BIBS稳定Re(A)<0(3)若（Ａ、B、Ｃ）可观、可控

BIBO稳定Re(A)<0若（Ａ、Ｃ）可观

BIBO全稳定BIBO稳定,李氏稳定三、稳定性之间的关系第33页，课件共37页，创作于2023年2月(1)若（Ａ、Ｃ）可观，BIBO稳定BIBS稳定证明：假定系统已具有可控性分解：(A,C)可观，则子系统（A1,B1,C1)是可控可观的，子系统（A1,B1,C1)是可控可观的充分必要条件对应的传递函数阵G(s)的极点多项式与A1的特征多项式相等，此时，BIBO稳定与G(s)的极点多项式的根均具有负实部等价,所以，与A1的所有模态（可控模态）均具有负实部等价，这恰恰是BIBS稳定的充要条件。第34页，课件共37页，创作于2023年2月(2)若（Ａ、B）可控，BIBS稳定只需要证明BIBS稳定即可。

根据定理,系统BIBS稳定等价于所