自动控制理论自做第七章离散

第七章线性离散系统离散系统的基本概念采样过程及采用定理信号恢复与信号保持Z变换理论采样系统的数学模型线性离散系统的稳定性与稳态误差连续系统:r(t)、c(t)和e(t)等是时间t的连续函数，这样的系统称为连续系统。计算机广泛应用于控制系统，微机是以数字方式传递和处理信息，控制系统中的信号定义在离散时间上的系统称为离散系统。离散系统与连续系统既有差别，又有相似性。连续系统通过Z变换，可以将连续系统中的概念应用到离散系统。7.1离散系统的基本概念一、信号分类1、模拟信号信号是时间的连续函数；2、离散信号信号是时间上的离散序列；*e

(t)e(t)3、数字信号离散量化信号，是时间上、幅值上的离散序列。7.1.1离散系统的特点(a)连续信号t(b)离散信号t(c)离散量化信号t二、控制系统分类1、连续系统2、采样系统被控对象控制器r(t)e(t)u(t)c(t)测量元件ZOH被控对象脉

冲控制器测量元件r(t)u(t)c(t)e(t)

e*(t)u*(t)被控对象数

字计算机测量元件3、计算机控制系统r(t)

e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)D/AA/D三、连续系统与采样控制系统的区别相同点:1、采用反馈控制结构;

2、由被控对象、测量元件和控制器组成;3、控制系统的目的相同;4、系统分析的内容相同。不同点：信号的形式（采样器、保持器）。采样控制的优点：精度高、可靠、有效抑制干扰、通用性好。采样周期：一个非常重要、特殊的参数，会影响系统的 稳定性、稳态误差、信号恢复精度！7.1.2采样开关的工作方式采样开关的工作方式，指采样速度和采样开关的周期性采样之间的相位问题；采样误差信号e*(是通过采样开关对连续信号采e(t)样后得到的；采样开关经过一定的时间T闭合一次，采样时间为τ，τ<T。T为采样周期，ƒs=1/T及ωs=2πƒs分别为采样频率和采样角频率。采样的方式等周期采样：采样时刻为nT(n=0、1、2…),T为常量；多阶采样：采样时间是周期性重复的；多速采样：用两个具有不同采样周期的采样器对信号同时采样；随机采样：采样时间是随机变量。本章讨论等周期采样常见的采样系统数字计算机作为控制器的控制系统多点巡回检测与控制系统的过程；¥dT

(t)

=

d(t

-

nT

)n=-¥T—采样周期,τ-采样时间τ

<<T

n—整数7.2.1采样过程采样器（采样开关）：将连续信号变为脉冲序列的装置；采样过程：对连续信号采样后变为时间上离散的脉冲序列

7.2

采样过程及采用定理

采样器e(t)

T

e*

(t)τ时间内,e(t)变化甚微，可近似为宽度为τ,高度为

e(nT)的矩形脉冲序列¥信号采样理想采样序列：dT

(t

)

=

d(t

-

nT

)n=0¥n=0=

e(t

)*Te

(t

)

=

e(t

)

d

(t

)¥d(t

-

nT

)

=n=0e(nT

)

d(t

-

nT

)采样过程是脉冲调制过程,对采样器的输出拉氏变换¥¥E

*(s)

=

L[e

*(t)]

=

L[e(nT

)d(t

-

nT

)]由拉氏变换实位移定理n=0¥0-nTs-

st-nTsdt

=

ed

(t

)eL[d

(t

-

nT

)]

=

eL[e*

(t)]

=

E*

(s)

=

e(nT

)e-nTsn=0采样过程相当脉冲调制过程,采样输出是两个信号的乘积e(nT

)---决定采样信号幅值dT

(t)---决定采样时间m2

wT

£

2

p

(

s

)7.2.1

采样定理e(t)就可以从e*(t)中恢复过来,也可表示为ωs

≥

2ωm如果ωs

<2ωm，就不能准确恢复原来的连续信号。为了从采样信号中不失真地复现原连续信号,离散系统设计者必须遵循采样定理;采样定理(香农定理)若采样器输入信号e(t)带宽有限，且有直到ωm(rad/s)的频率分量，当采样周期T满足下列条件e

*(t)

=

e(t)dT

(t)¥dT

(t

)

=

d

(t

-

nT

)n

=0+¥n

=-¥nTsc

ejnw

td

(t

)

=¥e

*

(t

)

=

e(t

)

d

(t

-

nT

)n

=0单位脉冲理想响应序列e*(t)对应的离散信号e

（t)连续信号以T为周期的函数，可展开成傅立叶级数表示为采样信号的频谱（证明）¥

jn

s

tδT(t)

=

cn

e

wn

=

-¥ωs=2π/T为采样角频率,

Cn是傅氏系数,其值为：1

0

+

d

1C

n

=

T

0

-

(

t

)

dt

=

T1

¥

jn

w

s

tδT(t)

=

T

en

=

-¥1

¥e*

(t)

=

e(t)e

jn

w

s

tT

n

=

-¥

1¥n

=-¥E

*

(

jw

)

=TE[

j

(w

-

nw

s

)]1¥n

=-¥E

*

(s)

=TE

(s

-

jnw

s

)连续信号的频谱为

E(jw)采样信号的频谱为

E*(jw)-ωm0

ωmE(

jw)0

ωm

ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωs

-ωmE*(

jw)T1-ωm

0

ωmE*(

jw)1Tωs-ωs2ωs3ωs-3ωs-2ωs-ωs-ωm

0

ωm

ωsE*(

jw)1Tsω满足什么条件时才能从E*(jw)恢复出E(jw

)??ωs

≥

2ωm或：T≤π/ωmωs

=2ωh7.2.3

采样周期的选择理论上，采样周期T选得越小，即采样角频率ωs选得越高，信息获得的越多，控制效果越好;但是，T过短，难以实现较复杂的控制规律，且实际意义不大T过长，控制误差大，动态性能降低，甚至导致系统不稳定;采样周期T参考选择；控制过程流量压力液位温度成分采样周期（T)（s)１－３１－５５－１０１０－２０１０－２０T的选取，主要取决于系统的性能指标。频域闭环:闭环频率响应有低通滤波特性．输入频率高于ωr时，信号快速衰减，可认为通过系统的控制信号最高频率分量为ωr

。频域开环：近似有ωc＝ωr，频率分量超过ωc的分量通过系统后被大幅度衰减。随动系统的采样角频率近似为ωs=10ωcT=2π/ωs

,采样周期公式可表示为T

=

2p

=

2p

=

p

·

1w

s

10w

c

5

wc时域指标:T可以通过tr，ts选取，按经验公式确定r10T

=

1

ts40T

=

1

t采样定理采样开关7.3

信号恢复与信号保持理想滤波器T选择得当，e(t)从e*(t)中完全复现。但理想滤波器不存在，只能用保持器代替。保持器将离散信号 连续信号的元件采样时，连续信号值与脉冲序列强度相等，nT时刻，有=

e(nT

)

=

e*

(nT

)e(t)

=

e[(n

+1)T

]

=

e*[(n

+1)T

]t

=(n+1)Te(t

)t

=nT(n+1)T时刻，有保持器要解决nT与(n+1)T之间(即0<△t<T)，连续信号e(nT+△t)有多大？它与e(nt)的关系？

2pws

=

T

>

2w

mwm信号复现T

<

2p保持器有外推功能，外推作用即现在时刻的输出取决于过去时刻离散信号的外推,用公式描述e(nT+Dt)

=a

+a

Dt

+a

(Dt)2

+...+a

(Dt)m0

1

2

m△t是以nT为坐标原点。该式说明现在时刻的输出e(nT+△t)，由过去(m+1)个离散信号e*(nT)、e*(n-1)T、e*(n-2)T、…、e*(n-m)T确定。

αi（i=0,1,…,m）为待定系数，由过去(m+1)个e*[(n-i)T]确定，αi有唯一解;△t＝0、－T、－2T、…、－mT为过去时刻。m=0，为零阶保持器；m=1，为一阶保持器；m=m，为m阶保持器。一般采用零阶保持器主要特点：1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。2、相位滞后。

7.3.1

零阶保持器

零阶保持器：最简单、使用最广泛；采用恒值外推规律，即将前一采样时刻nT的采样值e(nT)不增不减地保持到下一个采样时刻(n+1)T，零阶保持器零阶保持器的单位脉冲响应s1-

e-TsGh

(s)

=

L[1(t)

-1(t

-T

)]

=22jwjw-

jwT

jwT2-

jwT1-

e-

jwTe

(e

-

e

)Gh

(

jw

)

===

Gh

(

jw

)

—

Gh

(

jw

)gh

(t)

=1(t)

-1(t

-T

)由拉氏变换的相似性

L f

(t

-t)

=

e-tt

F

(s)

(t

>

0hwT

/

2G

(

jw

)

=

T

sin(wT

/

2)2h—

G

(

jw

)

=

-

wT零阶保持器的幅频特性2h3、零阶保持器将产生相角滞后，滞后角—G

(jw

)=-wT注意：1、幅值随角频率ω的增大而衰减，有低通滤波特性；2、除了主频谱外，还有高频分量；hwT

/

2G

(

jw

)

=

T

sin(wT

/

2)零阶保持器的近似实现2

11

12

21

+

Ts

+

T

s

+

s

e1ss(1

-

Ts

)

=

1

-1

-

e

-TsGh

(s)

=

=sh=1+Ts1+Ts1

T1-1

G

(s)

»212

2Ts1+Ts

+

T

s1+2

=

T2

2s

1

2

1+Ts

+

T

s取前两项取前三项Gh

(s)

»

1-取前三项时无源网络实现形式如图更高阶的近似，使无源网络变得

非常复杂。一般不使用！！R1LCR3R27.4

Z变换理论线性连续系统的性能，用拉氏变换分析，线性离散系统的性能，用Z变换分析。Z变换是采样函数拉氏变换的变形，又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。¥n=0f

*

(t)

=

f

(nT

)d(t

-

nT

)¥n=0-nTsf

(nT)eF

*

(s)

=令eTs

=

z¥-nF(z)

=

f

(nT

)zn=0f

(t)

=

e-at，f

(nT)

=

e-anT7.4.1 Z变换的定义¥0F

(s)

=

L[

f

(t)]

=f

(t)e-st

dt被定义为采样函数ƒ*

(t)的Z变换f

(t)

=

1(t),

f

(nT

)

=

1对Z变换强调两点：1.

z是复变量,s也是复变量，分别表示为s=σ＋jωe

jTwz

=

eTs

=

eTs

=

z

e

jqz

=

esTq

=

wT2.Z变换中，仅采样时刻上的采样值，该式仅表达采样时刻的信息，不反映采样时刻之间的信息，f(t)与ƒ*(t)有相同的Z变换，即Z[f(t)]＝Z[ƒ*

(t)]=F(z)设f（t）的采样信号为f*（t）7.4.2 Z变换的求法¥+

f

(nT)d(t

-nT)

+1.级数求和法f(t）的离散函数为ƒ*

(t),ƒ*

(t)展开f

*(t)

=

f

(nT

)d(t

-

nT

)n=0=

f

(0)d(t)

+

f

(T)d(t

-T)

+

f

(2T)d(t

-2T)

+逐项拉氏变换，得+

f

(nT

)e-nTs

++

f

(nT

)z

-n

+F

*(s)

=

f

(0)

+

f

(T

)e-Ts

+F

(z)

=

f

(0)

+

f

(T

)z

-1

+上式为ƒ*

(t)

Z变换的级数表达式。显然，知道f(t)采样时刻nT（n=0,1,2,…）的值f(nT），则可求得Z变换的级数展开式。¥-nF(z)

=

f(nT)zn=01z-1F

(z)

=1

+

z

-1

+

z

-2

+

z

-3

+

==1-

z z

-1例7.1求1*（t）的Z变换。|z-1

|<1

，级数收敛，利用求和公式，得1（t）的Z变换Aii=1

s

-

pinF

(s)

=

z

-

e-

piTAi

zkF

(z)

=

i=1F(z)F(s)z变换拉氏变换部分分式采样f

(t)f

*(t)2、部分分式法f(t)

的拉氏变换为F(s)，其部分分式之和为Ai常系数Pi

是极点求出Pi

及Ai

，可求出F(s)对应的Z变换F(z)：N为极点数已知f(t），求F(z)，可以按图示虚线箭头的步骤，也可以按实线箭头的步骤。可以根据F(s)查Z变换表得F(z)=niiR

z

z

-

e

piT

i=1

i=1nF

(z)

=

Z[

f

*

(t)]

=

res

F

(

p

)3、留数计算法F(s)的全部极点已知,留数计算法公式为F(s)有一阶极点,s=P1,留数为sfi

ppiT

z

-

ezR

=

lim(s

-

p

)F

(s)1

11F(s)有q阶重复极点,留数为qpiT

z

-

ez)

F

(s)(s

-

pR

=

lim11q-1d

q-1(q

-1)!

sfi

p1

dszz

-

e

piTRi

=

res[

F

(

pi

)z

-

e

sTi]

为

F

(s)

z

在s

=

p 时的留数Z变换表见P.219表(7－2)Ks

2

(s

+

a)例7.10已知F

(s)=q1

=

2p2

=

-aq2

=1222sTsTKzKz1

d

F(z)

=(s-0)+

(s+a)

(2-1)!

dss

(s+a)

z-es

(s+a)

z-es=0

s=-aa

2

(

z

-

1)

2

(

z

-

e

-aT

)Kz

[(

aT

-

1

+

e

-

aT

)

z

+

(1

-

e

-

aT

-

aTe

-

aT

)]=用留数法求F(z)。解:p1

=07.4.3

Z变换的性质Z变换常用的定理1、线性定理2、平移定理3、初值定理4、终值定理5、复数偏移定理6、卷积和定理F

(z)

=

ai

Fi

(z)

=

a1F1

(z)

+a2

F2(z)

++

an

Fn

(z)i=1ni=n1f

(t)

=

ai

fi

(t)

=

a1

f1

(t)

+a2

f2

(t)

++

an

fn

(t)设：则：函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。2、平移定理t<0时，f(t)的值为零，f(t)的Z变换为F（z）则Z[

f

(t

-

kT

)]

=

z-k

F

(z)原函数延迟的采样周期数为k，象函数则乘z-k。算子z-k的含义表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。1、线性定理平移定理e(t)第8个采样周期e(t-2T)第10个采样周期e(t+6T)第2个采样周期¥n

=

0E

(

z

)

=

e

(

nT

)

z

-

ne(nT)z¥n=0-2

-2-nz

=z

E(z)Z[e(t

-

2T)]

=Z[e(t

+

6T)]

=6=

z

E(z)¥n=0-n

6e(nT)z

z3、初值定理f(t)的Z变换为F（z），并且

lim

F

(

z)

存在，经常用于分析计算机系统的稳态误差！！z

fi

¥f

(0)

=

lim

f

(z)zfi

¥则f

(¥

)

=

lim(z

-1)F

(z)zfi

1t

fi

¥nfi

¥4、终值定理f(t)的Z变换为F（z），f(nT)序列为有限值（n=0,1,2,…），并且极限lim

f

(nT

)

存在，则函数序列的终值设+¥c

(

kT

)

=

g

[(

k

-

n

)T

]r

(

nT

)n

=

0式中n

=0,1,2

为正整数，当n为负数时c

(

nT

)

=

g

(

nT

)

=

r

(

nT

)

=

0C

(

z

)

=

G

(

z

)

R

(

z

)G(z)

=

Z[g

(nT

)]R(z)

=

Z[r(nT

)]则有式中C(z)

=

Z[c(nT

)]5、复数偏移定理f(t)的Z变换为F（Z），则Z

[

f

(t

)e

at

]

=

F

(

ze

–

aT

)6、卷积和定理7.4.4

Z反变换Z反变换是已知F（Z），求f(nT)的过程，即f

(

nT

)

=

Z

-1

[

F

(

z

)]只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！！求解方法: 长除法(幂级数法)、部分分式法、留数法。0

12n0

1

nc

z¥-1-2-nn=0F(z)

=

0

1

m

=

c

+c

zb

zm

+b

zm-1

++b+c

z

=a

zn

+a

zn-1

++a¥n=0要点：将F（Z）用长除法变为降幂排列的形式。+

f(nT

)z-n

+1、长除法（幂级数法）F(z)

展开成z-1的无穷幂级数，即F

(z)

=

f

(nT

)z-n

=

f

(0)

+

f

(T

)z-1

+

f

(2T

)z-2

+n

‡

m,

¥

)如果幂级数收敛，按Z变换定义，式中系数cn

(n

=0,1,即采样脉冲序列

f

*

(t)

的脉冲强度f(nT)。可以直接写出f

*

(t)的脉冲序列表达式f

(t)

=

c0d(t)

+c1d(t

-T)

+c2d(t

-2T)

++cnd(t

-nT)

+f

(nT)

=

cn即：F

(z)

=10z

-1

+

30z

-2

+

70z

-3

+150z

-4

+f

(t)

=10d(t

-T)

+30d(t

-2T)

+70d(t

-3T)

+150d(t

-4T)

+(z

-1)(z

-

2)10z例7.11求F

(z)=的Z反变换解：10z

10z

-1F

(z)

=

=z

2

-3z

+

2

1-

3z

-1

+

2z

-2为方便求取，将分母首项变成1。为此，用分母2首项（Z

）去除全式解:展开成有理分式将分母首项变成1,用分母首项（Z2）去除全式得：(z

-1)(z

-

0.5)0，.5z求Z反变换例7.12已知F

(z)==0.5z(z

-1)(z

-

0.5)

z

2

-1.5z

+

0.50.5zF

(z)

=1

-1.5z

-1

+

0.5z

-20.5z

-1F

(z)

=按长除法，用分母多项式去除分子多项式，得：F

(z)

=

0.5z

-1

+

0.75z

-2

+

0.875z

-3

+

0.9375z

-4

+=

0

·

z

-0

+

0.5z

-1

+

0.75z

-2

+

0.875z

-3

+

0.9375z

-4

+f

*(t)

=

0

·d(t)

+

0.5

·d(t

-T

)

+

0.75

·d(t

-

2T

)

+0.875

·d(t

-

3T

)

+

0.9375

·d(t-

4T

)

+z①将变换式写成

F

(z)=niz

-

z，展开成部分分式Aizi=1F

(z)③查Z变换表②两端乘以Zz

-

ziAi

znF

(Z

)

=

i=11.部分分式法（因式分解法，查表法）步骤：c2p

jz

=

pif

(nT

)=

1

F

(z)zn-1dz

=

Re

s[F

(z)zn-1

]iRe

s[F

(

z)

zn

-1

]z

fi

pn-1i函数F(z)z

在极点p

处的留数，iz

fi

pi=

lim[(

z

-

zi

)F

(

z)

z

]n

-1曲线C是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线。若Zi为一重极点Re

s[F

(

z)

zn

-1

]z

fi

p若Zi为q重极点1iRe

s[F(z)zdzdq-1n-1

]zfi

pilim

q-1zfi

pi=[(z

-

z

)q

F(z)zn-1

](q

-1)!¥f

(nT

)z-n

+

f

[(n

+1)T

]z-n-1

+3.留数法（反演积分法）由Z变换的定义F

(z)

=

f

(nT

)z-n

=

f

(0)

+

f(T

)z-1

+

f(2T

)z-2

+n=0两端同乘zn-1F

(z)zn-1

=

f

(0)zn-1

+

+

f

(n

-1)T

+

f

(nT

)z

-1

+

f

[(n

+1)T

]z

-2

+由复变函数理论(z

-1)2Tz例7.14求F

(z)=的Z反变换F

(z)z

=(z

-1)2Tznn-1解：有一个两重极点z

=1dzTznR

=]

=

nT(z

-1)[(z

-1)1(2

-1)!22d

2-1zfi

1lim

2-1f

(nT)

=

R

=

nT差分方程连续系统的动态过程是用线性微分方程来描述的，线性采样系统的动态过程是用差分方程描述的。设采样控制系统的结构如图7-9所示：在第k个采样时间间隔中，零阶保持器的输出为eh(t)=e(kT), kT

≤

t≤(k+1)T,

考虑到积分环节的作用，在周期内输出c(t)由下式决定：c(t)=c(kT)+e(kT)(t-kT)由此可得：c[(k+1)T]=c(kT)+Te(kT)

， 简写为

c(k+1)=c(k)+Te(k)由于

e(k)=r(k)-c(k)，

因此

c(k+1)+(T-1)c(k)=Tr(k)这就是图7-9所示采样控制系统的差分方程。7.5采样系统的数学模型C(t)1/sr(t)

e(t)B(s)e*(t)

G

(s)e

(t)h

hT图7-9c

(k+1)+(T-1)

c

(k)=T

r(k)

（7-26）7.5采样系统的数学模型7.5采样系统的数学模型差分方程的解，不便于研究系统参数变化对离散系统的性能的影响。。7.5.2脉冲传递函数的定义零初始条件下，线性系统输出的Z变换与输入的Z变换之比为系统的脉冲传递函数（或z传递函数）。即G(z)=C(z)=输出脉冲序列的Z

变换R(z)

输入脉冲序列的Z

变换系统的离散输出信号c*

(t)

=

Z

-1[c(z)]

=

Z

-1[G(z)R(z)]7.5采样系统的数学模型局限性:原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息;只适合描述单输入单输出系统;只适线性定常离散系统。脉冲响应0tc(t)0r(t)tr(t)0

1ttc(t)0

1补充01脉冲序列响应200.0321c(t)连续关于延时123关于峰值10你看到什么了？多数系统的输出是连续信号c(t)，非采样信号c*(t)，在输出端虚设一个采样开关，如图虚线，该开关与输入采样开关同步，有相同的采样周期；若实际输出c(t)较平滑，且采样频率较高，则可用c*(t)近似描述c(t)；虚设的采样开关不存在，它只表明输出连续函数c(t)在采样时刻上的离散值c*(t)。G1(s)R(s)2G

(s)X(s)X*(s)C(s)

C(z)G1(z)

G2(z)C*(s)R*(s)T

R(z)TG1(s)R(s)G2(s)X(s)C(s)

C(z)C*(s)R*(s)T

R(z)G(z)G(s)r(t)

r*(t)c(t)c*(t)G(z)G

(

z

)

=

C

(

z

)R

(

z

)r*(t)=δ(t),c(t)=g(t)r*(t)=δ(t-T),c(t-T)=g(t-T)当输入为脉冲序列时：线性定常离散系统的位移不变性推导脉冲传递函数，理解其物理意义¥r

*

(t

)

=

r

(nT

)d

(t

-

nT

)n

=0c(t)

=r(0)g(t)+r(T)g(t

-T)++r(nT)g(t

-nT)由叠加原理，输出为一系列脉冲响应之和，即当t=kT时,输出的脉冲值为：kc(kT)

=r(0)g(kT)+r(T)g[(k

-1)T]++r(nT)g[(k

-n)T]+=g[(k

-n)T]r(nT)n=0推导脉冲传递函数，理解其物理意义¥由于系统的单位脉冲响应是从t=0时刻才出现的信号，当t<0时，g(t)=0因此，当n>k时，上式中的g((k-n)T)=0。或者说，kT时刻之后的输出脉冲，如

r[(k+1)T]、r[(k+2)T]等不会对kT

时刻的输出产生影响。因此上式的求和的上限可以扩展到∞，于是：c(kT

)

=

g((k

-

n)T

)r(nT

)n=0根据卷积定理，可得上式的Z变换为：C(Z

)

=

G(Z

)R(Z

)上式中，C(Z)、G(Z)、R(Z)分别是c(t)、g(t)、r(t)的Z变换G(z)是g(t)经采样后离散信号的Z变换，即¥G

(

z

)

=

g

(nT

)

z

-nn

=0系统响应速度越快，即g(t)衰减越快,G(z)展开式中包含的项数越少7.5.2

开环系统的脉冲传递函数开环离散系统由几个环节串联组成时，脉冲G(z)的求法与连续系统的G(s)情况不完全相同。两个开环离散系统的组成相同，但采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会不同。对开环系统的脉冲传递函数，应注意以下两种不同的情况。串联各环节之间有采样器串联各环节之间无采样器D(z)

=

G1

(z)R(z)C(z)

=

G2

(z)D(z)

=

G1

(z)G2

(z)R(z)1

2R

(

z

)G

(

z

)

=

C

(

z

)

=

G

(

z

)G

(

z

)脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传函之积。G1(s)R(s)2G

(s)D(s)D*(s)C(s)

C(z)C*(s)G1(z)G2(z)R*(s)T

R(z)T1、串联各环节之间有采样器如图，G1

(s)和G2

(s)之间有理想采样开关隔开。根据脉冲传递函数定义，得G

(z)2、串联各环节之间无采样器1

2

1

2R(z)G(z)

=

C(z)

=

Z

[G

(s)G

(s)]=

G

G

(z)两个串联环节之间没有采样开关，脉冲传递函数为这两个环节传递函数积的Z变换。C

(

s

)

=

G1

(

s

)G

2

(

s

)

R

*

(

s

)¥n

=0R

*

(

s

)

=

r

(nT

)e

-

nsTC*(s)

=[G1(s)G2

(s)R*(s)]*=[G1(s)G2

(s)]*R*(s)

=G1G2

*(s)R*(s)1

2G

G

*(s)

=[G1

(s)G2

(s)]*

=+¥-¥1TG1

(s

+

jnw

s

)G2

(s

+

jnw

s

)G1G2

*(s)

„

G1

*(s)G2

*(s)G1(s)R(s)G2(s)D(s)C(s)

C(z)C*(s)R*(s)T

R(z)G

(z)开环离散系统结构图等效变换1C(z)=

Z[G(s)]=

G(z)R(z)G(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G1(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G2(s)C*(s)R(s)

R*(s)

C(s)G1(s)G2(s)C(z)R(z)

=

Z[G1(s)G2

(s)]R(z)1

2C(z)

=G

G

(z)G1(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G2(s)d(s)d*(s)C(z)

=

G

(z)d

(z)

=

G

(z)R(z)C(z)

=G1(z)G2

(z)C(z)=R(z)G(z)C(z)=R(z)G1G2(z)RC((zz)

)=R1

(z)Gd1((zz)

)G22(z)开环离散系统结构图等效变换2R(s)

R*(s)G0(s)1-e-TssR(s)

R*(s)C*(s)C(s)C*(s)C(s)1-e-TsG0(s)sR(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)se-Ts1R(z)R(z)z-1R(z)(1-z-1)R(z)(1-z-1)R(z)s

C(z)

=

Z[

G0(s)]

C(z)R(z)-1=(1-z

)Z[0G

(s)s]C(z)=R(z)GhG0(z)由Pg211公式(7-11)得：G

*

(

s

)

1

¥

G

(

s

jn

)=

T

-

w

sn

=-

¥G*(s

+

jkw

)

=

1

G[s

-

j(n

+k)w

]

=

1

G[s

-

jmw

]¥

¥s

T

s

T

sn=-¥

m=-¥G*(s jkw

)

1

G(s

jnw

)

=

G*(s)¥\

+

s

=

T

-

sn=-¥采样拉氏变换的两个重要性质1）采样函数的拉氏变换具有周期性G*(s)=G*(s+jkωs)2）离散信号可从离散符号中提出来[E*(s)G1(s)

G2(s)]*=E*(s)[G1(s)

G2(s)]*设G1(s)G2(s)=G

(s)，则有：[E*(s)G(s)]*=1ss¥*T

n=-¥[E

(s

-

jnw

)G(s

-

jnw

)]

1sT¥*n

=-¥=[E

(s)G

(s

-

jnw

)]*∵E

(s)与∑无关，1sT¥*n=-¥=

E

(s)[G(s

-

jnw

)]所以有：=E*(s)[G(s)]*=E*(s)G*(s)开关位置的等效变换1(t)+tt1(t)[1(t)+t]*=

[1(t)]*+[t]*R(s)B(s)E(s)E*(s)R(s)

E*(s)R(s)E*(s)E*(s)R*B(s)B*B(s)[R*

B*]*[RB]*as

s

+

a,

G

(s)

=例7.17

设G

(s)=121z

azz

-

e-aT·z

-1G(z)

=

G1

(z)G2

(z)

=-aT

a

z(1-e-aT

)G(z)

=

Z[G1(s)G2

(s)]

=

Z=

s(s

+a)(z

-1)(z

-e

)

两个环节串联，求出中间有采样开关和无采样开关时系统的开环脉冲传递函数。解：两个环节中间有采样开关时两个环节中间无采样开关时G1

(z)G2

(z)

„

G1G2

(z)连续系统:闭环与开环传递函数之间有确定的关系，可以用典型的结构图来描述闭环系统。离散系统:采样开关的位置不同，结构形式就不一样，没有唯一的典型结构图，因而闭环脉冲传递函数没有一般的计算公式，只能根据具体结构而具体求取。闭环脉冲传递函数是闭环离散系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比，即F

(z)

=

C(z)7.5.3

闭环系统的脉冲传递函数R(z)P.228表7-3列出了典型的闭环离散系统及其输出的Z变换函数闭环离散系统结构图等效变换1C*(s)G1(s)E*(s)C(s)G2(s)R(s)

E(s)B(s)R*(s)B*(s)B(z)=E(z)·G1G2(z)11+G1G2

(z)C(z)=E(z)G

(z)

=

R(z)G1(z)R(z)F

(z)

=G

1

(z)1

+

G

1G

2

(z)E(z)=R(z)-BC((zz))

=B(s)C*(s)G1(s)E(s)E*(s)C(s)R(s)G2(s)E*(s)闭环离散系统结构图等效变换2C*(s)G2(s)E(s)

E*(s)C(s)R(s)G1(s)C*(s)(s)R(s)

G

(s)

R(s)G1(s)

E(s)

E

(s)

G

(s)

C*1

2B(s)

G1(s)

G3(s)G2(s)E(sE*(s)C(s)R(s)G3(s)G1(s)G1(s)RG1*B*(s)E*(s))G3(s)E(z)=RG1(z)-B(z)

B(z)=E(z)•G1G2G3(z)21+G1G2G3

(z)C(z)=E(z)•G

(z)

=

RG1(z)G2

(z)C*(s)Φ(z)不存在G2(s)C(s)R(s)G1(s)闭环离散系统结构图等效变换3C*(s)R(s)

G

(s)

C*(s)1G2(s)G2(s)C*(s)R(s)B(s)G1(s)G1(s)RG1

(z)1+

G1G2

(z)C(z)

=闭环离散系统结构图等效变换4C*(s)G2(s)C(s)R(s)G3(s)G1(s)A*(s)R(s)

C(s)

A*(s)G1(s)

G2(s)G3(s)G1(s)G3(s)R(s)

G

(s)C

(s)C(s)=R(s)G1(s)-A*(s)G1(s)G3(s)C*(s)=[R(s)G1(s)]*-A*(s)[G1(s)G3(s)]*C(z)=RG1(z)-A(z)G1G3(z)C*(s)RG1G2

(z)1+G1G2G3

(z)A(z)

=C(z)

=

R1

G1(z)G

(z)A*(s)G1G3

(z)2GR2G(s)11+G1G2G3

(z)G(z)R(z)C(z)

=R(z)1+

GH

(z)E(z)

=

1闭环脉冲传递函数C(z)

=

G(z)R(z)

1+

G(z)1R(z)1+

G(z)E(z)

=误差脉冲传递函数闭环采样系统的特征方程对于单位反馈系统 闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数1+

GH

(z)1+

GH

(z)

=

0G

(

s

)-H

(

s

)R(s)R*(s)E(s)C(s)C*(s)TE*(s)T例7.18如图(T=1),试确定（1）系统的脉冲传递函数；（2）在z平面绘出系统零极点图；解.(1)s

+

1

sK

1

1=

K

Z

-R(z)

s(s

+

1)

G(z)

=

C(z)

=

Z

z

z

(1

-

e-T

)Kz

(1

-

e-T

)Kz=

K

z

-

1

-

z

-

e-T

=

(z

-

1)(z

-

e-T

)

=

z

2

-(1

+

e-T

)z

+

e-T=1-1.368z

-1

+

0.368z

-20.623Kz

-1(2)系统z平面零极点图开环系统脉冲传递函数(1)环节之间有开关时11

2

s

+

1

s

G(z)

=

G

(z)G

(z)

=

Z

K

Z

Kz

z Kz

2=

z

-

1

z

-

e-T

=

(z

-

1)(z

-

e-T

)(2)环节之间无开关时G(z)

=

Z

G1

(s)

G2

(s)]=

G1G2

(z)z

z-T(z

-1)(z

-

e

)(1

-

e-T

)Kz-T

=z

-

e-=

K

z

-1本节讨论离散系统的稳定性，同时指出计算离散系统在采样瞬时稳态误差的方法。7.6.1离散系统的稳定条件一）S平面和Z平面的映射关系因为

z

=

esT

设复变量

s=

s

+

jw则

z

=

esT

=

e(s

+

jw

)T

=

esT

e

jwT由于

Z

=

esT

—

Z

=q

=

wT

z

=

z

e

jqw

ws

sS平面w

=-fi2

22

23wsfiZ平面q

=-p

fi

p

变化一周S平面是虚轴上的点z平面的单位圆映射到s平面为虚轴；z平面单位圆内的点（|z|=eσt<1）映射到s平面位于左半平面的点（σ

<0)；z平面上单位圆外的点（|z|=eσt>1

）映射到z平面则位于右半（平面的点（σ>0)。S平面w

=w

sZ平面q

=p

fi

3p

变化一周Z平面以原点为圆心的单位圆上的点（显然有|z|=ws

=2p

fs

=2p

T7.6

线性离散系统的稳定性与稳态误差Z平面S平面q

=

w

T

=

w

s

T

/

2（二）线性采样系统稳定的充要条件G(z)G(z)

=

C(z)

=闭环脉冲传递函数闭环系统特征方程R(z) 1

+

GH

(z)1+

GH

(z)

=

0闭环系统稳定的充要条件

zi<1

i

=1

, 2

,

nG

(

s

)-H

(

s

)R(s)R*(s)E(s)C(s)C*(s)TE*(s)T劳斯判据用到离散系统，必须引入Z域到w域的线性变换，使Z平面上的单位圆，映射成w平面上的左半平面，这种新

的坐标变换，称为双线性变换，或称为w变换。7.6.2

离散系统的稳定性判据双线性变换法z

=

w

+1

w

=

z

+1

w

-1

z

-1Z和W均为复变量

z

=

x

+

jyw

=

u

+

jv(x2

+

y2

)

-1 2

yw

=

u

+

jv

=

-

j(x

-1)2

+

y2

(x

-1)2

+

y2将Z带入（2）W平面的左半平面<

0(x

-1)2

+

y2(x2

+

y2

)

-1u

=(x2

+

y2

)

<1对应Z平面单位圆内（3）W平面的右半平面(x2

+

y2

)

-1u

= >

0(x

-1)2

+

y2(x2

+

y2

)

>1对应Z平面单位圆外讨论（1）W平面的虚轴,对应实部u=0=

0(x

-1)2

+

y2(x2

+

y2

)

-1u

=对应Z平面单(x2

+y2

)-1

=0

位圆Z平面W平面w

=

u

+

jvz

=

x

+

jy例7.20

如图s(s

+

4)K1G(s)

=1T

=0.25s

，求系统稳定的K。K解:

G(z)

=

Z

[G(s)]=

Z

K1

=

Z

K1

1

-

1

s(s

+

4)

4

s s

+

4

(1-

e-4T

)zK

z

z-=

1

=

1

4

(z

-1)(z

-

e-4T

)4

z

-1z

-

e-4T

C(z)G(z)R(z)=1+

G(z)(

)1K-1-11+

G(z)

=

(z

-1)(z

-

e-4T

)+

K1

(1-

e-4T

)zw

+1

w

+1w

+1

= -14-

e+1-

e=

0

w

-1

w

-14

w

-1

G

(s)-R(s)E(s)C(s)E*(s)T整理得:1212.736

-

0.158K

)=

00.158K

w

+1.264w

+

(1110劳斯表w2w1w00.158K1.2642.736

-

0.158K2.736

-

0.158K112.736

-

0.158K0.158K

>

00<K1

<17.3s

2(s

+

2)-Ts例7.21如图示，T=1s，求使系统稳定的K1

值范围。-

+1/

2

1/

4

1/

411-121-1s s

+

2

s

2=

(1

-

z

)K

Zs

(s

+

2)G(

z)

=

(1

-

z

)K

Z22142+=+-z

-

e

-2K1

(

z

-1)-

K1z-1

4K14(

z

-1) 4(

z

-

e

)z

z2(

z

-1)z=

(1

-

z

-1

)K闭环特征方程K1

(z

-1)1

+

2

-

K1

+

4

=

0z

-1

4

z

-

e-2K14

41112

4-1

1-2-2-2-

e

+

e

=

0(

+

e

)z

+K

K

3Kz

+2221111-2-2-2

2Ke

-3KK-

2e

+

2w

+

2

-

K

e-2

+

2e-2

=

0(1-

e

)w

+w

-1z

=

w

+11

-

e

-Tss-解：G(s)

=

K1

(1

-

e

)

R(s)C(s)TK1s(s

+

2

)212

-

K

e-2

+

2e-2

>

03K1

e-2

-

K1

-

2e-2

+

2

>

02

2K1

(1-

e-2

)>

01K

>

0劳斯判据，系统稳定的充要条件是即K1

<

5.823K1

<16.778所以使系统稳定的范围是0

<

K1

<

5.823TkT=0

k=0.2

k=0.8

k=1.2

k=10

k=100结论连续系统0

<k

<¥

稳定T不变时,k越大性能越差k不变时,T越大性能越差T、k对离散系统性能的影响(T为采样周期)E(z)

1eR(z)

1+

G(z)=F

(z)

=1R

(

z

)1

+

G

(

z

)E

(

z

)

=7.6.3

线性离散系统的稳态误差两种计算方法一种用Z变换终值定理求稳态误差;另一种方法用误差脉冲传递函数求稳态误差。如图系统稳定，1/1+G(z)的全部极点都在Z平面的单位圆内。应用Z变换终值定理，得稳态误差1R(z)1

+

G(z)e(¥

)

=

lim(z

-1)E(z)

=

lim(z

-1)zfi

1

zfi

1将G(z)中有ν个z=1的极点的系统称为ν型系统，ν=0﹑1﹑2时，对应0型﹑Ⅰ型﹑Ⅱ型系统。

ν也称为无差度-R(s)E(s)C*(s)C(s)E*(s)TG

(

s

)srpezfi

1(¥

)=

lim

(z

-1)R(z)

=

lim

z

=

1[1+

G(z)]

zfi

1

1+

G(z)

Kz

-1zP

srPKzfi

1K

=

lim[1+

G(z)]

e=

1zfi

1采样系统为Ⅱ型系统时KP

==lim

G(z)=¥1.单位阶跃输入时的稳态误差r(t)

=1(t)

R(z)

=静态位置误差系数zfi

1采样系统为Ⅰ型系统时KP

==lim

G(z)=¥esr

(¥

=

0esr

(¥

=

0Kv

=

0采样系统为0型系统时esr

(¥

=

¥esr

(¥

=

02.单位斜坡输入时的稳态误差(z

-1)2Tzr(t)

=

tR(z)

=Tz=

Te(¥

)

=

limzfi

1

(z

-1)[1

+

G(z)]

Kv静态速度误差系数及稳态误差VsrVKe=

TK

==lim(z

-1)G(z)zfi

1采样系统为Ⅱ型系统时

Kv

=¥22T

2esr(z

-1)G

(

z

)=

lim2(z

-1)[1

+

G

(

z

)]T

2

(

z

+1)z

fi

1=

limz

fi

11

T

2

z(z

+1)R(z)

=2(z

-1)3r(t)

=

t2K

aesrT

2=K

a

=

lim

(

z

-

1)

G

(

z

)z

fi

1系统类型位置误差速度误差加速度误差0型1/kp∞∞Ⅰ型0T/kv∞Ⅱ型00T2/ka3.单位加速度输入时的稳态误差静态加速度误差系数及稳态误差2例7.22如图示，T=1s,

r(t)=2t,n(t)=t，（1）无零阶保持器时，求稳态误差。（2）有零阶保持器，稳态误差如何变化？解(1)

无零阶保持器，设zGn

(z)

=

-Tz

-en(t)=0,考虑r(t)=2t的作用，则Kv=

lim[(z

-1)G0

(z)]

=

Kzfi

1vTKKessr

(¥

)

=

2=

2

T稳态误差与输入信号、系统的结构参数和采样周期有关，T小会减小稳态误差。0s(s

+1)KG

(s)

=1s

+1G