2021-2022学年浙江省台州市龙港中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年浙江省台州市龙港中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为___________.参考答案：2.已知离心率e=的双曲线C：右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5参考答案：C考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的离心率求出渐近线方程，利用三角形的面积，结合离心率即可得到方程组求出a即可．解答：解：双曲线C：右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，所以FA⊥OA，则FA=b，OA=a，△AOF的面积为4，可得，双曲线的离心率e=，可得，即，解得b=2，a=4．故选：C．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查计算能力．3.已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ex+x2，则不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣，1）∪（3，+∞）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】确定函数的单调性，不等式转化为3﹣x2＞2x，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=ex+x2，∴当x＞0时，函数单调递增，∵函数f（x）是R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，∵f（3﹣x2）＞f（2x），∴3﹣x2＞2x，∴（x+3）（x﹣1）＜0，∴﹣3＜x＜1，故选A．4.椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．（，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，）参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】方法一：分别求出线段FA与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＜0，与离心率计算公式即可得出；方法二：设△FAB的外接圆方程，将三点代入，即可求得P点坐标，由m+n＜0，求得b和c的关系，即可求得椭圆离心率的取值范围．【解答】解：方法一：如图所示，B是右顶点（1，0），上顶点A（0，b），左焦点F（，0），线段FB的垂直平分线为：x=．线段AB的中点（，）．∵kAB=﹣b．∴线段AB的垂直平分线的斜率k=．∴线段AB的垂直平分线方程为：y﹣=（x﹣），把x==m，代入上述方程可得：y==n．由P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则m+n＜0，∴+＞0．化为：b＜，又0＜b＜1，解得：0＜b＜．∴e==c=∈（，1）．∴椭圆离心率的取值范围（，1）．故选A．方法二：设A（0，b），B（a，0），C（﹣c，0），设△FAB的外接圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，C代入外接圆方程，解得：m=，n=，由P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则m+n＜0，∴+＜0，整理得：1﹣c+b﹣＜0，∴b﹣c+＜0，∴b﹣c＜0，由椭圆的离心率e==c，∴2e2＞1，由0＜e＜1，解得：＜e＜1，∴椭圆离心率的取值范围（，1）．故选A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，三角形形外接圆求得求法，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．5.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：B【分析】利用复数的除法运算法则，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可．【详解】复数，复数对应点为（），在第二象限．故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义，是基础题．6.已知圆，则圆心C到直线的距离等于A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：D【分析】化圆为标准方程，得圆心坐标即可求解【详解】由题,则圆心（-1,0），则圆心C到直线的距离等3-（-1）=4故选：D7.已知（

）A.3

B.1

C.

D.参考答案：C略8.已知随机变量，若，则A．

B．

C．

D．参考答案：C考点：正态分布由题知：

故答案为：C9.阅读右面的程序框图，运行相应的程序,若输入n的值

为1，则输出的S的值为

(A)145

(B)131

(C)117

(D)92参考答案：A10.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）=﹣1，且对任意x∈R，有f（x）=﹣f（2﹣x）成立，则f（2015）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2参考答案：C考点： 函数奇偶性的性质．

专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 确定f（x）是以4为周期的函数，结合f（1）=0，即可求得f（2015）的值．解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，有f（x）=﹣f（2﹣x）成立，∴f（x+4）=﹣f（2﹣x）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（1）．∵f（1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（2015）=0故选：C．点评： 本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，求得f（1）=0是关键，考查函数的周期性，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的前项的和

.参考答案：12.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是

．①对于任意的平面，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面，使得点在线段BC上，点H在线段AD的

延长线上；③对于任意的平面，都有；④对于任意的平面，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值．参考答案：③④13.已知集合的子集只有两个，则的值为

．

参考答案：略14.若cos（α+）=，则cos（2α+）=

．参考答案：考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答： 解：cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．15.某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，BC=40+30nmile，CD=250nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ=．参考答案：．【分析】求出AD，可得∠DAC=90°，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC==50nmile，60min后，轮船到达D′，AD′=50×1=50nmile∵=∴sin∠ACB=，∴cos∠ACD=cos（135°﹣∠ACB）=，∴AD==350，∴cos∠DAC==0，∴∠DAC=90°，∴CD′==100，∴∠AD′C=60°，∴sinθ=sin（75°﹣60°）=，故答案为．【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.已知函数若方程有三个不同的实根,且从小到大依次成等比数列,则m的值为_____________.参考答案：略17.出红色或霓虹灯的一个部位由七个小灯泡组成(如右图)，每个灯泡均可亮黄色．现设计每次变换只闪亮其中三个灯泡，且相邻两个不同时亮，则一共可呈现种不同的变换形式(用数字作答)．

参考答案：答案：80三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如果函数的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有成立，则称此函数具有“性质”.（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有a的值的集合，若不具有“性质”，请说明理由；（2）已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间[0,1]上的值域；（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图像与直线有2017个公共点，求实数p的值.参考答案：（1）；（2），函数值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；，函数的值域为；（3）.【分析】（1）根据题意可知，由待定系数法可求得；

（2）由新定义可推出为偶函数，从而求出在上的解析式，讨论m与的关系判断的单调性得出的最值；

（3）根据新定义可知为周期为2的偶函数，作出的函数图象，根据函数图象得出p的值.【详解】（1）假设具有“性质”，则恒成立，

等式两边平方整理得，，因为等式恒成立，所以，解得，则所有的值的集合为；（2）因为函数具有“性质”，所以恒成立，是偶函数.

设，则，.

①当时，函数在上递增，值域为.

②当时，函数在上递减，在上递增，

，，值域为.

③当时，，，值域为.

④时，函数在上递减，值域为.

（3）既具有“性质”，即，函数为偶函数，

又既具有“性质”，即，

函数是以2为周期的函数.

作出函数的图象如图所示：

由图象可知，当时，函数与直线交于点，即有无数个交点，不合题意.

当时，在区间上，函数有1008个周期，要使函数的图象与直线有2017个交点，

则直线与函数y=g(x)的图像在每个周期内都应有2个交点，且第2017个交点恰好为，所以，

同理，当时，，

综上，.【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考查分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题.19.已知函数f（x）=lnx﹣x，g（x）=ax2﹣a（x+1）（其中a∈R），令h（x）=f（x）﹣g（x）．（1）当a＞0时，求函数y=h（x）的单调区间；（2）当a＜0时，若f（x）＜g（x）在x∈（0，﹣a）上恒成立，求a的最小整数值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；分类讨论；分类法；导数的概念及应用．【分析】（1）求导，分别判断导函数在定义域上各区间的符号，可得函数y=h（x）的单调区间；（2）①当﹣=1，即a=﹣1时，f（x）＜g（x）恒成立；②当﹣＞1，即﹣1＜a＜0时，f（x）＜g（x）恒成立；当﹣1＜＜0，即a＜﹣1时，考虑h（﹣a）＜0时，a的取值，进而可得答案．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x﹣ax2+a（x+1），h′（x）=﹣1﹣ax+a=（1﹣x）（+a），∵a＞0，∴+a＞0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0；故函数y=h（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x﹣ax2+a（x+1），h′（x）=﹣1﹣ax+a=，令h′（x）=0，则x=1，x=﹣，①当﹣=1，即a=﹣1时，h′（x）＞0在x∈（0，1）上恒成立，则h（x）在x∈（0，1）上为增函数，h（x）＜h（1）=﹣＜0，∴f（x）＜g（x）恒成立；②当﹣＞1，即﹣1＜a＜0时，h（x）在（0，1）上是增函数，此时0＜﹣a＜1，故h（x）在（0，﹣a）上是增函数，h（x）＜h（﹣a）＜h（1）=﹣1＜0，解得：a＜∴﹣1＜a＜0时，f（x）＜g（x）恒成立；③当﹣1＜＜0，即a＜﹣1时，故h（x）在（0，﹣）上是增函数，在（﹣，1）上是减函数，在（1，﹣a）是增函数；由===＜0，故只需考虑h（﹣a）＜0，∵h（﹣a）==＜0，下面用特殊整数检验，若a=﹣2，则h（2）=ln2+4﹣8=ln2﹣4＜0若a=﹣3，则h（3）=ln3+﹣15=ln3﹣＜0若a=﹣4，则h（4）=ln4+32﹣24=ln4+8＞0令u（x）=，则u′（x）=，当x≤﹣4时，u′（x）＜0恒成立，此时u（x）为减函数，故u（x）≥u（4）＞0再由a≤﹣4时，ln（﹣a）＞0，故a≤﹣4时，h（﹣a）＞0恒成立，综上所述，使f（x）＜g（x）在x∈（0，﹣a）上恒成立的a的最小整数值为﹣3．【点评】本题考查的知识点是导数法求函数的单调区间，恒成立问题，存在性讨论，分类讨论思想，难度较大，属于难题．20.（本小题12分）已知中，角、、的对边分别为、、，角不是最大角，，外接圆的圆心为，半径为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的周长参考答案：（I）由正弦定理，得．或．

……………2分又不是最大角，．．

……………4分．．

……………6分（注：）（Ⅱ）．

……………8分由余弦定理，得

．

周长为．

……………12分21.(本题满分14分)已知是定义域