浙江省宁波市余姚大隐中学高二数学理联考试题含解析

浙江省宁波市余姚大隐中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列的公差为，且，若，则为

A.12

B.10

C.8

D.4参考答案：C略2.已知，，，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的最小值是（

）． A．0 B．1 C．2 D．4参考答案：D解：∵，，，成等差数列，，，，成等比数列，根据等差数列和等比数列的性质可知：，，∴．当且仅当时取“”．故选．

3.△中，角成等差数列是成立的(

).（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A略4.在△ABC中，若，则△ABC是 （

） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形参考答案：A略5.用1、2、3、4这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有（）个A、48

B、24

C、12

D、6参考答案：C略6.若方程在内有解，则的图象是（

）参考答案：DA：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（-∞，0）上有交点，故正确．

故选D．7.设随机变量ξ的概率分布列为，k=1，2，3，4…6，其中c为常数，则P（ξ≤2）的值为（）A． B． C．D．参考答案：B【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】由，k=1，2，3，4…6，知c×（）=1，解得c=，由此能求出P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）的值．【解答】解：∵，k=1，2，3，4…6，∴c×（）=1，解得c=，∴P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．故选B．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程，求得焦点坐标，根据点到直线的距离公式，即可求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），由点到直线的距离公式可知：F到直线x﹣y=0的距离d==，故答案选：C．9.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切，则p的值为(

)．A．

B.1C．2

D.4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用反证法证明命题“x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时应假设为____________参考答案：x=a或x=b略12.?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若?ABC的面积为，则角B=

,参考答案：13.过点的直线与圆交于A，B两点，C为圆心，当最小时，直线的方程是

参考答案：14.曲线在点处的切线的方程为

参考答案：y=15.平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，当时把平面分成的区域数记为,则时 .参考答案：16.已知,

(为两两互相垂直的单位向量)，那么=

.参考答案：–65略17.已知，其中、为实数，则

.参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知椭圆方程为，过点的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）.求椭圆的方程；

（2）.斜率大于零的直线过与椭圆分别交于点E、F，若，求直线EF的方程；参考答案：略19.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空间直角坐标系C﹣xyz．则A，B1，E，A1，可得，，，可知，根据，，推断出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根据线面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，，进而利用向量数量积求得直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），∴，，．又因为，，∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，，∴|cos＜，＞|==．设直线A1C1与平面A1CE所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=．所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为．20.如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．21.如右图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，点F是PB的中点，点E在边BC上，（Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；（Ⅱ）证明：AF⊥平面PBC；参考答案：又PA=AB=1，且点F是PB的中点

∴PB⊥AF……（10分）

…………（12分）

又∵PB∩BC=B，PB、BC平面PBE

∴AF⊥平面PBC

22.已知函数f（x）=x﹣alnx﹣1（a∈R）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥2时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）正确求得函数的导函数是关键，再求得导函数后，利用f'（x）＞0，解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论，由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0来讨论得解．（2）由f（x）≥0对x∈[2，+∞）上恒成立可分a≤2和a＞2来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣=（x＞0），当a≤0时，f'（x）＞0，在（0，+∞）上为增函数，当a＞0时，令f′（x）==0，解得：x=a，f（x）在（0，a）上为减函数，