广东省惠州市罗中学高三数学理模拟试题含解析

广东省惠州市罗中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数等于（

）A．

B． C．

D．参考答案：D略2.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是的离心率e等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是(

)A．0

B．

C．

D．参考答案：C4.在直角坐标平面内，已知，以及动点C是△ABC的三个顶点，且，则动点C的轨迹曲线的离心率是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】将sinAsinB-2cosC=0，化简得tanAtanB=2，即，设C（x，y），依题意得，由A（﹣2，0），B（2，0），得，由此能求出动点C的轨迹方程，进而求得离心率．【详解】∵sinAsinB-2cosC=0，∴sinAsinB=2cosC=-2cos（A+B）=-2(cosAcosB-sinAsinB)，∴sinAsinB=2cosAcosB，即tanAtanB=2，∴，设C（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），所以有，整理得，∴离心率是故选A．【点睛】本题考查了三角函数的化简，考查了点的轨迹方程的求法及椭圆的离心率，属于中档题.5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则几何体的体积是（）A.cm3

B.cm3C.cm3

D.cm3参考答案：A根据该几何体的三视图画出其空间几何体如图所示：其中，，，中边上的高为1，所以该几何体的体积为。6.下图是2012年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a１、a2，则一定有

（

）

A．a１>a2

B．a2>a１

C．a１=a2

D．a１，a２大小与m的值有关参考答案：B7.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A．

B．

C．

D．

参考答案：C由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.8.若，则a的取值范围是（

）A.（0，1）

B.

C.

D.参考答案：B因为函数满足，所以函数为递减函数，所以有，即，所以，解得，选B.9.己知函数，则下列结论中正确的是

(A)若是的极值点，则在区间内是增函数

(B)若是的极值点，则在区间内是减函数

(C)，且

(D)，在上是增函数参考答案：D略10.已知双曲线的渐进线方程为，则m=（

）A． B． C．3 D．9参考答案：D显然，令，则，因为双曲线的渐进线方程为，则；故选D.点睛：研究双曲线的渐近线的方法往往是先确定焦点坐标，再去确定渐近线的形式，比较容易出现错误，记住下列结论可较好的避免错误：①双曲线的渐近线方程为；②以为渐近线的双曲线方程可设为.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为_________．参考答案：略12.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为

.参考答案：[2,3]【详解】故答案为.13.（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形中，，，以为直径的圆交边于点，，则的大小为

．

参考答案：略14.函数的图象在点处的切线方程为，则

．参考答案：e15.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相交于A、B两点，则线段AB的中点的直角坐标为_____________.参考答案：略16.已知实数满足，则的最小值为

。参考答案：17.若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是菱形，，面，是的中点.（Ⅰ）求证：面⊥面； （Ⅱ）若,求与面所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）证明∵底面是菱形，∴为正三角形是的中点，

------2分面,∴---------4分∴∵∴面⊥面

----------6分19.（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数，求的分布列及其数学期望．参考答案：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，． 3分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在的学生个数的可能取值为，则，，．所以，的分布列为123

所以，． 12分20.已知椭圆过点，其焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为.当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

图（1）

图（2)

参考答案：(1)（2），直线MN始终与圆相切.解析：（1）解：依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：，所以椭圆的方程为.

……………4分（2）（ⅰ）设，则椭圆在点B处的切线方程为

令，，令，所以

又点B在椭圆的第一象限上，所以

，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为

……………8分（ii）设，则椭圆在点处的切线为：又过点，所以，同理点也满足，所以都在直线上，即：直线MN的方程为

所以原点O到直线MN的距离，所以直线MN始终与圆相切.……………12分

略21.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是的内接三角形，是的切线，是线段上一点,经过作的平行直线与交于点，与交于点.（1）求证：；（2）若,求的面积.参考答案：(1)证明见解析；(2).考点：圆幂定理等有关知识的综合运用．22.设函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最值.【知识点】导数求切线

导数求最值B12参考答案：（1）；（2）.解析：（1）易知函数的定义域为

1分又

3分所以切线方程为：；