2021-2022学年广西壮族自治区北海市南康中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年广西壮族自治区北海市南康中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为

（A）8 （B）2

（C）6＋4 （D）4＋4参考答案：C略2.已知（i为虚数单位），则复数（

）A．1+i

B．1－i

C．－1+i

D．－1－i参考答案：C，，，，故选C.

3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，不同的选法共有（）A． 9种 B． 10种 C．15种 D．20种参考答案：D略4.

给出计算

的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（

）．

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是(

) A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）参考答案：B考点：选择结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，∴x∈[﹣2，﹣1]故选B点评：本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．6.已知a，b∈R，若a﹣bi=（1+i）i3（其中为虚数单位），则（）A．a=1，b=﹣1B．a=﹣1，b=1C．a=1，b=1D．a=﹣1，b=﹣1参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．ks5u专题：计算题．ks5u分析：先对（1+i）i3进行化简，再由复数相等求出a和b的值．解答：解：由题意得，a﹣bi=（1+i）i3=﹣i（1+i）=﹣i﹣i2=1﹣i，则a=1，b=﹣1，故选A．点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件应用，属于基础题．7.的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知α，β，γ是三个不同的平面，l1，l2是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若l1∥α，l1⊥β，则α∥βC．若α∥β，l1∥α，l2∥β，则l1∥l2 D．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2E．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2 F．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】反例判断A的错误；利用直线与平面的关系判断B错误；反例判断C错误；直线与平面垂直判断D正误即可．【解答】解：α，β，γ是三个不同的平面，l1，l2是两条不同的直线，对于A，α⊥γ，β⊥γ，则α∩β=a也可能平行，所以A不正确．对于B，若l1∥α，l1⊥β，则α⊥β，所以B不正确；对于C，α∥β，l1∥α，l2∥β，则l1∥l2，也可能相交也可能异面，所以C不正确；对于D，若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，则l1⊥l2，l1与l2是平面的法向量，显然正确；故选：D．9.设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）?f（x2）+g（x1）?g（x2）=g（x1﹣x2）；（2）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1．下列四个命题：①g（0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④当n＞2，n∈N*时，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值为1．其中所有正确命题的序号是（） A．①③ B． ②④ C． ②③④ D． ①③④参考答案：考点： 命题的真假判断与应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 既然对任意实数x1，x2都有f（x1）?f（x2）+g（x1）?g（x2）=g（x1﹣x2），那么分别令x1，x2取1，0，﹣1求出g（0），g（1），g（﹣1），g（2），然后令x1=x2=x可得③，再根据不等式即可得④解答： 解；对于①结论是正确的．∵对任意实数x1，x2都有f（x1）?f（x2）+g（x1）?g（x2）=g（x1﹣x2）且f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，令x1=x2=1，得[f（1）]2+[g（1）]2=g（0），∴1+[g（1）]2=g（0），∴g（0）﹣1=[g（1）]2令x1=1，x2=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g（0）﹣1]=0解方程组

得对于②结论是不正确的，令x1=0，x2=﹣1，得f（0）f（﹣1）+g（0）g（﹣1）=g（1），∴g（﹣1）=0令x1=1，x2=﹣1，得f（1）f（﹣1）+g（1）g（﹣1）=g（2），∴﹣1=g（2），∴g（2）≠1对于③结论是正确的，令x1=x2=1，得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，对于④结论是正确的，由③可知f2（x）≤1，∴﹣1≤f（x）≤1，﹣1≤g（x）≤1∴|fn（x）|≤f2（x），|gn（x）|≤g2（x）对n＞2，n∈N*时恒成立，[f（x）]n+[g（x）]n≤f2（x）+g2（x）=1综上，①③④是正确的．故选：D点评： 本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题．10.设等比数列的公比，前项和为，若（

）

A．17

B．

C．5

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量x、y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为

．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=1，y=﹣1时，z=x﹣2y取最大值3故答案为：312.已知函数，则f(x)在处的切线方程为

.参考答案：切线方程为.13.执行下面的程序框图，若，则输出的

；参考答案：414.已知球半径为2，球面上A、B两点的球面距离为，则线段AB的长度为________.参考答案：2由于球面距离为，设球心角为，所以，在中，为等边三角形，所以AB=2.

15.设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0=

．参考答案：4【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先用公比q和a1分别表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表达式．再根据基本不等式得出n0【解答】解：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值．故答案为：4．【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解．16.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是 。参考答案：17.已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（an+an+2）=5an+1,则数列｛an｝的公比q=_____________________.参考答案：2因为数列为递增数列，且【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知递增等比数列的前n项和为，，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．参考答案：【知识点】等比数列的通项公式；数列求和.D3D4

【答案解析】（1）（2）见解析解析：（1）设公比为q，由题意：q>1,，则，，∵，∴，……………2分则解得：或（舍去），……………4分∴……………5分（2）……………7分则……………10分【思路点拨】（1）利用等比数列的通项公式计算即可；（2）利用分组求和即可.19.已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．参考答案：【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；（Ⅱ）根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；（Ⅲ）方法一：四棱锥四棱锥A﹣BCDE分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC，分别求出三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC的体积，即可得到四棱锥A﹣BCDE的体积．方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE，即AO为VA﹣BCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．

EF?面ABC，BG?面ABC∴EF∥面ABC…（4分）（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC．

…（6分）∵EF∥BG∴EF⊥面ADC∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．

…（8分）解：（Ⅲ）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．．…（12分）方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，∴AO为VA﹣BCDE的高，，∴．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．20.【选修4－4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点．（Ⅰ）求曲线，的方程；（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值．参考答案：解：（I）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线的方程为（为参数），或.

设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或).将点代入,得,即.

(或由,得,代入,得),所以曲线的方程为,或.

…6分

（II）因为点，在曲线上,

所以,,

所以.

…10分略21.已知曲线C的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C'的极坐标方程；（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C'交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的参数方程为，利用平方关系即可化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．（II）点直角坐标是，将l的参数方程代入曲线C'的直角坐标方程可得，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ），将，代入C的普通方程可得x'2+y'2=1，即C'：x2+y2=1，所以曲线C'的极坐标方程为C'：ρ=1（Ⅱ）点直角坐标是，将l的参数方程代入x2+y2=1，可得，∴t1+t2