2022年江苏省南京市南湖第一中学高三数学理测试题含解析

2022年江苏省南京市南湖第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的最小值为，则等于 （

） A．2 B． C．6 D．7参考答案：B2.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（

）A．-,+∞)

B．-,0)∪(0,+∞)C．-,+∞)

D．(-,0)∪(0,+∞)参考答案：B3.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若m?α，n?α，m，n是异面直线，则n与α相交；③若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α，n∥β．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据面面平行的判定定理，得出①错误；②根据直线与平面的位置概型得出n与α相交或平行，②错误；③根据线面平行的判定定理，得出n∥α，n∥β，③正确．【解答】解：对于①，m?α，n?α，m∥β，n∥β，由面面平行的判定定理知，若m∩n=P，则α∥β，∴①错误；对于②，m?α，n?α，m，n是异面直线，则n与α相交或平行，∴②错误；对于③，若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，根据线面平行的判定定理，得出n∥α，n∥β，③正确．综上，真命题的个数是1．故选：A．4.设i为虚数单位，复数的共轭复数为，且，则复数z的模为

(A)5

(B)

(C)2-i

(D)1参考答案：B略5.函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）参考答案：B考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得﹣＜x＜1．故选B．点评：本题主要考查了对数函数的定义域．属基础题．6.如果随机变量,且,则等于(

)A.0.0215 B.0.723 C.0.215 D.0.64参考答案：A【分析】由题意可得，再根据正态分布的三个常用数据，即可得出结果.【详解】由随机变量,且，可得，又,,所以故.【点睛】本题主要考查正态分布，由正态分布的三个常用数据即可求解，属于基础题型.7.已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．8.集合M=，N=，则（

）A.M=N

BMN

C.MN

D.MN=参考答案：B略9.数列为等差数列，满足，则数列前项的和等于（）A．

B．21

C．42

D．84参考答案：B.试题分析：∵等差数列，∴，∴，∴，故选B.考点：等差数列的性质.10.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移π个单位

D．向右平移π个单位参考答案：C由题意可得函数可化简为，即，所以只需把的图像向左平移个单位可得到函数的图象。选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为P，且该直线与y轴的交点为Q，若(O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围为

．参考答案：不妨设渐近线方程为，右焦点，则点到渐近线的距离为.又在方程中，令，得，所以.由|FP<OQ|，可得，可得，即得，又因为，所以.12.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，则=．参考答案：

【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算法则，求得要求式子的值．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，∴=?（﹣）=?[+]=?（+）===，故答案为：．13.在△OAB中，点C满足，则y－x＝________。参考答案：14.定义在上的函数,如果存在函数为常数,使得对一切实数都成立,则称为函数的一个“承托函数”.现有如下命题：①为函数的一个承托函数；②若为函数的一个承托函数，则实数的取值范围是；③定义域和值域都是的函数不存在承托函数；④对给定的函数,其承托函数可能不存在,也可能有无数个；其中正确的命题是

；参考答案：４略15.已知变量满足约束条件则的最小值为___________．参考答案：－216.执行如图所示的伪代码,输出的结果是

▲

.

参考答案：答案：2517.已知平面直角坐标系中两点、，O为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________参考答案：20.【分析】将圆方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值.【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为，，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为，所以，，故答案为：.【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分7分）三阶行列式，元素的代数余子式为，，函数的定义域为若求实数的取值范围.参考答案：=，若则说明在上至少存在一个值，使不等式成立，即在上至少存在一个值，使成立，令则只需即可.

又当时，从而由⑴知，19.（本小题满分14分）如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥AA1C1C，D，E分别是A1B1和C1C的中点．求证：（1）BC1⊥平面AB1C；（2）DE∥平面AB1C．参考答案：20.如图，在正四棱柱中，已知，，S是的中点．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．参考答案：（1）见解析；（2）．（1）证明：在正四棱柱中，底面是正方形，可得，又，所以①，·····2分由平面，可得②，··································4分由①②，且，所以平面，而平面，所以．······································6分（2）由S是的中点，可得，由（1）中平面，可知平面，即平面，所以．··················12分

21.（12分）（2015?万州区模拟）椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△F2AB的面积为时，求直线的方程．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）由于椭圆过点，离心率为，可得，即，即可解出．（2）对直线l的斜率分类讨论，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．【解答】：（1）∵椭圆过点，∴①，又∵离心率为，∴，∴②，联立①②得a2=4，b2=3．∴椭圆的方程为：（2）①当直线的倾斜角为时，，==，不适合题意．②当直线的倾斜角不为时，设直线方程l：y=k（x+1），代入得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|===．点F2到直线l的距离d=，∴===，化为17k4+k2﹣18=0，解得k2=1，∴k=±1，∴直线方程为：x﹣y+1=0或x+y+1=0．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.

函数在一个周