浙江省台州市太湖中学高三数学文月考试卷含解析

浙江省台州市太湖中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，） D．（0，）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，转化为函数g（x）=lnx和h（x）=ax2﹣x交点的问题；讨论a≤0时不满足题意，a＞0时，求得（a）max=1，当x→+∞时，a→0，从而可得答案．或a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，由＞1求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x，将零点问题转化为两个函数交点的问题；又函数h（x）=x（ax﹣1），当a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，不满足题意；当a＞0时，由lnx﹣ax2+x=0，得a=；令r（x）=，则r′（x）==，当0＜x＜1时，r'（x）＞0，r（x）是单调增函数，当x＞1时，r'（x）＜0，r（x）是单调减函数，且＞0，∴0＜a＜1；或当a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，如图所示；g（x）=lnx交x轴于点（1，0），h（x）=ax2﹣x交x轴于点（0，0）和点（，0）；要使方程有两个零点，应满足两函数有两个交点，即＞1，解得0＜a＜1；∴a的取值范围是（0，1）．故选：A．【点评】本题考查了函数零点的判断问题，也考查了分类讨论思想与转化思想的应用问题，是难题．2.若存在两个正实数x，y使得等式成立（其中是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】将等式转化为；令，则等式化为，将问题转化为与有交点；令，通过导数可求得函数单调性，得到，通过判断和时的极限，可确定的取值范围.【详解】由得：令，则设，，则当时，；当时，即在上单调递增；在上单调递减又时，；时，又成立等价于与有交点

本题正确选项：【点睛】本题考查根据等式能成立求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的有交点的问题，从而利用导数研究函数的图象，根据图象确定参数的取值范围.3.设i是虚数单位，复数z满足z?（1+i）=﹣i，则复数z的虚部等于（）A．﹣ B． C．2 D．﹣参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】z?（1+i）=﹣i，可得z?（1+i）（1﹣i）=﹣i（1﹣i），化简即可得出．【解答】解：z?（1+i）=﹣i，∴z?（1+i）（1﹣i）=﹣i（1﹣i），∴3z=﹣2﹣i，即z=﹣﹣i．则复数z的虚部等于﹣．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为

(A)(0，1)

(B)(1，+∞)

(C)(0，5)

(D)(5，+∞)=<1Tm>5，选D．参考答案：D解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x－2y+3=0的距离的比：5.已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥,则m⊥;

②若⊥,则m∥;③若m⊥,则∥;

④若m∥,则⊥其中正确命题的个数是 （）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B6.若不重合的四点，满足，，则实数的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B，，，所以m-2=1,所以m=37.在复平面内复数，对应的点分别为A,B,若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A.

B.1

C.

D.参考答案：D8.对于函数，下列命题中正确的是

A．

B．C．

D．参考答案：B9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A8

B14

C12

D9参考答案：C略10.设集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为(

) A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：C考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据并集的运算计算即可．解答： 解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，∴A∪B={3，4，5，6，7，8}，故则A∪B中元素的个数为6个，故选：C点评：本题考查了集合的运算，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列{an}中，如果对任意的n∈N*，都有（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列；②若数列{an}满足，则数列{an}是比等差数列，且比公差λ=2；③等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．其中所有真命题的序号是．参考答案：①③考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义．分析：根据比等差数列的定义（λ为常数），逐一判断①～④中的四个数列是否是比等差数列，即可得到答案．解答：解：数列{Fn}满足F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，=1，=﹣≠1，则该数列不是比等差数列，故①正确；若数列{an}满足，则==不为定值，即数列{an}不是比等差数列，故②错误；等比数列=0，满足比等差数列的定义，若等差数列为an=n，则=不为定值，即数列{an}不是比等差数列，故③正确；如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，设an=n，bn=2n，则=不为定值，不满足比等差数列的定义，故④不正确；故答案为：①③点评：本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题为假，属于难题．12.设等比数列{}的前n项和为。若，则=

．参考答案：313.的二项展开式中的常数项是

(用数值作答)．参考答案：略14.已知定义在R上的偶函数f（x）满足?x1，x2∈[0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则的大小关系是．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，得到其为增函数，再结合其为偶函数即可得到结论．【解答】解：因为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，所以：f（x）在[0，+∞）上递增，又因为f（x）是偶函数，所以：f（﹣2）=f（2）∵∴f（）＜f（1）＜f（2）=f（﹣2）故答案为：f（）＜f（1）＜f（﹣2）．15.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为

.参考答案：略16.椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C的标准方程是．参考答案：+=1【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得椭圆的焦点在x轴上，再结合椭圆的定义可得2a=4，2c=2，即可得a、c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆方程可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆C的方程为：+=1（a＞b＞0），其焦点在x轴上，又由其上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则有2a=4，2c=2；即a=2，c=1，则有b2=a2﹣c2=3；则椭圆的方程为：+=1；故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是掌握椭圆的定义．17.（4分）（2010?东城区二模）已知向量=（1，1），?=3，，则||=_________，||=_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.(1)求角C的大小；(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．参考答案：(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝．因为0<C<π，所以C＝．(2)因为s＋t＝＝(cosA，cosB)，所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2＝＋＝cos2A－sin2A＋1＝－sin＋1.因为0<A<，所以－<2A－<，则－<sin≤1，所以≤|s＋t|2<，故≤|s＋t|<．19.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AO⊥PO，由此能证明PO⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，AO=，又∵PO=1，PA=2，∴PO2+AO2=PA2，∴AO⊥PO，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO?平面PAC，∴PO⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，1），=（1，0，﹣1），=（﹣1，，0），=（0，，1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），设直线PA与平面PBC所成角为θ，则sinθ===．∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．20.已知数列满足。(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前n项和Sn。参考答案：解：(Ⅰ)由条件得相加得，因为，所以(Ⅱ)相减得所以

略21.山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？参考答案：（1）由题意得，与之间的函数关系式为：；（2）由题意得，；化简得，；解得，，（不合题意，舍去）；因此，李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放天后出售.（3）设利润为，则由（2）得，；因此当时，；又因为，所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润为元.22.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log-23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．（Ⅰ）求证f(x)为奇函数；（Ⅱ）若f(k·3x)+f(3x–9x–2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：解析：（1）f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)

①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．……２分令y=–x，代入①式，得f(x–x)=f(x)+f(–x)，又f(0)=0，则有0